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142
CAPÍTULO
TRANSFORMACIONES LINEALES
5.1. Definición
Sean (V, +, K, .) y (W, +, K, .) dos espacios vectoriales definidos so-
bre un mismo cuerpo K. La función f: V → W es una transformación
lineal si y solo si:
1) La imagen de la suma de dos vectores cualesquiera de V es igual a la
suma de sus imágenes en W.
f(
ba
+
) = f(
a
) + f(
b
)
a
,
b
V
2) La imagen del producto de un escalar 0 por todo vector de V es
igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector en W.
f(
a
) = f(
a
)
a
V; 
K
Gráficamente
La definición de Transformación Lineal también se puede expresar como
sigue:
f: V→W es Transformación lineal
f(
a
+
b
) = f(
a
) + f(
b
)
a
,
b
V y , K
Ejemplo:
f(a)
f(b)
f(a + b) = f(a) + f(b)
f(λa) = λf(a)
V
W
f
143
Sean (R
2
, +, R, .) y (R
3
, +, R, .) dos espacios vectoriales reales y sea la
función: f: R
2
→ R
3
/ f(a, b) = (b, -a, a + b). Demostrar que f es trans-
formación lineal.
Sean:
1
v
= (a
1
, b
1
)
R
2
f(
1
v
) = (b
1
,-a
1
,a
1
+b
1
)
2
v
= (a
2
, b
2
)
R
2
f(
2
v
) = (b
2
,-a
2
,a
2
+b
2
)
21
vv
+
= (a
1
+a
2
,b
1
+b
2
)
f(
21
vv
+
) = ((b
1
+b
2
),-(a
1
+a
2
), (a
1
+a
2
)+(b
1
+b
2
))
= (b
1
+b
2
,-a
1
- a
2
,(a
1
+b
1
)+(a
2
+b
2
))
= (b
1
,-a
1
,a
1
+b
1
) + (b
2
,-a
2
,a
2
+b
2
)
= f(
1
v
) + f(
2
v
) (I)
1
v
= (a
1
, b
1
)
f(
1
v
) = (b
1
, -(a
1
), a
1
+b
1
)
= (b
1
,-a
1
,(a
1
+
b
1
))
= (b
1
, -a
1
, a
1
+
b
1
)
= f(
1
v
) (II)
De (I) y (II) resulta que f es una transformación lineal.
5.2. Núcleo de una transformación lineal
Definición: El núcleo de una transformación lineal es el conjunto de
todos los elementos del primer espacio vectorial que tienen como
imagen el cero (elemento neutro de la suma) del segundo espacio vec-
torial.
144
f: V → W Transformación lineal.
N
f
= {
x
V / f(
x
) = 0
W
}
En el ejemplo dado:
N
f
= {(a, b) / f(a, b) = (0, 0, 0)}
(b, -a, a + b) = (0, 0, 0)
N
f
= {(0, 0)}
5.3. Imagen de una transformación lineal
Definición: Se llama Imagen de una transformación lineal al conjunto
formado por los elementos del segundo espacio vectorial que son ima-
gen de los vectores del primer espacio.
I
f
= {
y
W /
x
V
f(
x
) =
y
}
En el ejemplo dado: La imagen de f es el conjunto de las ternas de núme-
ros reales cuya 3º componente es igual a la diferencia entre la primera y la
segunda componentes.
I
f
= {(x, y, x − y)}
5.4. Propiedades de las transformaciones lineales
1) La imagen del cero del primer espacio es igual al cero del segundo
espacio.
f(0
V
) = 0
W
b = 0
-a = 0
a + b = 0
a = 0
b = 0
El núcleo tiene una solo elemento que
es el par ordenado (0,0).
145
Demostración:
Sea
x
V
x
+ 0
V
=
x
f(
x
+ 0
V
) = f(
x
)
f(
x
) + f(0
V
) = f(
x
) Porque f es Transformación lineal.
f(
x
) + f(0
V
) = f(
x
) + 0
w
0
W
elemento neutro de + en W.
f(0
V
) = 0
w
2) La imagen del opuesto de un elemento de V es igual al opuesto de su
imagen.
f(-
x
) = -f(
x
)
Demostración:
f(-
x
) = f((-1)
x
)
= (-1) f(
x
)
f(-
x
) = -f(
x
)
3) El núcleo de una transformación lineal f: V→ W es subespacio vec-
torial del primer espacio.
N
f
es subespacio vectorial de V
Demostración:
a
N
f
f(
a
) = 0
W
b
N
f
f(
b
) = 0
W
f(
a
+
b
) = f(
a
) + f(
b
) Porque f es transformación lineal.
= 0
W
+
0
W
= 0
W
(
a
+
b
)
N
f
f(λ
a
) = λ f(
a
) Porque f es transformación lineal.
= λ 0
W
= 0
W
La suma de dos elementos de
N
f
es otro elemento de N
f
.
El producto de un escalar por un
elemento de N
f
es otro elemento de N
f
.
146
λa
N
f
N
f
es subespacio vectorial de V.
4) La imagen de una transformación lineal es subespacio vectorial del
segundo espacio.
I
f
es subespacio vectorial de W.
Demostración:
a)
1
w
I
f
1
v
V / f(
1
v
) =
1
w
2
w
I
f
2
v
V / f(
2
v
) =
2
w
1
w
+
2
w
= f(
1
v
) + f(
2
v
)
= f(
1
v
+
2
v
) Porque f es transformación lineal.
Como
1
v
V y
2
v
V resulta que
1
v
+
2
v
V.
(
1
v
+
2
v
)
V / f(
1
v
+
2
v
) =
1
w
+
2
w
1
w
+
2
w
I
f
(I)
b) λ
1
w
= λ f(
1
v
)
= f (λ
1
v
) Porque f es transformación lineal.
1
v
V
λ
1
v
V
λ
1
v
V / f(λ
1
v
) = λ
1
w
λ
1
w
I
f
(II)
De (I) y (II): I
f
es subespacio vectorial de W.
5.5. Dimensión del Núcleo y de la Imagen
147
Definición: Si (V, +, K, .) es un espacio vectorial de dimensión finita y
f:V→ W es una transformación lineal, entonces la suma de las dimensio-
nes del núcleo y de la imagen es igual a la dimensión del primer espacio.
dim (N
f
) + dim (I
f
) = dim (V)
5.6. Teorema fundamental de las transformaciones lineales
Sean (V, +, K, .) y ( W , +, K, .) dos espacios vectoriales y [B] una base
de V (
n
vvvvB
,,,,
321
=
). Si
n
wwww
,...,,,
321
son n vectores cua-
lesquiera de W, entonces existe una única transformación lineal f: V→ W
tal que f(
i
v
) =
i
w
,
i =1, 2, 3,..., n.
Demostración:
Todo vector
x
de V puede expresarse como combinación lineal de los
vectores de la base [B] siendo los escalares α
i
únicos.
=
=
n
i
ii
vx
1
Se define ahora una función f: V→ W tal que la imagen de cualquier
vector
x
de V esté dada por:
=
=
n
l
ii
wxf
1
)(
Es decir que la imagen por f de una vector
x
de V es la combinación
lineal de los n vectores
i
w
de W usando los mismos coeficientes que
permiten expresar a
x
como combinación lineal de los vectores de la
base [B].
En primer lugar, se demostrará que f es una transformación lineal.
Sean
x
V
=
=
n
i
ii
vx
1
y
=
=
n
l
ii
wxf
1
)(
148
y
V
y
=
=
n
i
ii
v
1
y
=
=
n
i
ii
wyf
1
)(
=
+=+
n
i
iii
vyx
1
)(
=
+=+
n
i
iii
wyxf
1
)()(
= =
+=
n
i
n
i
iiii
ww
1 1
)()( yfxf
+=
(I)
= =
==
n
i
n
i
iiii
vvx
1 1

=
=
n
i
ii
wxf
1
)(

=
=
n
i
ii
w
1
=
)(xf
(II)
De (I) y (II) queda demostrado que f es una transformación lineal.
En segundo lugar se debe demostrar que i es:
ii
wvf
=)(
En efecto, un vector
i
v
puede escribirse como combinación lineal de los
vectores de [B] como sigue:
nii
vvvvv
.0....1....0.0
21
+++++=
149
nii
wwwwvf
.0....1....0.0)(
21
+++++=
ii
wvf
=)(
Que es lo que se quería demostrar.
En tercer lugar se demostrará que, bajo la condición enunciada anterior-
mente, la transformación lineal f es única.
Se supone que existe otra transformación lineal g: V→W /
ii
wvg
=
)(
Entonces:
=
=
n
i
ii
vgxg
1
)()(
=
=
n
i
ii
vg
1
)(
=
=
n
i
ii
w
1
=
=
n
i
ii
vf
1
)(
=
=
n
i
ii
vf
1
)(
=
)(xf
En consecuencia, g = f y por lo tanto la transformación lineal es única.
5.7. Matriz asociada a una transformación lineal
Sean (V, +, K, .) y (W, +, K, .) dos espacios vectoriales de dimensión n y
m respectivamente.
Sea f: V → W una transformación lineal y sean además:
[B
1
] =
n
vvvv
,...,,,
321
una base de V y
[B
2
] =
m
wwww
,...,,,
321
una base de W.
150
Todo vector
x
de V puede escribirse como combinación lineal de los
vectores de la base [B
1
]
=
=
n
j
jj
vx
1
Los
j
son las coordenadas del vector
x
en la base [B
1
] y también se
pueden escribir como una matriz columna:
=
n
B
x
3
2
1
1
Sea
y
la imagen de
x
por la transformación lineal f:
)(xfy
=
.
Pero
y
es un vector de W entonces puede expresarse como combinación
lineal de los vectores de la base [B
2
] y esa combinación es única.
=
=
m
i
ii
wy
1
Por el Teorema Fundamental de las transformaciones lineales, f queda
caracterizada unívocamente por los valores que toma sobre cualquier
base de V. O sea que es suficiente obtener las imágenes, por f, de cada
uno de los vectores de la base [B
1
]. Para cada
i
v
su imagen será
)(
i
vf
.
Pero
)(
i
vf
es un vector de W, entonces puede expresarse como combi-
nación lineal de los vectores
i
w
de la base [B
2
].
=
=
m
i
iijj
wvf
1
)(
j = 1,2,3,..., n
Se nombran los subíndices con la
letra j por conveniencia.
151
Cada escalar lleva dos subíndices: el subíndice i está referido a la base
[B
2
] =
m
wwww
,...,,,
321
y el subíndice j se refiere a un vector de la base
[B
1
] =
n
vvvv
,...,,,
321
En consecuencia, se tiene:
mm
wwwwvf
13312211111
)(
++++=
mm
wwwwvf
23322221122
)(
++++=
mm
wwwwvf
33332231133
)(
++++=
...........................................................................
.............................................................................
mmnnnnn
wwwwvf
++++=
332211
)(
Tomando los coeficientes
ij
se puede construir una matriz A que recibe
el nombre de Matriz Asociada a la Transformación Lineal f respecto de
las bases [B
1
] y [B
2
].
=
mnmm
n
n
A
21
22221
11211
Esta matriz es de orden mn o sea que tiene m filas (m = dimW) y n
columnas (n = dimV).
Entonces, para hallar la matriz asociada a una transformación lineal f,
respecto de una base en cada espacio, se determinan las imágenes por f
de cada uno de los vectores de la base [B
1
] y luego se hallan sus coorde-
nadas en la base [B
2
].
Cada columna de A corresponde a la imagen de cada vector de [B
1
] ex-
presada en la base [B
2
].
152
5.7.1. Teorema
Si A es la matriz asociada a una transformación lineal f respecto de las
bases [B
1
] y [B
2
], entonces la imagen de un elemento
x
de V en la base
[B
2
] es igual al producto de la matriz A por el vector columna formado
por las coordenadas de
x
en la base [B
1
].
( )( )
1
2
.
B
B
xAxf
=
Ejercicios resueltos
1º) Verificar que la siguiente función es una transformación lineal. Hallar
el núcleo, la imagen y una base de cada uno de ellos.
f : R
2
→ R tal que f(x, y) = 2x – 5y
Sean: (a, b) R
2
→ f(a, b) = 2a−5b
(c, d) R
2
→ f(c, d) = 2c−5d
(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d) R
2
→ f(a+c, b+d) = 2(a+c)−5(b+d)
= 2a+2c−5b−5d
= (2a−5b)+(2c−5d)
= f(a, b)+ f(c, d) (I)
(a, b)=(a, b) R
2
→ f(a, b) = 2a−5b
= (2a−5b)
= f(a, b) (II)
De (I) y (II), queda demostrado que f es una transformación lineal.
Determinación del Núcleo de f.
(a, b) N
f
→ f(a, b) = 0 → 2a−5b= 0 →
ba
2
5
=
153
N
f
=
( )
= baRba
2
5
/,
2
ó también: N
f
=
bb,
2
5
Dim (N
f
)=1
Entonces, una base del núcleo puede ser: {(5, 2)}.
Determinación de la Imagen de f.
I
f
= R ya que para todo número real r se pueden encontrar dos nú-
meros reales x e y tales que r = 2x−5y. Dim(I
f
)= 1
Una base de la imagen de la transformación lineal puede ser cual-
quier número real, por ejemplo: {-1}.
2º) Hallar la expresión de la transformación lineal g, si:
g: R
2
→ R
3
, g (-2, 4) = ( 2, 0, 4 ) y g (1, 1) = (2, 3, 1).
Se puede verificar fácilmente que (-2, 4) y (1, 1) son dos vectores li-
nealmente independientes. Entonces constituyen una base de R
2
que
es un espacio vectorial de dimensión 2. Por lo tanto todo vector de
R
2
puede expresarse como combinación lineal de los vectores de la
base:
( ) ( )
)1,1(4,2,
+−=ba
=+
=+−
b
a
4
2
3
2
6
ba
ab
+
=
−
=
( )
)1,1(
3
2
)4,2(
6
,
baab
ba
+
+−
−
=
Por el teorema fundamental de las transformaciones lineales:
( ) ( ) ( )
1,1
3
2
4,2
6
, g
ba
g
ab
bag
+
+−
−
=
( ) ( ) ( )
1,3,2
3
2
4,0,2
6
,
baab
bag
+
+
−
=
( )
+
+
+
+
−−
=
3
2
,2,
3
24
3
22
,0,
3
,
ba
ba
baabab
bag
154
( )
++−
+
++−
=
3
222
,2,
3
24
,
baab
ba
baab
bag
( ) ( )
bbababag ,2,, ++=
3º) Encontrar la matriz A asociada a la transformación lineal f respecto
de las bases indicadas.
f : R
3
→ R
2
tal que f(x, y, z) = (x
−2z, y+z) en las bases
B
1
={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (3, 0, 0)} y B
2
={(2, 0), (0, 2)} . Verificar
que para todo
x
R
3
: f (
x
)
2
B
= A .
x
1
B
En primer lugar, se hallan los transformados de cada uno de los vec-
tores de la base B
1
y luego se calculan sus coordenadas en la base B
2
.
f(1, 1, 1)= (-1, 2)
(-1, 2) = (2, 0) + (0, 2)
=
−=
22
12
1
2
1
=−=
f (1, 1, 1) =
( )
2
1;
2
1
2,1
B
−=−
(I)
f(1, 1, 0)= (1, 1)
(1, 1) = (2, 0) + (0, 2)
=
=
12
12
2
1
2
1
==
f(1, 1, 0) =
( )
2
2
1
,
2
1
1,1
B
=
(II)
f (3, 0, 0) = (3, 0)
155
(3, 0) = (2, 0) + (0, 2)
=
=
02
32
0
2
3
==
f (3, 0, 0) =
( )
2
0,
2
3
0,3
B
=
(III)
Tomando los vectores hallados en (I), (II) y (III) como vectores co-
lumna, se construye la matriz A, asociada a la transformación lineal f,
respecto de las bases dadas.
−
=
0
2
1
1
2
3
2
1
2
1
A
Para la verificación solicitada en la segunda parte del problema, se
calcularán por separado f(
x
)
2
B
y A.
x
1
B
.
Sea
( )
3
321
,, Rxxxx =
f
( ) ( )
3231321
,2,, xxxxxxx +−=
( ) ( )
+=
−=
+=+−
32
31
3231
2
22
)2;0(0;2,2
xx
xx
xxxx
2
2
2
32
31
xx
xx
+
=
−
=
f(
x
)
2
B
+−
=
2
,
2
2
3231
xxxx
()
Se expresa ahora el vector
x
en la base B
1
:
156
( ) ( )
=
=+
=++
++=
3
2
1
321
3
)0,0,3()0,1,1(1,1,1,,
x
x
x
xxx
De donde resultan:
3
x=
,
32
xx −=
y
3
21
xx −
=
Entonces:
−
−=
3
21
32
3
1
xx
xx
x
x
B
A.
x
1
B
=
−
0
2
1
1
2
3
2
1
2
1
.
−
−
3
21
32
3
xx
xx
x
=
+
−
2
2
2
32
31
xx
xx
()
De (
) y (), se verifica que para todo
x
R
3
: f(
x
)
2
B
= A.
x
1
B

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Capitulo 15 Superficies cilíndricas y cónicas..pdf
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