108
CAPÍTULO 4
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4.1. Definición: En un cuerpo K
1
, se llama sistema de m ecuaciones
lineales con n incógnitas, a un conjunto de ecuaciones de la forma:
=++++
=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
332211
33333232131
22323222121
11313212111
(I)
Donde todos los a
ij
y b
i
pertenecen al cuerpo K.
1
Un cuerpo ó campo, es un conjunto K con dos operaciones binarias, usualmente
llamadas suma “+” y producto “." La suma es asociativa, conmutativa y su elemento
neutro es 0, además para cada elemento existe un inverso. El producto es asociati-
vo, conmutativo, su elemento neutro es 1 y todo elemento distinto de cero tiene
inverso, además el producto se distribuye respecto de la suma.
109
El sistema es lineal porque ninguna de las n incógnitas está elevada a una
potencia superior a uno.
Se han colocado dos subíndices a los coeficientes de cada una de las in-
cógnitas para que quede perfectamente localizado. El primer subíndice
“i”, remite a la ecuación a la que pertenece, mientras que el segundo sub-
índice, “j” refiere a la incógnita de la cual es coeficiente.
Además este doble subíndice será de gran utilidad, más adelante, para la
construcción de ciertas matrices que se usarán en el análisis y en la reso-
lución de los sistemas de ecuaciones lineales.
4.1.1. Sistemas lineales homogéneos
Definición: Una ecuación lineal con n incógnitas es homogénea si su
término independiente es igual a cero.
Ejemplo:
2x
1
– 3x
2
+ x
3
+…+ x
n
= 0
Definición: Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es
homogéneo si las m ecuaciones son homogéneas.
=++++
=++++
=++++
=++++
0
0
0
0
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nmnmmm
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
Este sistema se llama Sistema Homogéneo asociado al Sistema no
Homogéneo dado en (I).
4.1.2. Otras formas de expresión de los sistemas de ecuaciones li-
neales
4.1.2.1. Expresión Vectorial
110
Con los coeficientes de la incógnita x
1
se puede construir un vector co-
lumna
2
:
1
31
21
11
m
a
a
a
a
Lo mismo se puede hacer con los coeficientes de cada una de las incóg-
nitas y con los términos independientes.
Entonces, el sistema dado en (I) puede expresarse como sigue:
=
++
+
+
m
n
mn
n
n
n
mmm
b
b
b
b
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
3
2
1
3
2
1
3
3
33
23
13
2
2
32
22
12
1
1
31
21
11
....
(II)
Esa es la forma vectorial del sistema de m ecuaciones lineales con n in-
cógnitas.
Si el sistema tiene solución, quiere decir que existen escalares x
1
, x
2
, ..., x
n
que satisfacen la igualdad (II).
Esto significa que el vector de los términos independientes es combina-
ción lineal de los vectores de los coeficientes.
Que un elemento sea combinación lineal de otros, significa que es el
resultado de la suma de producto entre pares de elementos de determi-
nados conjuntos, en este caso particular: matrices y escalares, multiplica-
dos entre sí.
Continuando con sistemas de ecuaciones lineales:
2
Se llama vector columna a una matriz de dimensión m x 1.
111
m
b
b
b
b
3
2
1
es combinación lineal de los vectores:
1
31
21
11
m
a
a
a
a
,
mn
n
n
n
m
a
a
a
a
a
a
a
a
3
2
1
2
32
22
12
,,
4.1.2.2. Expresión Matricial
Otra forma de expresar un sistema de ecuaciones lineales es por medio
de matrices.
A partir de un sistema dado, como por ejemplo (I), se pueden construir
tres matrices.
Una de ellas es una matriz de m filas y n columnas cuyos elementos son
los coeficientes de las incógnitas.
A =
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
321
3333231
2232221
1131211
A es una matriz de orden mn y se
llama Matriz de los Coeficientes
La segunda es una matriz columna cuyos elementos son las n incógnitas.
X =
n
x
x
x
x
3
2
1
X es de orden n1 y se llama Ma-
triz de las Incógnitas.
Finalmente, la tercera matriz es también una matriz columna cuyos ele-
mentos son los términos independientes.
112
B=
m
b
b
b
b
3
2
1
B es una matriz de orden m1 y se llama
Matriz de los Términos Independientes o
Matriz Constante.
Como A es de orden mn y X es de orden n1, el producto A.X es po-
sible y da como resultado una matriz de orden m1. Entonces, el sistema
de ecuaciones lineales se puede escribir de la siguiente manera:
A.X = B que se llama Forma Matricial o Forma Compacta
del Sistema.
X
A
n
x
x
x
x
3
2
1
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
321
3333231
2232221
1131211
nmnmmm
nn
nn
nn
xaxaxaxab
xaxaxaxab
xaxaxaxab
xaxaxaxab
m
++++=
++++=
++++=
++++=
33211
33332321313
23232221212
13132121111
2
Nota: Además, a partir del sistema dado, se puede construir una cuarta
matriz que se llama Matriz Ampliada y que se simboliza con A’.
La matriz ampliada A’ es una matriz de orden m(n+1), y sus columnas
son las columnas de A más la columna de los términos independientes.
113
A’=
mmnmmm
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
321
33333231
22232221
11131211
Como ya se dijo, esta matriz será de utilidad cuando se realice el análisis y
clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales.
4.2. Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales
Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar los valores
de las n incógnitas que satisfacen simultáneamente cada una de las m
ecuaciones del mismo.
4.2.1. Definición: Una n–upla de escalares
( )
n
,,,,
321
es una
solución de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas si satis-
face cada una de las m ecuaciones del mismo. Se la llama solución parti-
cular del sistema.
Se verá más adelante que un sistema de ecuaciones lineales puede tener
una, infinitas, o ninguna solución.
Si el sistema tiene solución, se llama conjunto solución ó solución ge-
neral, al conjunto de soluciones del sistema.
En el caso de los sistemas homogéneos claramente se observa que tie-
nen, siempre, al menos una solución que es la n–upla (0, 0, ..., 0). Esta
solución se llama solución trivial del sistema homogéneo.
4.2.2. Sistemas equivalentes
Definición: Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si y
sólo si tienen el mismo conjunto solución.
114
A continuación, se darán algunos teoremas que serán de fundamental
importancia a la hora de justificar los distintos métodos de resolución de
los sistemas de ecuaciones lineales.
Teorema: Si se agrega (o se quita) a un sistema de ecuaciones lineales
una ecuación que sea combinación lineal de las demás, se obtiene un
sistema equivalente al dado.
Demostración:
Sea un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
=+++
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
33232131
22222121
11212111
(I)
Sea la siguiente, una combinación lineal de las m ecuaciones del sistema
dado en (I):
( ) ( )
( )
mmnmnmmm
nnnn
bbbxaxaxa
xaxaxaxaxaxa
+++=+++
+++++++++
22112211
2222121212121111
Operando y agrupando nuevamente se obtiene:
( ) ( )
( )
mmnmnmnn
mmmm
bbbxaaa
xaaaxaaa
+++=++++
+++++++++
22112211
2222212111212111
d
m
i
iin
c
m
i
ini
c
m
ii
c
m
i
ii
bxaxaxa
n
=
++
+
==== 11
2
11
21
1
1
2
1
dxcxcxc
nn
=+++
2211
115
Se construye ahora un nuevo sistema incluyendo esta nueva ecuación.
=+++
=+++
=+++
=+++
dxcxcxc
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nn
mnmnmm
nn
nn
2211
2211
22222121
11212111
(II)
Sea
( )
n
,,,,
321
una solución del sistema (I). Entonces verifica
cada una de sus ecuaciones. ¿Verificará también la última ecuación del
sistema (II)?
Para responder a ello, se calcula:
n
m
i
ini
m
i
ii
m
i
iInn
aaaccc
++
+
=+++
=== 1
2
1
21
1
12211
.......
( )
+++++=
12111212111
(.... aaaa
mm
++++++
nnmm
aaaa
221122222
(...)...
nmnm
a
).... ++
( )
+++++=
121212121111
(...
aaaa
nn
+++++++
22112222
(...)...
mmmnn
aaaa
)...
nmn
a
++
=
mm
bbb
+++ ...
2211
= d
Entonces la n-upla
( )
n
,,,
21
verifica también la última ecuación
del sistema (II), por lo tanto también es solución de este sistema.
La demostración de que toda solución del sistema (II) es también solu-
ción del sistema (I) es evidente, ya que si una n–upla verifica todas las
116
ecuaciones del sistema (II), verifica también todas las ecuaciones del
sistema (I). Quedando demostrado, de esta manera, el teorema.
Teorema: En un cuerpo K infinito, un sistema de ecuaciones lineales
AX = B no tiene solución, tiene solución única, o tiene un número infi-
nito de soluciones.
Demostración:
Se demostrará únicamente que si el sistema tiene más de una solución
entonces tiene infinitas soluciones.
Sean X
1
y X
2
dos soluciones distintas del sistema, entonces se verifica
que: AX
1
= B y AX
2
= B.
Se plantea una combinación lineal de ambas soluciones, y se probará que
esa combinación lineal también es solución del sistema AX = B.
Sea, entonces, la combinación lineal (1+)X
1
– X
2
A. ((1+)X
1
– X
2
) = A.X
1
+ A.X
1
– A.X
2
=
0
)( BBB −+
0 es la Matriz nula.
= B
(1+)X
1
– X
2
también es solución del sistema.
Como la igualdad se verifica para cualquier valor de , el sistema tiene
entonces infinitas soluciones.
4.2.3. Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
El siguiente teorema es de suma importancia porque permite hacer el
análisis de un sistema cualquiera de ecuaciones lineales.
Teorema de Rouché – Frobenius: Un sistema de m ecuaciones lineales
con n incógnitas tiene solución si y sólo si el rango de la matriz de los
coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.
A.X = B tiene solución h(A) = h(A’)
En algunos textos, este teorema se enuncia como sigue:
117
“La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuacio-
nes lineales con n incógnitas tenga solución, es que el rango de la matriz
ampliada A’ sea igual al rango de la matriz A”
Demostración:
En primer lugar se demostrará que si el sistema tiene solución, entonces
el rango de A es igual al rango de A’.
Sea un Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas dado en forma
vectorial:
=
++
+
m
n
mn
n
n
n
mm
b
b
b
b
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
3
2
1
3
2
1
2
2
32
22
12
1
1
31
21
11
...
Si el sistema tiene solución, el vector
n
b
b
b
b
3
2
1
es combinación lineal de los
vectores
1
31
21
11
m
a
a
a
a
,
2
32
22
12
m
a
a
a
a
, ...,
mn
n
n
n
a
a
a
a
3
2
1
En consecuencia el número de columnas linealmente independientes
3
de
A’ es igual al número de columnas linealmente independientes de A.
Por lo tanto, ambas matrices tienen el mismo rango, es decir
3
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede
ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
118
h(A) = h(A’)
Se demostrará ahora la proposición recíproca: “Si h(A) = h(A’), entonces
el sistema A.X = B tiene solución”.
h(A) = h(A’) A.X = B tiene solución
Si ambas matrices tienen el mismo rango, tienen el mismo número de
columnas linealmente independientes.
Entonces el conjunto formado por todas las columnas de A’ es lineal-
mente dependiente y por lo tanto la columna de los b
i
que es la que no
figura en A, se puede expresar como combinación lineal de las columnas
de A. Es decir que existen escalares
n
,,
21
, tales que:
++
+
=
mn
n
n
n
n
mmm
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
3
2
1
2
32
22
12
2
1
31
21
11
1
3
2
1
Entonces la n-upla (
n
,,
21
) constituye una solución del sistema.
Si h(A) = h(A’) el sistema tiene solución. (Se dice que es compatible)
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Tiene solución
No tiene solución
Sistema compatible
Sistema incompatible
Una única
Infinitas
Solución:
Soluciones:
Compatible
Compatible
Determinado
Indeterminado
119
Ejemplos:
Sean los sistemas
a)
=+
=+
=+
062
03
1
31
31
21
xx
xx
xx
b)
=−−
=+
=+
06
0255
35
31
21
21
xx
xx
xx
Para cada sistema se calculará el rango de la matriz A y el rango de la
matriz ampliada A’, usando el método de Gauss–Jordan estudiado en el
capítulo de Matrices.
A fin de simplificar los cálculos, en cada caso se escribirán ambas matri-
ces en un solo esquema.
a)
1
1
0
1
1
0
3
0
2
0
6
0
1
1
0
1
0
-1
3
-1
0
-2
6
-2
1
1
0
1
0
1
-3
1
0
-2
6
-2
1
0
3
0
0
1
-3
1
h(A)=2
0
0
0
0
h(A’)=2
Sistema compati-
ble.
Tiene solución.
120
b)
1
5
0
3
5
25
0
0
-1
0
-6
0
1
5
0
3
0
0
0
-15
0
5
-6
3
1
5
0
3
0
0
0
-15
0
1
-6/5
3/5
1
0
6
0
0
0
0
-15
h(A)=2
0
1
-6/5
3/5
h(A’)=3
Sistema incompatible.
No tiene solución.
Se ha visto cómo determinar si un sistema tiene solución o no, es decir,
si es compatible o incompatible.
Ahora se tratará de determinar si un sistema compatible es determinado
o indeterminado, o sea, si tiene una o infinitas soluciones.
Volviendo sobre la segunda parte de la demostración del Teorema de
Rouché-Frobenius, se observa que pueden presentarse dos casos:
1º) h(A) = h (A’) = n
Tanto A como A’ tienen n columnas linealmente independientes.
Por lo tanto la expresión de
m
b
b
b
b
3
2
como combinación lineal de las co-
lumnas de A es única. Es decir que existe una única n-upla
( )
n
,,,,
321
tal que:
121
m
b
b
b
b
3
2
=
++
+
+
mn
n
n
n
n
mmm
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
2
1
3
33
23
13
3
2
32
22
12
2
1
31
21
11
1
El sistema tiene una única solución. Por lo tanto, es Compatible Deter-
minado.
2º) h(A) = h(A’) = r < n
Tanto A como A’ tienen sólo r columnas linealmente independientes.
La expresión vectorial del sistema es:
=
++
+
m
n
mn
n
n
n
mm
b
b
b
b
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
3
2
1
3
2
1
2
2
32
22
21
1
1
31
21
11
Si se supone que las columnas linealmente independientes son las r pri-
meras y se pasan todos los demás términos al 2º miembro, se obtiene:
n
mn
n
n
n
r
rm
r
r
r
m
r
mr
r
r
r
mm
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
b
b
b
b
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
−−
−
=
++
+
+
+
+
+
+
3
2
1
1
1,
1,3
1,2
1,1
3
2
1
3
2
1
2
2
32
22
12
1
1
31
21
11
......
122
−−−
−−−
−−−
−−−
=
++
++
++
++
nmnrrmm
nnrr
nnrr
nnrr
xaxab
xaxab
xaxab
xaxab
11,
311,33
211,22
111,11
(I)
Si se dan valores arbitrarios a x
r+1
, x
r+2
, ...., x
n
el segundo miembro re-
presentará en cada caso un vector distinto. Para cada uno de esos vecto-
res habrá una única r-upla de valores
( )
r
xxxx ,...,,,
321
que verificará la
igualdad. Entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Por lo tanto es
Compatible Indeterminado.
En resumen:
• Para analizar un sistema de ecuaciones lineales, se calculan el rango
de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada.
• Si h(A) h(A’) entonces A.X = B es Incompatible y no tiene solu-
ción.
• Si h(A) = h(A’) = n (nº de incógnitas), el sistema es Compatible De-
terminado y tiene una única solución.
• Si h(A) = h(A’) < n, el sistema es Compatible Indeterminado y tiene
infinitas soluciones.
En el ejemplo a) dado en la página 119 el sistema es Compatible Inde-
terminado. Ya que h(A) = h(A’) = 2 pero el número de incógnitas ( n) es
3, o sea que h(A) = h(A’) = 2 < n = 3.
4.2.4. Clasificación de Sistemas Lineales Homogéneos
Sea un Sistema Homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
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