81
Capítulo 5
DETERMINANTES
Para poder comprender mejor la definición de determinanates, veamos
en primer lugar algunos conceptos previos necesarios.
3.1. Permutaciones
3.1.1. Definición: Dados n números naturales 1, 2, 3, ..., n se llama
permutación simple a cualquier ordenación de esos n números.
Dos permutaciones cualesquiera tienen los mismos elementos y difieren
solamente en el orden de colocación de éstos.
Para n =4 la permutación se simboliza:
=
3124
4321
S
Otra permutación diferente de 4 elementos, puede ser:
=
2143
4321
T
La permutación
=
4321
4321
E
que presenta los números en el or-
den natural se llama permutación idéntica o fundamental.
82
¿Cuántas permutaciones pueden obtenerse con n elementos?
m – c a s i l l a s
C
1
C
2
C
3
C
4
. . .
C
n
n
elecciones
n – 1
elecciones
n – 2
elecciones
n – 3
elecciones
. . .
n – (n – 1)
elecciones
Cada casilla representa una posición en la permutación. Cuando se trata
de llenar la primera casilla son posibles n elecciones, ya que tenemos n
elementos. Elegido un elemento para llenar la primera casilla, para ocu-
par la segunda podrán hacerse (n – 1) elecciones diferentes. Es decir que
habrá n(n – 1) elecciones posibles para las dos primeras casillas. Siguien-
do de esta manera, para las tres primeras casillas habrá: n (n – 1) (n – 2)
elecciones posibles de los n elementos. Finalmente restará una elección
solamente para llenar la última casilla.
Luego el número de permutaciones de n elementos, que suele simboli-
zarse como P
n
, resultará.
P
n
= n (n – 1) (n – 2) . . . 3 . 2. 1
P
n
= n!
1
Ejemplo:
Continuando con n = 4, se podrán formar 4! permutaciones es decir:
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
Es decir que con 4 elementos distintos podemos formar 24 permutacio-
nes. ¿Cuáles son esas permutaciones?
En el siguiente esquema están las seis permutaciones considerando como
primer elemento al número 1 y siguiendo el razonamiento anterior. De la
misma manera se puede hacer para los números 2, 3 y 4 con lo que se
obtiene las 24 permutaciones calculadas.
1
El factorial de un entero positivo n, el factorial de n ó n factorial se define como el
producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n.
83
1
2
3
4 1234
4
3
1243
3
2
4 1324
4
2 1342
4
2
3 1423
3
2 1432
3.1.2. Inversión - Permanencia
Definición: Una permutación presenta una inversión cuando un
número mayor precede a otro menor. En caso contrario se dice que hay
permanencia.
Ejemplo: La permutación S dada anteriormente presenta 4 inversiones
porque el elemento 4 precede a 1, a 2 y a 3 y el elemento 3 precede a 2.
La permutación T presenta, también, 4 inversiones
=
3124
4321
S
=
2143
4321
T
La permutación
=
3421
4321
G
presenta una sola inversión.
Definición: Una permutación se dice par si presenta un número par de
inversiones. En caso contrario se dice impar.
A una permutación par se le asigna signo positivo y a una impar se le
asigna signo negativo.
Ejemplos: sg (S) = + sg (T) = + sg (G) =
− sg (E) = +
A partir de estos conceptos: permutación, permanencia, invarianza y
matrices, podemos definir determinanates.
3.2 Determinantes
Sea A = a
ij
una matriz cuadrada de orden n
84
=
nnn3n2n1
3n333231
2n232221
1n131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
Con los elementos de esa matriz se pueden formar productos de n
factores, tal que uno y sólo un factor pertenece a cada fila y uno y sólo
un factor pertenece a cada columna de A.
Un producto así formado, puede escribirse de la siguiente manera:
n321
np3p2p1p
.a..a.aa
Donde los factores pertenecen a filas sucesivas y por ende, los primeros
subíndices están en el orden natural 1, 2, 3, ...,n.
Como los factores pertenecen a columnas diferentes, la sucesión de los
segundos subíndices forman una permutación P tal que:
n321
p,...,p,p,pP =
.
Recíprocamente, cada permutación de los p
i
se asocia a un producto de
la forma anterior.
Entonces a partir de la matriz A se forman n! productos distintos.
Definición: El determinante de una matriz cuadrada A=a
ij
de orden n,
que se designa por det(A), (A) ó A, es la suma algebraica (calculada
sobre todas las permutaciones p
1
, p
2
, p
3
, ... , p
n.
) de todos los productos
que se pueden formar con los elementos de A, de modo que en cada
producto haya un elemento de cada fila y un elemento de cada columna.
Cada producto estará precedido de un signo + ó − que depende de la
paridad de la permutación p
1
, p
2
, p
3
, ... , p
n
.
A = A =
P
np3p2p1p
n321
...aaasg(P)a
donde sg(P) es el signo que
depende de la paridad de P.
85
−
+
=
imparesPsi
paresPsi
sg(P)
Ejemplo: Sea A una matriz cuadrada de orden 3.
==
P
3p2p1p
333231
232221
131211
321
aasg(P)a
aaa
aaa
aaa
A
A será entonces una suma que tiene 3! (o sea 6) términos, porque hay 6
permutaciones P, distintas.
312213322113312312332112322311332211
aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −++−−=
reordenando estos términos:
332112322311312213312312322113332211
aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++=
Esta expresión es el desarrollo de un determinante de 3º orden por la
Regla de Sarrus, la que se aplica sólo a determinantes de ese orden.
Si la matriz fuese de cuarto orden, el desarrollo del determinante tendría
24 términos y si fuese de 5° orden, el desarrollo tendría 120 términos, lo
que evidentemente hace que el cálculo del determinante se haga muy
trabajoso aplicando la definición dada.
p
1
p
2
p
3
Sg(P)
1
2
3
+
1
3
2
-
2
1
3
-
2
3
1
+
3
1
2
+
3
2
1
-
86
Hallar el determinante de la matriz
−
−
−
=
531
203
112
A
Más adelante se darán distintos métodos para calcular determinantes de
cualquier orden.
Si se calcula el rango de la matriz A se podrá verificar que este es 3. pues
hay tres vectores canónicos, esto significa que:
Si dada una matriz cuadrada de orden n el determinante asociado es dis-
tinto de cero significa que el rango de dicha matriz es n, es decir tiene n
vectores canónicos linealmente independientes.
En cambio cuando el determinante asociado a una matriz cuadrada de
orden n, es cero, significa que el rango de dicha matriz es menor que n; o
sea los vectores son linealmente dependientes y por lo tanto alguno de
ellos es combinación lineal de los restantes.
3.3. Propiedades de los determinantes
A continuación se enunciarán y demostraran las propiedades de los de-
terminantes. Cada una de estas propiedades es fácilmente verificable con
determinantes de orden 3.
Sea
una matriz cuadrada de orden n, se cumple que:
1) El determinante de una matriz A y el de su traspuesta son iguales.
Demostración
por lo tanto
Todo término del
está formado por n elementos, uno de cada fila y
uno de cada columna, luego pertenece también a
87
Las dos permutaciones que indican filas (columnas) en son las
mismas que indican columnas (filas) en
luego el signo de dicho
término en ambos determinantes es
según que ambas
permutaciones sean de clase par o impar respectivamente.
Así, por ejemplo, en el caso considerado
En
En
Luego
Esta propiedad permite afirmar que toda otra propiedad de los
determinantes referidas a sus filas es también válida para sus columnas.
2) Si se permutan dos filas (columnas) de una matriz, los
correspondientes determinantes son opuestos:
Demostración
por lo tanto
Intercambiar entre sí dos filas significa una transposición en los primeros
índices, lo cual cambia la clase de la permutación y como la de los
segundos índices correspondientes a las columnas no ha variado, habrá
un cambio de signo en cada término del determinante.
En
88
En
Luego
Consecuencia de la segunda propiedad
El determinante de toda matriz que tenga dos filas (columnas) idénticas
es nulo.
Si
Al permutar dos filas (la primera y la segunda por ejemplo) por la
propiedad anterior el determinante será
pero siendo idénticas las
filas, el nuevo determinante es igual al anterior. Es decir
Luego
3) Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz por
un mismo número
el determinante correspondiente queda multiplicado
por
Demostración
Si
Si multiplicamos por
los elementos de la primera fila, resulta
89
Según el desarrollo de los determinantes por elementos de una línea,
tenemos:
Esta propiedad permite separar como factor del determinante un factor
común a todos los elementos de una línea cualquiera, simplificando esta.
Ejemplo
Consecuencia de la tercera propiedad
Si en el determinante de una matriz, los elementos de una línea son
proporcionales a los correspondientes de otra paralela a ella, el
determinante es nulo.
En efecto, si separamos el coeficiente de proporcionalidad como factor
del determinante queda otro con dos líneas iguales y por lo tanto es nulo.
Esta consecuencia puede generalizarse de la siguiente manera:
Si la línea de una matriz es combinación lineal de las demás, el
determinante correspondiente es nulo.
4) Si todos los elementos de una línea de una matriz son ceros, su
determinante es nulo.
90
Esto es verdad ya que por la tercera propiedad, separando como factor
común del determinante, el elemento nulo, resultara:
5) Si los elementos de una línea de una matriz se pueden escribir como
suma de m términos, puede descomponerse el determinante
correspondiente en suma de m determinantes que tienen las mismas
restantes líneas y en lugar de aquella, la formada por los primeros
sumandos, por lo segundos, . . . , y por los m – ésimos respectivamente.
Si
Desarrollando el determinante por los elementos de la primera fila,
tenemos:
Consecuencia de la quinta propiedad
El determinante de una matriz no varía si a una línea se le suma una
combinación lineal de otras
Dado
Si a la primera fila le sumamos la segunda multiplicada por cualquier
número
, resulta:
91
Por la quinta propiedad
por la tercera propiedad
por la segunda propiedad
Esta consecuencia permite simplificar los determinantes, reduciendo a
cero varios elementos de una misma línea mediantes adiciones y
sustracciones convenientes; cada elemento que se logre anular así, evita
el cálculo de un cofactor al desarrollar, el determinante, por los
elementos de esa línea.
Ejemplo:
Efectuando operaciones entre filas y columnas reducir a ceros todos los
elementos de una línea, excepto uno, y luego desarrollar por los
elementos de esa línea.
92
Desarrollamos el determinante obtenido por el elemento
3.4. Cálculo de determinantes
3.4.1. Menor Complementario y Adjunto (ó Cofactor)
Definición: Dada una matriz de orden n, se denomina Menor com-
plementario de un elemento a
ij
, y se designa con M
ij
, al determinante de
orden (n-1) que se obtiene eliminando de la matriz dada, la fila y la co-
lumna a la que pertenece el elemento a
ij
.
Ejemplos:
Sea
−
−−−
−
−
=
1240
3125
0124
5031
A
una matriz de orden 4.
Escribimos el Menor Complementario de los elementos a
23
y a
14
.
129
140
325
531
M
23
−=−−
−
=
32
240
125
124
M
14
=
−
−−−
−
=
93
Definición: dada una matriz A de orden n, se denomina Adjunto ó Co-
factor de un elemento a
ij
, al Menor Complementario de ese elemento
precedido de un signo que depende de la posición del elemento a
ij
en la
matriz.
A
ij
= (-1)
i+j
M
ij
Ejemplo: Para la misma matriz A dada en el ejemplo anterior los adjun-
tos o cofactores de los elementos a
23
y a
14
son, respectivamente:
A
23
= (-1)
2+3
M
23
= (-1)
5
M
33
= (-1)(-129) = 129
A
14
= (-1)
1+4
M
14
= (-1)
5
M
14
= (-1). 32 = -32
Nota: A continuación, se enunciarán tres teoremas, sin demostrarlos,
pero verificándolos con un ejemplo.
Teorema 1: El determinante de una matriz triangular es igual al produc-
to de los elementos de la diagonal principal.
A es matriz triangular
=
=
n
1i
ii
aA
350000035
700
250
321
A
700
250
321
A −=−−−++−=
−
=
−
=
A 351).5.7(a
3
1i
ii
=−=−=
=
Teorema 2: Sea A una matriz cuadrada de orden n, tal que a
11
0 y a
1j
=
0 j 1. Entonces el determinante de A es igual al producto del elemen-
to a
11
por su menor complementario.
Simbólicamente:
94
=
=
1111
1j
11
nn
.MaA
1j0a
0a
/KA
Sea
14A
352
143
002
A −=
−−
−=
(I)
7512
35
14
M
11
−=+−=
−
−
=
a
11
.M
11
= 2(−7)= −14 (II)
Comparando (I) y (II) se verifica: A = a
11
.M
11
Teorema 3: Sea A una matriz de orden n tal que a
ek
0 y a
ej
=0 j k
(siendo e y k fijos). Entonces el determinante de A es igual al producto
del elemento a
ek
por su adjunto o cofactor.
Simbólicamente:
=
kj0a
0a
/KASea
ej
ek
nn
A = a
ek
A
ek
Ejemplo: Sea la matriz
42A
413
300
251
A −=
−
−
=
(I)
1415)1)(1(
13
51
1)(M1)(A
5
23
32
23
=−−=−=−=
+
a
23
. A
23
= (−3).14 = −42 (II)
De (I) y (II) resulta A= a
23
.A
23
95
3.4.2. Desarrollo de Laplace
Teorema: El determinante de una matriz cuadrada A de orden n, es
igual a la suma de los productos obtenidos al multiplicar los elementos
de cualquier fila por sus respectivos cofactores.
El desarrollo de Laplace según los elementos de una fila i dada, es:
inini3i3i2i2i1i1
.Aa.Aa.Aa.AaA ++++=
ó lo que es lo mismo:
=
=
n
1j
ijij
.AaA
donde i es fijo
Esa expresión del determinante recibe el nombre de Desarrollo de
Laplace del determinante de una matriz A según los elementos de
la i – ésima fila.
Ejemplo:
Sea
45A
513
336
231
A −=
−
=
El desarrollo de Laplace según los elementos de la 2° fila será:
=
=
3
1j
2j2j
.AaA
= a
21
.A
21
+ a
22
.A
22
+ a
23
.A
23
= 6 (-1)
2+1
M
21
+ 3.(-1)
2+2
M
22
+ 3.(-1)
2+3
M
23
13
31
1)3(
53
21
3
51
23
1)6( −+
−
+
−
−=
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