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13
Capítulo 7
ESPACIOS VECTORIALES
1.0. Introducción
Utilizaremos un ejemplo para introducir el concepto de las ideas inva-
riantes en la solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Analizar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Análisis:
Sistema Compatible Indetermina-
do.
Reconstruimos el sistema:
Solución General:
14
Soluciones particulares:
S
P1
x
y
z
w
x
y
z
w
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
–2
–5
1
1
–2
–5
S
P3
x
y
z
w
S
P4
x
y
z
w
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
–2
–5
1
1
–2
–5
Todas las SG aparentan ser diferentes, sin embargo, todas representan el
mismo conjunto solución, entonces necesitamos una teoría que nos
brinde confianza en los resultados obtenidos; qué nos indique las cosas
que permanecen y las cosas que pueden cambiar en las múltiples respues-
tas válidas en Rn que podemos obtener.
Además de los conjuntos solución en Rn, para los sistemas de ecuaciones
lineales, existen otras áreas de la ingeniería que requieren un apoyo ma-
temático: las matrices tienen su importancia y uso en ingeniería industrial
y en control; los conjuntos de polinomios y las series de potencias para la
complejidad de los algoritmos, etc.
¿Cómo desarrollar una teoría que se pueda aplicar a diferentes contextos
sin ningún cambio importante?
Para entender mejor esta teoría recordemos el significado de dos pala-
bras claves en matemática: abstracción y generalización. La primera tiene
que ver con representar cantidades por medio de símbolos, mientras que
la segunda consiste en la construcción de estructuras o teorías que en-
globen ciertas cosas o hechos conocidos.
La generalización también tiene que ver con la economía del trabajo rea-
lizado y con determinar cuáles son los elementos mínimos responsables
de que ciertos resultados ocurran. Para entender un poco más como este
tema repercute en nuestra materia, recordemos algunos temas ya estu-
diados:
Números complejos.
Vectores en Rn
15
Polinomios
Matrices
Por lo tanto el objetivo que perseguimos es introducir una estructura
abstracta que englobe las anteriores construcciones, y qué resultados se
pueden obtener en lo general sin importar a cuál de los conceptos especí-
ficos se haga referencia.
Antes de la definición de Espacio Vectorial (EV) está el concepto de
operación. Por medio de algunos ejemplos veamos que, entre otras ope-
raciones, las de suma ó de multiplicación por escalares podrían ser defi-
nidas de maneras diferentes de las que conocemos.
Supongamos que tenemos el conjunto
y se definen las operacio-
nes:
Obsérvese que estas operaciones se definieron de manera distinta a la
acostumbrada, de manera distintas a la convencional. Ahora bien,
Si
Calcular:
Ahora si, con estas ideas podemos ver la definición de lo que es un espa-
cio vectorial.
1.1. Definición de Espacio Vectorial
Definición: Sea V un conjunto no vacío de elementos cualesquiera y K
un cuerpo de escalares, tales que entre los elementos de V se definen:
1º) Una operación interna llamada suma (+) de modo que:
VwvqueimplicaVwv +,
(V es un conjunto cerrado para +).
16
2º) Otra operación externa llamada producto por un escalar (.) tal que:
VvλquecumpleseKλyVv .
Se dice que (V, +, K, .) es un espacio vectorial si dichas operaciones veri-
fican las siguientes propiedades:
1) La suma es conmutativa:
v V w V: v + w = w + v
2) La suma es asociativa:
v V, w V z V: (v + w) + z = v + (w + z)
3) La suma tiene elemento neutro en V:
V, único, tal que v V: v + = + v = v
4) Por la operación suma, todo elemento de V tiene inverso:
v V: v’ V / v + v’ = v’ + v =
El elemento v’ se llama inverso aditivo u opuesto de v.
5) La operación producto de un elemento de V por un escalar es asocia-
tiva respecto de los escalares:
v V , K: .(.v) = ().v
6) La operación producto de un elemento de V por un escalar es distri-
butiva respecto a la suma de escalares:
v V , K: ( + ).v = .v + .v
7) La operación producto de un elemento de V por un escalar es distri-
butiva respecto a la suma de elementos de V:
v, w V K: .(v + w) = .v +.w
8) Existe en K un elemento unidad:
1 K tal que 1.v = v , v V
17
Se conviene en llamar vectores a los elementos de un espacio vectorial.
Por ello, a partir de ahora, para evitar confusiones, a los elementos del
espacio vectorial V los representaremos con una supraflecha.
Si K = R o sea que el cuerpo de escalares es el conjunto de los números
reales, el espacio vectorial se llama espacio vectorial real.
Si K = C el espacio vectorial se llama espacio vectorial complejo.
Ejemplo 1:
Demostrar que (R
2
, +, R, .) con la suma y el producto por un escalar
usuales, es un espacio vectorial.
R
2
es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales.
R
2
= {(x
1
, x
2
) / x
1
R, x
2
R
Sean
2
R= )a,(aa
21
y
2
R= )b,(bb
21
)ba,b(aba
2211
++=+
R
2
porque
+
+
R
R
22
11
ba
ba
Sean
Rλ
y
2
R= )a,(aa
21
2
R)λa,a(λaλ
21
=
porque
R
R
2
1
λa
λa
Veremos ahora si las operaciones suma y producto por un escalar cum-
plen todas las propiedades que exige la definición.
1)
)ba,b(aba
2211
++=+
)ab,a(b
2211
++=
)a,(a)b,(b
2121
+=
ab
+=
La suma es conmutativa en R
2
.
Porque la suma de
números reales es
conmutativa.
18
2) Sean
)a,(aa
21
=
,
)b,(bb
21
=
y
)c,(cc
21
=
pertenecientes a
2
R
.
)cb,c(b)a,(a)cb(a
221121
+++=++
))c(ba),c(b(a
222111
++++=
)c)b(a,c)b((a
222111
++++=
)c,(c)ba,b(a
212211
+++=
c)ba(
++=
La suma es asociativa en R
2
.
3) Existe el elemento neutro para la suma. Dicho elemento neutro es el
vector nulo
0)(0,θ =
ya que
aaθθa:Ra
2
=+=+
En efecto:
( )
0a0,aθa
21
++=+
)a,(a
21
=
a
=
0)(0,θ =
es el elemento neutro para la suma en R
2
.
4) Para todo
2
Ra
existe su inverso aditivo (u opuesto) que es el vec-
tor
( )
a
−
tal que:
( ) ( )
θaaaa
=+−=−+
En efecto: Sea
( )
21
a,aa =
( ) ( )
21
a,aa −−=−
( ) ( ) ( )( )
2211
aa,aaaa −+−+=−+
( )
00,=
=
θ
Todo elemento de R
2
tiene inverso aditivo (opuesto).
5)
aαβ))aα(β
(=
D)
)βa,α(βa)aα(β
21
=
Porque la suma de
números reales es
asociativa.
0 es el elemento
neutro para la suma
de números reales.
19
))α(βa),α(βa(
21
=
)αβ)a),αβ)a(
21
((=
)a,(aαβ)(
21
=
aαβ)(
=
que es lo que se quería demostrar.
El producto de un vector por un escalar satisface la asociatividad
mixta
6)
aβ.aα.aβ).(α
+=+
D)
)β)a(α,β)a((αaβ).(α
21
++=+
)βaαa,βaa(α
2211
++=
)βa,a(β)αa,a(α
2121
+=
aβ.aα.
+=
El producto de un vector por un escalar es distributivo con respec-
to a la suma de escalares.
7)
bα.aα.)baα.(
+=+
D)
))bα(a),b(a(α)baα.(
2211
++=+
)αbαa,αba(α
2211
++=
)αb,b(α)αa,a(α
2121
+=
)b,α.(b)a,α.(a
2121
+=
bα.aα.
+=
Porque el producto de
números reales es aso-
ciativo.
El producto de números
reales es distributivo con
respecto a la suma.
20
El producto de un vector por un escalar es distributivo con respec-
to a la suma de vectores.
8) Existe =1 R tal que
aa1.
=
D)
)a,1.(aa1.
21
=
),1a(1a
21
=
)a,(a
21
=
a
=
En consecuencia, habiendo sido verificadas todas las propiedades resulta
que (R
2
, +, R, .) es un espacio vectorial.
Ejemplo 2:
¿Es (R
2
, +, C, .) un espacio vectorial?
(R
2
, +, C, .) no es un espacio vectorial porque si C y
v
R
2
, el pro-
ducto
v
no siempre pertenece a R
2
.
Por ejemplo, si se toman: =3+2i C y
v
= (3, 2) R
2
v
= (3+2i).(3, 2)
= (9+6i, 6+4i) R
2
1.2. Corolarios de la Definición de Espacio Vectorial
Si (V, +, R, .) es un espacio vectorial real,
v
,
z,w
V y R se
cumplen los siguientes corolarios:
1) 1.a) 0.
v
=
θ
1.b) .
θ
=
θ
1.c) (–1).
v
= –
v
21
Demostración
1.a) 0.
v
= (+(–)).
v
+(–)=0 porque son elementos opuestos
del cuerpo K.
= .
v
+ (–.
v
)
=
θ
1.b) .(
v
+
θ
) = .
v
Porque
v
+
θ
=
v
.
v
+ .
θ
= .
v
–(.
v
)+(.
v
+
θ
) = – (.
v
)+ .
v
Sumando –(.
v
)a ambos miembros.
(– (.
v
)+.
v
)+.
θ
=
θ
Por propiedad asociativa.
θ
+ .
θ
=
θ
Por definición de inverso aditivo.
.
θ
=
θ
Que es lo que se quería demostrar.
1.c) En 1.a) se demostró que 0.
v
=
θ
((–1) + 1).
v
=
θ
Porque 0 = (−1) + 1.
(–1).
v
+ 1.
v
=
θ
Por propiedad distributiva.
(-1).
v
+
v
=
θ
(I)
Además, (–
v
) +
v
=
θ
Por definición de inverso aditivo. (II)
De (I) y (II) resulta:
(–1).
v
+
v
= (–
v
) +
v
Sumando –
v
a ambos miembros, por izquierda, y aplicando pro-
piedad. asociativa:
(–1).
v
+(
v
+(–
v
)) = (–-
v
) +(
v
+ (–
v
))
(–1).
v
+
θ
= (–
v
) +
θ
Por propiedad 4.
22
(–1).
v
= –
v
Que es lo que se quería demostrar.
2) En todo espacio vectorial, el elemento neutro de la suma es único.
Demostración:
Supongamos que existen dos elementos neutros.
θ
1
y
θ
2
Por definición de elemento neutro
Si
θ
1
elemento neutro
θ
2
+
θ
1
=
θ
1
+
θ
2
=
θ
2
(I)
Si
θ
2
elemento neutro
θ
1
+
θ
2
=
θ
2
+
θ
1
=
θ
1
(II)
De (I) y (II) resulta que:
θ
1
=
θ
2
3) Ley Cancelativa.
En todo espacio vectorial se verifica:
v
+
w
=
z
+
w
v
=
z
Demostración
v
+
w
=
z
+
w
(
v
+
w
)+(–
w
) = (
z
+
w
)+(–
w
) Sumando -
w
a ambos miembros.
v
+ (
w
+ (–
w
)) =
z
+(
w
+(–
w
)) La suma es asociativa.
v
+
θ
=
z
+
θ
v
=
z
4) En todo espacio vectorial, el opuesto de un elemento es único.
Demostración:
Sea
v
un elemento del espacio vectorial V.
Supongamos que existen dos elementos opuestos de
v
:
´
1
v
y
´
2
v
Por definición de opuesto
v
+
´
1
v
=
θ
y
v
+
´
2
v
=
θ
v
+
´
1
v
=
v
+
´
2
v
´
1
v
=
´
2
v
Por ley cancelativa.
23
1.3. Subespacio vectorial
Definición: Sea (V,+, K, .) un espacio vectorial y sea S un subconjunto
de V (S V), S es un subespacio vectorial de V si (S, +, K, .) es espacio
vectorial en sí mismo, respecto de las mismas operaciones + y · defini-
das en V.
1.3.1. Criterio de subespacio
Sea (V, +, K, .) un espacio vectorial y S un subconjunto no vacío de V.
(S, +, K, .) es subespacio vectorial de V si y solamente si:
Sa
y
Sb
:
Sba +
Sa
y K:
Saλ.
Simbólicamente:
S es subespacio vectorial de V
+
Saλ:Kλ,Sa
Sba:Sb,Sa
Demostración:
Se dividirá la demostración en dos partes:
1) S es subespacio vectorial de V
+
Saλ:Kλ,Sa
Sba:Sb,Sa
Si S es subespacio vectorial de V cumple, de acuerdo a la definición, con
todas las propiedades de un espacio vectorial.
En consecuencia, las operaciones suma y producto por un escalar son
cerradas en S. Por lo tanto:
Saλ:Kλ,Sa
Sba:Sb,Sa
+
2) Se demostrará, ahora, la proposición recíproca:
24
+
Saλ:Kλ,Sa
Sba:Sb,Sa
S es subespacio de V
Como S es un subconjunto de V, sus elementos verifican necesariamente
las propiedades 1, 2, 5, 6, 7 y 8. Sólo queda verificar que también cum-
plen las propiedades 3 y 4 o sea, que el elemento neutro de la suma tam-
bién pertenece a S y que todo elemento de S tiene su opuesto en S.
Sea
a
S (S )
= –1 (–1).
a
S Porque el producto de cualquier escalar por un
elemento de S, da otro elemento de S.
Pero (–1).
a
= –
a
–
a
S
El opuesto de cualquier elemento
a
de S, también pertenece a S
Además
a
+ (–
a
) S
θ
S
El vector nulo pertenece a S.
Se ha demostrado, entonces, que S es subespacio vectorial de V
Ejemplo
Sea (R
2
, +, R, .) un espacio vectorial. Verificar si los siguientes subcon-
juntos de R
2
son subespacios vectoriales:
a) S
1
= {(x
1
, 0) R
2
} b) S
2
= {(1, x
2
) R
2
}
a) Sea
a
= (a
1
, 0) S
1
Sea
b
= (b
1
, 0) S
1
a
+
b
= (a
1
+b
1
, 0+0)
(a
1
+b
1
, 0) S
1
a
+
b
S
1
Porque la suma de dos
elementos de S, es otro
elemento de S.
25
Sea R
.
a
= (a
1
, 0)
( a
1
, 0) S
1
.
a
S
1
S
1
es subespacio vectorial de R
2
b) Sea
a
= (1, a
2
) S
2
Sea
b
= (1, b
2
) S
2
a
+
b
= (1 + 1 , a
2
+ b
2
) = (2, a
2
+ b
2
)
a
+
b
S
2
S
2
no es subespacio vectorial de R
2
1.4. Dependencia e independencia lineal de vectores
1.4.1. Combinación lineal de vectores
Definición: Dados n vectores
n21
v,...,v,v
y n escalares
1
,
2
,...,
n
se
llama combinación lineal de los n vectores dados con coeficientes
i
(donde i =1, 2,..., n), al vector
u
definido por la ecuación vectorial:
=
=
n
1i
ii
vαu
O también:
u
n
vα...vαvαvα
n332211
++++=
Ejemplo 1:
El vector (–1, –4) es combinación lineal de los vectores (4, –2) y (1, 1) ya
que (–1, -4) =
2
1
(4, –2) + (–3).(1, 1)
Ejemplo 2:
Demostrar que el vector
= 1,
3
16
4,u
es combinación lineal de los
vectores
1)1,(1,v
1
=
,
1)1,(0,v
2
−=
y
0)1,(3,v
3
=
26
Se plantea la combinación lineal:
1,
3
16
4,
=
( ) ( ) ( )
01,3,α11,0,α11,1,α
321
+−+
=+
=+−
=+
1αα
3
16
ααα
43αα
21
321
31
De la 1ª ecuación se despeja
1
α
resultando:
31
3α4α −=
Se lleva ese valor de
1
α
a las otras ecuaciones:
−=−
=−−
=+−
=+−−
33αα
3
4
2αα
1α3α4
3
16
αα3α4
32
32
23
323
De donde se obtienen:
3
1
αy2α
32
=−=
. Entonces
3α
1
=
La combinación lineal es, por lo tanto:
321
v
3
1
v2v3u
+−=
Verificación:
( ) ( ) ( )
01,3,
3
1
11,0,211,1,3
3
v
3
1
2
v2
1
v3 +−−=+−
( ) ( )
+−+= 0,
3
1
1,22,0,33,3,
−+++= 23,
3
1
231,3
= 1,
3
16
4,
27
u
=
1.4.2. Vectores linealmente independientes
Definición: Se dice que un conjunto de r vectores
r321
v,...,v,v,v
de
un espacio vectorial real (V,+, R, .) es linealmente independiente si y
solamente si la ecuación vectorial
θv.α...vαvα
rr2211
=+++
admite
una única solución:
1
=
2
= ... =
r
= 0
Es decir:
=
=
r
1i
ii
θvα
i
α
= 0 i =1, 2,..., r
En otras palabras un conjunto de vectores es linealmente independiente,
si la única combinación lineal de esos vectores que es igual al vector nu-
lo, es aquella en que todos los coeficientes
i
valen 0.
Ejemplo:
Los vectores
1
v
= (2, 0) y
2
v
= (1, 1) son linealmente independientes
porque la única combinación lineal de ellos que es igual al vector nulo es
aquella en que
1
=
2
= 0
En efecto:
θvαvα
2211
=+
0)(0,1)(1,α0)(2,α
21
=+
=
=+
0α
0α2α
2
21
La única solución de este sistema es
0αy0α
21
==
.

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Capitulo 15 Superficies cilíndricas y cónicas..pdf
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