38
Agradecimientos
El presente material de trabajo fue elaborado en base al Capítulo 2 del
libro Elementos de Álgebra y Geometría Analítica Vol. II de las autoras
Celia M. Torres Bugeau, Ana M. Lasserre y Adelina García que se
termino de imprimir en noviembre del año 2.009 y cuya primera autora
fue hasta el año 2019 Profesora Asociada de la Cátedra Álgebra y
Geometría Analítica de la Facultad de Ingeniería.
Este libro forma parte de la Bibliografía básica y de consulta de la cátedra
mencionada y la generosidad de las autoras, particularmente de la Lic.
Celia M. Torres Bugeau permitió que podamos seguir brindando a
nuestros alumnos un material confeccionado acorde, tanto a las
necesidades de la cátedra como a las características de los estudiantes
jujeños.
Vaya para las tres autoras y muy especialmente para nuestra estimada
compañera de trabajo –Celia– que a pesar de ya no contar con su gran
experiencia en la docencia aún sigue colaborando y aportando su granito
de arena, todo nuestro agradecimiento.
Cátedra de Álgebra y Geometría Analítica
Facultad de Ingeniería 2020.
39
CAPÍTULO 2: MATRICES
Para poder comprender la definición de matriz –desde un punto de vista
netamente matemático– es necesario recordar brevemente los conceptos
de Intervalo Natural Inicial y Producto Cartesiano.
2.1. Intervalo Natural Inicial
Definición: Se llama Intervalo Natural Inicial al conjunto de los n
primeros números naturales.
I
n
= {1, 2, 3,..., n} Por ejemplo: I
5
= {1, 2, 3, 4, 5}
I
m
I
n
es el producto cartesiano
1
de dos intervalos naturales iniciales.
Por ejemplo:
I
2
= {1, 2} I
4
= {1, 2, 3, 4}
I
2
I
4
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}
De esta manera, ahora podemos interpreter con más detalle la definición
de matriz.
2.2. Matriz
Definición: Se llama matriz de orden m × n, con elementos en el cuer-
po
2
K, a una función f: I
m
I
n
→ K
1
Producto cartesiano, I
m
X I
n
, entre dos conjuntos, es un tercer conjunto pero de
pares ordenados en donde el primer componente pertenece al primer conjunto dado
(I
m
) mientras que el segundo componente pertenece al segundo conjunto (I
n
).
2
Un cuerpo ó campo, es un conjunto K con dos operaciones binarias, usualmente
llamadas suma “+” y producto “.” .La suma es asociativa, conmutativa y su elemen-
to neutro es 0, y para cada elemento, existe un inverso. El producto es asociativo,
conmutativo, su elemento neutro es 1 y todo elemento distinto de cero tiene inverso,
además el producto se distribuye respecto de la suma.
40
f es una función que a cada par ordenado de elementos de I
m
I
n
le hace
corresponder un escalar perteneciente a K.
En general la imagen del par ordenado (i, j) del dominio se denota por a
i j
f(i, j) = a
i j
Entonces la función f (matriz) queda caracterizada por el conjunto de
imágenes
mn
m3
m2m1
3n333231
2n232221
1n131211
a
a
aa
aaaa
aaaa
aaaa
Ese conjunto de imágenes, se escribe como un cuadro de mn elemen-
tos de K dispuestos en m filas y n columnas.
En cada fila o renglón se escriben las imágenes de todos los pares que
tienen la misma primera componente mientras que en cada columna se
anotan las imágenes de todos los pares ordenados que tienen la misma
segunda componente.
El elemento de la matriz que figura en la fila i y en la columna j se denota
por a
ij
y es la imagen por f del par ordenado (i, j).
Las matrices se designan con letras mayúsculas mientras que la misma
letra pero en minúsculas denota un elemento de dicha matriz.
Simbólicamente A = (a
ij
)
m×n
A= (a
ij
) con
=
=
n1,2,3,...,j
m1,2,3,...,i
41
A =
mnm3m2m1
3n333231
2n232221
1n131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
ó también A =
nm
ij
a
que se lee: A es la matriz de orden mn, con
elementos a
ij.
en K, o sea pertenecientes al cuerpo K.
El conjunto de todas las matrices de orden mn, con elementos en K se
simboliza K
m
n
.
Ejemplo 1:
=
NjNiR/a
aa
aa
R
ij
2221
1211
22
representa a todas las matri-
ces de dos filas por dos columnas, cuyos elementos son números reales.
Suele decirse que es una matriz real de dos por dos.
Ejemplo 2:
1-
A
−
−
=
824
50
es una matriz real de orden 2 x 3, se acostumbra decir
que es una matriz rectangular 2 x 3.
Ejemplo 3. Construir una matriz de orden 2 x 2 donde .
Debemos construir una matriz
en donde cada elemento se obtiene aplicando la
relación . Entonces
42
Luego la matriz pedida es
Un caso particular en la definición de matrices es aquella en la cual todos
sus elementos son cero, se conoce como matriz nula y suele designarse
con la letra N. Es decir que:
tal que
Por ejemplo
es la matriz nula de orden 3 x 2.
2.3. Matriz Cuadrada
Definición: Dada una matriz A de orden mn, se dice que A es una
Matriz Cuadrada si y sólo si, m = n.
A =
nnn3n2n1
3n333231
2n232221
1n131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Por lo tanto, una matriz es cuadrada si el número de filas es igual al nú-
mero de columnas (m = n). En ese caso se dice, simplemente, que es una
matriz de orden n.
Definición: En una matriz cuadrada, se llama diagonal principal al
conjunto formado por los elementos a
ij
donde
ji =
, o sea al conjunto de
elementos: {a
11
, a
22
, a
33
,..., a
nn
}.
43
Definición: Se llama traza de una matriz cuadrada A de orden n a la
suma de los elementos de la diagonal principal.
Tr = a
11
+ a
22
+ a
33
+...+ a
nn
Ejemplo:
Sea la matriz
−
−−
=
410
306
152
A
la diagonal principal está formada por los
elementos: –2, 0 y 4 mientras que su traza es: Tr = 2.
2.4. Igualdad de Matrices
Definición: Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y los
elementos correspondientes son iguales.
Simbólicamente
=
=
ji;;ba
B;A
BA
ijij
nmnm
Las matrices
+
=
−
=
y2
1-2x
B y A
02
14
serán iguales solo si
x = 2 e y = 0, mientras que las matrices
−
=
02
23
C
y
−
−
=
02
23
D
no son iguales ya que a pesar del mismo or-
den, no tienen todos sus elementos iguales
.
Por último las matrices:
no son iguales porque
no tienen el mismo orden.
2.5. Operaciones con matrices
Se definirán, en primera instancia, sólo dos operaciones en el conjunto
K
mxn
: la Suma de matrices y el Producto de una matriz por un escalar.
44
2.5.1. Suma: Se llama suma de dos matrices de orden mn a otra matriz
de orden m×n, cuyos elementos son la suma de los elementos corres-
pondientes de las matrices dadas.
Sean A y B dos matrices pertenecientes a K
m×n
.
nm
==+
ij
cC/CBA
en la cual, c
ij
= a
ij
+b
ij
Es importante remarcar que sólo se pueden sumar matrices del mismo
orden y el resultado es otra matriz del mismo orden. Esto significa que la
suma de matrices de distintos ordenes no está definida.
Ejemplo:
−
=
421
312
A
32
−
−
=
352
101
B
32
−
=
+−+−
++−
=+
731
411
345221
130112
BA
A+B también es una matriz de orden 23.
2.5.1.1. Propiedades de la suma
Sean A, B y C tres matrices de orden mn.
a) La suma de matrices es conmutativa.
A+B = a
ij
+ b
ij
= b
ij
+ a
ij
= b
ij
+ a
ij
= B+A
b) La suma de matrices es asociativa.
A+(B+C) = a
ij
+ b
ij
+ c
ij
Porque la suma escalares es conmutativa.
45
= a
ij
+ (b
ij
+ c
ij
)
= (a
ij
+ b
ij
) + c
ij
Porque la suma de escalares es asociativa.
= a
ij
+ b
ij
+ c
ij
= (A+B) + C
c) Existencia del elemento neutro.
Existe una única matriz N (matriz nula) de orden mn , tal que para
toda matriz A=a
ij
K
m
n
se cumple que A+N = N+A = A
AANNA:KA/KN
nmnm
=+=+
N = n
ij
/ n
ij
= 0 i,j
D) La existencia es evidente puesto que se definió matriz nula como
aquella matriz cuyos elementos son todos cero.
Para demostrar la unicidad del neutro vamos a suponer que existen
dos neutros para la suma: N
1
y N
2
, por lo tanto, si:
N
1
es neutro entonces N
1
+ N
2
= N
2
N
2
es neutro entonces N
2
+ N
1
= N
1
De donde se deduce, por ser los primeros miembros de ambas
igualdades iguales, que N
1
= N
2
y consecuentemente el neutro es
único. Quedando de esta manera demostrada la propiedad.
d) Existencia del inverso aditivo u opuesto.
Para toda matriz A=a
ij
K
m
n
existe otra matriz de orden mn
llamada opuesta de A y representada por –A = –a
ij
tal que:
A + (–A) = (–A) + A = N
NAA)(A)(/AKA)(:KA
nmnm
=+−=−+−
D) La existencia de tal matriz es evidente puesto que cuando se de-
fina –en el próximo título– producto de una matriz por un escalar, si
el escalar es –1 al multiplicarse por cualquier matriz se obtiene la
matriz opuesta a la dada.
46
Para demostrar la unicidad del elemento opuesto vamos a suponer
que para un elemento A=a
ij
K
m
n
existen dos opuestos
por lo tanto se debe cumplir que y también
que
de donde se deduce que . Consecuente-
mente el inverso aditivo u opuesto de cada elemento de K
m
n
es úni-
co. Quedando demostrada así, la propiedad.
2.5.2. Producto de una matriz por un escalar
Definición: El producto de una matriz A = a
ij
m×n
por un escalar K
es otra matriz de orden mn que se obtiene al multiplicar cada elemento
de A por .
=
mnm3m2m1
2n232221
1n131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
=
mnm3m2m1
2n232221
1n131211
λaλaλaλa
λaλaλaλa
λaλaλaλa
A
De acuerdo a la definición del producto de una matriz por un escalar, si
la matriz es A=a
ij
K
m
n
y el escalar es:
a)
entonces matriz opuesta a .
b) entonces matriz nula. En general si deberá
ser .
2.5.2.1. Propiedades del producto de una matriz por un escalar
47
Sean A y B matrices pertenecientes a K
m
n
, , y escalares se cumplen
las siguientes propiedades.
a) El producto de una matriz por un escalar es asociativo respecto de los
escalares.
(A) = () A
D) (A) = a
ij
= (a
ij
)
=()a
ij
Porque el producto de escalares es asociativo.
= ()a
ij
= () A
b) El producto de una matriz por un escalar es distributivo respecto de la
suma de escalares.
( + )A = A + A
D) ( + )A = ( + ) a
ij
= ( + )a
ij
= a
ij
+ a
ij
Porque el producto de escalares es dis-
tributivo con respecto a la su-
ma.
= a
ij
+ a
ij
= A + A
c) El producto de una matriz por un escalar no nulo es distributivo res-
pecto de la suma de matrices.
(A + B) = A + B
D) (A + B) = a
ij
+ b
ij
= (a
ij
+ b
ij
)
= a
ij
+ b
ij
Porque el producto de escalares es distri-
butivo con respecto a la suma.
= a
ij
+ b
ij
48
= a
ij
+ b
ij
= A + B
d) Existencia de la unidad.
Existe =1 / A = A
En efecto: 1 A = 1 a
ij
1 A = 1 a
ij
= a
ij
= A
De las propiedades demostradas para la suma de matrices y el producto
de una matriz por un escalar se deduce que el conjunto de la matrices:
K
m
n
para cuales se definieron las operaciones de suma y producto por
un escalar determinan un espacio vectorial y cada matriz es un vector.
K
m
n
se denomina, entonces, espacio de las matrices de orden mn, con
elementos en K.
2.6. Producto de matrices
Sea A = (a
11
a
12
.... a
1n
) una matriz de orden 1n y sea B =
n1
21
11
b
b
b
una matriz de orden n1.
Definición: El producto A.B (en ese orden) es la matriz C de orden 11
cuyo único elemento es c
11
= a
11
.b
11
+ a
12
.b
21
+...+ a
1n
.b
n1
49
(a
11
a
12
.... a
1n
) .
n1
21
11
b
b
b
= a
11
.b
11
+ a
12
.b
21
+...+ a
1n
.b
n1
=
=
n
1k
k11k11
.bac
Definición: Sean A = a
ij
una matriz de orden mp y B = b
ij
una
matriz de orden pn. El producto A.B es otra matriz C de orden mn
que se define como sigue:
=
==
p
1k
kjikijij
.bacquetalcC
i=1,2,...,m j=1,2,...,n
Ó sea que
pjip3ji32ji21ji1ij
.ba.ba.ba.bac ++++=
.
Esto significa que al multiplicar una matriz A de orden m x p por otra B,
de orden p x n, en ese orden dado, se obtiene la matriz C de orden m x n
(tantas filas como A y tantas columnas como B) cuyo elemento genérico
c
ij
es la suma de los productos de los elementos de la fila “i” de A, por
los correspondientes elementos de la columna “j” de B.
Importante: Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el
número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de
la segunda matriz.
Sean A
3×2
=
3231
2221
1211
aa
aa
aa
; B
2×2
=
2221
1211
bb
bb
; C
1×2
=
( )
1211
cc
50
El producto A.C no es posible porque el número de columnas de A no
es igual al número de filas de C.
En cambio, el producto A.B si es posible ya que A es de orden 3 x 2 y B
de orden 2 x 2
A.B = P donde P es una matriz de orden 32.
El producto C.B también es posible y resulta una matriz de orden 12.
Ejemplo:
Sea A
2×3
= B
3×2
=
B
A
11
b
12
b
21
b
22
b
11
a
12
a
2112111111
babap +=
2212121112
babap +=
21
a
22
a
2122112121
babap +=
2222122122
babap +=
31
a
32
a
2132113131
babap +=
2232123132
babap +=
B
C
11
b
12
b
21
b
22
b
11
c
12
c
2112111111
bcbcp +=
2212121112
bcbcp +=
B
A
1
0
0
1
2
1
2
1
3
2+0+6 = 8
0+1+3 = 4
-1
0
1
-1+0+2 = 1
0+0+1 = 1
2 1 3
-1 0 1
1 0
0 1
2
1
51
(A.B)
2×2
=
11
48
2.6.1. Propiedades del producto de matrices
Sólo se enunciarán las propiedades del producto de matrices, sin demos-
trarlas. Sean A, B y C tres matrices de K
m
n
1) El producto de matrices no es conmutativo.
Si A K
m
n
y B K
n
m
entonces coexisten los productos AB
K
m
m
y BA K
n
n
pero son distintos si m n.
Si m = n tanto AB como BA son matrices del tipo n x n, es decir
cuadradas y pertenecientes a K
n
n
pero en general se verifica que AB
BA. Si dadas dos matrices A y B se verifica que AB = BA las ma-
trices se dicen conmutables.
2) El producto de matrices, si es posible, es asociativo.
A.(B.C) = (A.B).C
Para que sea posible el producto, A debe ser de orden mp, B debe
ser de orden pq y C de orden qm.
3) El producto de matrices, si es posible, es distributivo (a izquierda y a
derecha) con respecto a la suma de matrices.
A.(B + C) = A.B + A.C
(A + B).C = A.C + B.C
4) Siendo A una matriz de orden mp; B una matriz de orden pn y λ
un escalar, se verifica que el producto de matrices es asociativo res-
pecto al producto por un escalar.
λ(A.B) = (λA).B = A.(λ B)
52
5) El producto de dos matrices no nulas puede ser la matriz nula. En
otras palabras, si el producto de dos matrices es la matriz nula, ello
no implica que una de las matrices sea la matriz nula.
Por ejemplo:
=
63
21
A
;
−−
=
21
42
B
A.B = 0 A = 0 o B = 0
6) Sean las matrices A K
n
m
, B K
m
p
y C K
m
q
. Si A . B = A . C no
implica necesariamente que B = C.
2.7. Operaciones con matrices cuadradas
Al realizar las operaciones de suma y producto por un escalar con matri-
ces cuadradas de orden n, se obtiene otra matriz cuadrada de orden n.
El producto de matrices cuadradas del mismo orden es siempre posible.
También pueden calcularse las potencias de una matriz cuadrada:
A
2
= A.A
A
3
= A
2
.A = (A.A).A
-2 -4
B
A 1 2
1 2 0 0
3 6 0 0
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