17
Capítulo 9
RECTA EN EL PLANO
1.1. Ecuaciones de la recta en el plano
1.1.1. Ecuación vectorial paramétrica de la recta
Se tratará ahora de encontrar la
ecuación vectorial paramétrica de
la recta que pasa por el punto
( )
0
, y
00
xP
y es paralela al vector
( )
21
u,uu =
Sean:
( )
0
, y
00
xP
un punto del plano y
( )
21
u,uu =
, un vector. (Fig. 1.1.)
Fig. 1.1.
Se traza por Po la recta ℓ paralela al vector
u
. (Fig. 1.2.)
18
Fig. 1.2.
a) Para encontrar la ecuación de la recta ℓ, se toma sobre ella un punto
cualquiera (genérico) P(x; y).
Se trazan, luego, los vectores
→→→
PPyOP;OP
00
.
Se puede escribir, entonces:
→→→
+= PPOPOP
00
Pero
uλPPu//PP
00
=
→→
En consecuencia:
uλOPOP
0
+=
→→
Ecuación vectorial paramétrica
19
Esta es la ecuación vectorial paramétrica de la recta que pasa por el pun-
to P
0
y es paralela al vector
u
.
Para cada valor del parámetro λ se tendrá un punto P distinto de la recta.
Todo punto de la recta verifica esa ecuación.
b) Se verá ahora que cualquier punto P del plano que verifique la ecua-
ción
uλOPOP
0
+=
→→
debe pertenecer a la recta ℓ.
En efecto:
uλOPOP
0
+=
→→
uλOPOP
0
=−
→→
uPPuλPP
00
//
→→
=
En consecuencia: P ℓ
porque por un punto exterior a una recta (di-
rección de
u
) pasa una, y sólo una, paralela a dicha recta.
1.1.2. Ecuaciones cartesianas de la recta.
En la ecuación
uλOPOP
0
+=
→→
, se reemplaza cada vector por sus com-
ponentes, obteniéndose:
( ) ( ) ( )
2100
u,uλy,xyx, +=
Y efectuando la suma que figura en el segundo miembro, resulta:
( ) ( )
2010
λuy,λuxyx, ++=
Pero dos vectores son iguales si sus componentes respectivas son iguales,
de dónde se obtiene:
20
+=
+=
20
10
λuyy
λuxx
Ecuación cartesiana paramétrica de la recta.
Despejando de cada una de las igualdades anteriores.
2
0
1
0
u
yy
λ
u
xx
λ
−
=
−
=
Si los primeros miembros son iguales, los segundos también lo son, por
lo tanto,
2
0
1
0
u
yy
u
xx −
=
−
Ecuación simétrica de la recta.
Eliminando denominadores:
( ) ( )
0102
yyuxxu −=−
011022
yuyuxuxu −=−
( )
0xuyuyuxu
020112
=−+−
Haciendo
=−
=−
=
Cxuyu
Bu
Au
0201
1
2
y reemplazando, se obtiene
Ax + By + C = 0 Ecuación general de la recta
Ahora, despejando y, se obtiene:
21
B
C
x
B
A
y −−=
dónde, haciendo
=−
=−
b
B
C
m
B
A
se obtiene
y = mx + b Ecuación explícita de la recta
¿Qué representan los coeficientes m y b en la ecuación explícita?
αtg
u
u
u
u
B
A
m
1
2
1
2
==
−
−=−=
El coeficiente m recibe el nombre de pendiente de la recta y es la tan-
gente trigonométrica del ángulo que forma el vector dirección (o la recta)
con el sentido positivo del eje x.
Por otra parte, si en la ecuación general de la recta, se hace x = 0 resulta
y = −
B
C
b = −
B
C
es la ordenada del punto donde la recta corta al
eje y
y recibe el nombre de ordenada al origen.
Asimismo, si en la ecuación general se hace y = 0, resulta x = −
A
C
, que
es la abscisa del punto donde la recta corta al eje
x
. Se la designa con la
letra a y se llama, abscisa al origen.
Retomando la ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0
Si se pasa el término independiente al 2º miembro, se obtiene:
Ax + By = − C
Dividiendo ambos miembros por − C, se obtiene
22
1
C
By
C
Ax
=
−
+
−
ó también:
1
B
C
y
A
C
x
=
−
+
−
Haciendo
a
A
C
=−
y
b
B
C
=−
Se obtiene
1
b
y
a
x
=+
Ecuación segmentaria (Fig.1.3.)
a y b son, respectivamente, la abcisa al origen y la ordenada al ori-
gen de la recta
Fig. 1.3.
Ejercicio:
Encontrar las ecuaciones vectorial y cartesianas de la recta que pasa por
el punto A (−1; 2) y es paralela al vector
u
( )
32, −=
. (Fig.1.4.)
23
La ecuación vectorial paramétrica de la recta que pasa por el punto A y
es paralela al vector
u
se escribe de la siguiente manera:
uλOAOP
+=
→→
( ) ( )
32,λ21,OP −+−=
→
( )
3λ2,2λ1OP −+−=
→
Ecuación vectorial paramétrica
Ecuación cartesiana paramétrica
−=
+−=
λ32y
2λ1x
Ecuación simétrica
3
2y
2
1x
−
−
=
+
Ecuación general
− 3 (x + 1) = 2 (y − 2)
− 3 x − 3 = 2 y − 4
3x + 2y − 1 = 0
Ecuación explícita
y = −
2
3
x +
2
1
Fig.1.4.
24
Ecuación segmentaria
1
2
1
y
3
1
x
=+
Se verifican gráficamente los valores de la abscisa al origen y de la orde-
nada al origen, a =
3
1
y b =
2
1
, respectivamente.
1.1.3. Ecuación vectorial de la recta
Sea la recta que pasa por el punto P
0
(x
0
; y
0
) y es perpendicular al vector
( )
21
n,nn =
. (Fig. 1.5.)
Fig. 1.5.
25
Para encontrar la ecuación de la recta ℓ, se toma un punto P(x; y) genéri-
co de la recta. Como P
0
y P son puntos de la recta, el vector
→
PP
0
está
contenido en la recta ℓ. Entonces
nPP
0
⊥
→
.
Pero la condición de perpendicularidad de dos vectores es que su pro-
ducto escalar sea nulo.
0nPP
0
=•
→
La igualdad obtenida es la Ecuación vectorial de la recta que pasa por
P
0
y es perpendicular al vector
n
.
( ) ( )
0nn.yy,xx
2100
=−− ,
Resolviendo el producto escalar:
( ) ( )
0nyynxx
2010
=−+−
0ynynxn - xn
022011
=−+
0ynn(yn xn
02121
=−−++ )
0
x
Si se hacen:
An
1
=
;
Bn
2
=
;
Cynn
021
=−−
0
x
se obtiene:
Ax + By + C = 0 que es la Ecuación general de la recta.
Puesto que
( )
21
n,nn =
, reemplazando resulta:
( )
BA,n =
Es decir que los coeficientes de x e y en la ecuación general de la recta
son las componentes de un vector normal a la recta.
Para verificar esta propiedad, se multiplica escalarmente el vector direc-
ción y el vector normal de una recta ℓ.
26
( ) ( )
2121
n,n.u,un.u =
( ) ( )
BA,.AB,−=
ABAB+−=
= 0
nu
⊥
Ejemplos:
a) Hallar la ecuación vectorial y cartesiana de la recta que pasa por el
punto A (−1, − 3) y es perpendicular al vector
n
= (2, 1). (Fig.1.6.)
b)
Fig. 1.6.
Ecuación vectorial de
0nAP =•
→
( ) ( )
=++ • 12,3y1,x
0
Ecuación general
2(x + 1) + (y + 3) = 0
2x + 2 + y + 3 = 0
2x + y + 5 = 0
Ecuación explícita
y = −2x − 5
27
Ecuación segmentaria
Se toma la ecuación general 2x + y + 5 = 0
2x + y = − 5
1
5
y
2
5
x
=
−
+
−
b) Hallar la ecuación simétrica y las ecuaciones cartesianas paramétricas
de la recta del ejercicio anterior.
Partiendo de la ecuación general: 2x + y + 5
=
0
2x + 5
=
− y
y
2
5
x2 −=
+
21
y
2
5
x
=
−
+
Ecuacion simétrica
Igualando a cada uno de los miembros de esta ecuación
=
1
2
5
−
+x
=
2
y
=
−−=
2λy
λ
2
5
x
Ecuaciones cartesianas paramétricas
28
La recta pasa por el punto (−5/2, 0) y es paralela al vector
u
de com-
ponentes (−1, 2), lo cuál se puede ver en la Fig1.6.
1.2. Vector normal a una recta del plano
1.2.1. Vector normal positivo de una recta
Sea
: A x + By + C = 0 una recta del plano
Sabemos que
n
= (A; B) es un vector normal a la recta.
Se divide este vector por
C
C
−
, o sea, por (+ 1) o (− 1) según que C sea
negativo o positivo respectivamente.
C
C
n
−
=
−−
C
C
B
C
C
A
,
Este vector tiene la misma dirección que
n
, pero su sentido va siempre
desde 0 (origen de coordenadas) a la recta. Se lo simboliza:
+
n
Definición:
Se denomina vector normal positivo de una recta a un vector que tiene
dirección perpendicular a esa recta y su sentido va siempre desde el ori-
gen de coordenadas hacia la recta.
29
Si
: Ax + By + C = 0
+
n
=
−−
C
C
B
C
C
A
,
Ejemplos
1
: 3 x + 2 y + 5 = 0
2
: 2 x + 3 y - 4 = 0
n
= (3, 2)
n
= (2, 3)
+
n
= (-3, -2)
+
n
= (2, 3)
+
n
= −
n
+
n
=
n
Fig. 1.7. Fig. 1.8.
30
1.2.2. Versor normal positivo
Si se divide
+
n
por su módulo, se obtiene un vector de igual dirección y
sentido, pero de módulo 1, que se llama versor normal positivo y se sim-
boliza:
+
n
+
n
=
+−+−
2222
,
BA
C
C
B
BA
C
C
A
En los ejemplos anteriores se tendrá, para
1
y para
2
, respectivamen-
te:
+
n
=
−−
13
2
,
13
3
+
n
=
13
3
,
13
2
Nota complementaria
Si la recta pasa por el origen, su ecuación general carece de término in-
dependiente y es de la forma: Ax + By = 0
n
= (A, B) y
+
n
=
B
B
B
B
B
A
,
O sea que para encontrar el vector normal positivo de la recta, se divide
el vector
n
cuyas componentes son los coeficientes de x e y, por (+1)
31
o (− 1) según que B (coeficiente de y) sea positivo o negativo, respecti-
vamente.
Ejemplos
a)
1
:3x + 2y = 0 b)
2
:3 x - 2 y = 0
1
n
= (3, 2)
2
n
= (3, - 2)
1
+
n
= (3, 2)
2
+
n
= (-3, 2)
Fig. 1.9. Fig. 1.10.
Este documento contiene más páginas...
Descargar Completo
Capitulo 15 Superficies cilíndricas y cónicas..pdf
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.
Descargar
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.