Pág. 1
Capítulo 3
Polinomios
1.1.- Introducción
La resolución de ecuaciones algebraicas o la determinación de las raíces de un polinomio,
está entre los problemas más antiguos de la matemática, se han encontrado problemas
relacionados con este tema en el libro chino “Chu Chang Suan Shu” o “Arte Matemático
en Nueve Secciones” que data del año 200 a.C.
Puesto que las ecuaciones polinómicas aparecen en un amplio rango de áreas de la
ciencia, desde química y física básica hasta economía, el problema de determinar raíces
de polinomios es, frecuentemente, un paso obligado en la resolución de problemas. Por
ejemplo, la optimización es una técnica matemática que permite usar de manera eficiente,
recursos escasos como el tiempo, la energía ó el dinero, bajo la guía de determinados
objetivos. Las empresas la emplean para tomar decisiones respecto a la conveniencia o
no de, por ejemplo, contratar más empleados, remodelar la empresa, comprar más
productos para su posterior venta ó simplemente dejar el dinero en el banco. Para
establecer la estrategia óptima se resuelven una serie de ecuaciones polinómicas que
reflejan cuanta inversión y cuanto beneficio se asocia a cada acción. Las estrategias
óptimas se asocian, generalmente, con las raíces de las ecuaciones propuestas.
Cuando se trata de hallar las raíces de un polinomio, se debe resolver la ecuación
correspondiente (el polinomio igualado a cero). En algunos casos, esta tarea es sencilla
(polinomios lineales o cuadráticos) pero en otros no es nada fácil. Para estos últimos,
existen métodos útiles que permiten, si no determinar, aproximar las raíces buscadas.
Desde el siglo XVI se conocen fórmulas para determinar las raíces de polinomios de hasta
cuarto grado en términos de los coeficientes del polinomio, con la utilización de
operaciones algebraicas o la extracción de raíces –a partir de los de segundo grado, las
fórmulas se complican un poco– pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado
fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo, recién en 1824 Niels
Henrik Abel demostró que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de
quinto grado o mayores. Este resultado marcó el camino hacia el teorema de Galois.
En este tercer capítulo estudiaremos, luego de las generalidades de polinomios, las
operaciones que se pueden realizar entre ellos y sus correspondientes propiedades. Se
demostrarán teoremas y analizarán distintas situaciones que permitirán determinar las
raíces de polinomios.
1.2.- Conceptos básicos
Pág. 2
Si bien los polinomios pueden ser considerados como un tipo especial de funciones, estos
tienen una estructura que permite realizar operaciones entre ellos y tratarlos como
objetos algebraicos. Particularmente estudiaremos los polinomios de una sola
indeterminada, la cual la designaremos con .
Definición: un polinomio, , en una indeterminada, , con coeficientes en es una
expresión de la forma:
Escrito en su forma sintética:
Los
, llamados coeficientes del polinomio , son números complejos. Si los
son
todos números reales se dice que es un polinomio con coeficientes en y si todos
los
son racionales se dice que es un polinomio con coeficientes en , de igual
manera para el caso de coeficientes enteros.
Al coeficiente
se le da el nombre de coeficiente principal (y al término que lo contiene:
término principal) mientras que al
el de término independiente. Cuando el coeficiente
principal es 1, es decir
, se dice que es un polinomio mónico.
El conjunto de todos los polinomios con coeficientes complejos se denota , el de los
polinomios con coeficientes reales, , el de polinomios con coeficientes racionales,
. Obviamente, .
Vamos a usar la letra para representar a cualquiera de los conjuntos numéricos
, de forma que representará el conjunto de todos los polinomios con
coeficientes en . El beneficio de hacer esto es que vamos a poder enunciar (usando )
resultados de manera más simple en lugar de tener que escribir un enunciado para cada
conjunto numérico.
Ejemplos:
El polinomio es de coeficientes reales, mientras que el polinomio Q(x) es de
coeficientes complejos y el
es de coeficientes enteros.
Sea el polinomio
, se considerará
si el término en
no se encuentra
en
En del ejemplo anterior
y en
En general pueden presentarse dos casos:
a) Existe al menos un coeficiente
no nulo. Por lo tanto llamaremos grado del polinomio
y se simbolizará , al mayor entero tal que
es no nulo.
b) Todos los coeficientes son nulos. En ese caso el polinomio es el polinomio nulo.
Pág. 3
Continuando con el ejemplo anterior:
.
Otros polinomios importantes son los polinomios constantes, de la forma
donde
, son de grado 0 si
. Si identificamos el elemento
con el polinomio contante
, podemos pensar que . Por ejemplo, .
Convenimos en que el polinomio nulo carece grado, aunque algunos autores le atribuyen
grado –1 y en otros casos le asignan grado infinito.
¿Cuándo dos polinomios son iguales? Consideramos que dos polinomios son iguales
cuando tienen el mismo grado y sus coeficientes coinciden término a término, pero
también los consideraremos iguales a polinomios que difieran en términos con
coeficientes nulos.
Igualdad de polinomios: los polinomios
, son iguales si
para
y si
para en el caso que , ó
si
para cuando .
Esto significa, como se dijo anteriormente que, por ejemplo, son iguales los polinomios:
pero también vamos a considerar iguales a los
polinomios:
Esto nos permite afirmar que en el caso del polinomio nulo, al considerar todos los
, existe un único polinomio nulo en .
Un punto importante sobre los polinomios es que se puede reemplazar la indeterminada
por un elemento de y realizar las operaciones indicadas. A esto se lo llama especializar
o evaluar el polinomio.
Evaluación de polinomios: sea el polinomio
y el número , definimos
como el elemento de que obtenemos al reemplazar la indeterminada por el
número y efectuamos el cálculo expresado en P.
Evidentemente , esto significa que al evaluar un polinomio se obtiene por
resultado un número.
Ejemplo: sea el polinomio
entonces:
es decir
.
2.- Operaciones con polinomios
Como se dijo anteriormente, con los polinomios se pueden realizar operaciones tales como
suma, producto e inclusive división. La realización de estas operaciones es muy sencilla.
Por ejemplo, realizar la suma (ó resta) de polinomios se procede a sumar (restar)
respectivamente los términos correspondientes a la misma potencia de la indeterminada.
2.1.- Suma de polinomios: sean los polinomios
definimos la suma de estos polinomios como:
donde, de igual
Pág. 4
manera que la igualdad de polinomios, convenimos en que
para
en el caso que , ó si
para cuando .
Ejemplo: si
entonces:
De manera análoga podemos definir la resta de los polinomios
por:
con idéntico convenio.
Ejemplo: si
entonces:
Destacamos dos cuestiones:
a) estas operaciones están definidas de tal forma que se verifica:
y
.
b) el grado de la suma o resta de dos polinomios P y Q es menor o igual que el máximo
de los grados de dichos polinomios.
2.2.- Producto de un polinomio por un escalar:
Dado un polinomio
, el producto de P por un escalar , es otro polinomio , el
cual se obtiene multiplicando cada coeficiente de por el escalar .
Sea el polinomio
y el escalar entonces:
Ejemplo: sea
entonces:
De acuerdo a la definición del producto de un polinomio por un escalar, si el polinomio
es y el escalar es:
a) entonces polinomio opuesto a .
b) entonces polinomio nulo.
Propiedades de la suma y producto por un escalar
Veremos a continuación, cuáles son las propiedades algebraicas que poseen las dos
operaciones básicas antes definidas con polinomios, estas propiedades son similares a
las que poseen las operaciones de suma y producto de números reales.
P
1
) La suma es ley de composición interna en
.
Pág. 5
Esto significa que la suma, como está definida, es una operación que a cada par de
polinomios de
le hace corresponder un único polinomio de
.
D) Es inmediata por la definición de suma en
.
P
2
) La suma es asociativa en
.
D) Sean
los i–ésimos coeficientes de los polinomios respectivamente. Por lo
tanto
es el i–ésimo coeficiente de así que
es el i–ésimo coeficiente
de ( . Como
por la propiedad asociativa
en , los coeficientes respectivos de y de son iguales. Concluimos
entonces que .
P
3
) La suma es conmutativa en
.
.
D) Sean
los i–ésimos coeficientes de los polinomios respectivamente. Por lo
tanto
es el i–ésimo coeficiente de . Como
por la
propiedad conmutativa en , los coeficientes respectivos de y de son iguales.
Concluimos entonces que .
P
4
) Existe un único elemento neutro para la suma en
.
El elemento neutro se denota con .
.
D) La existencia es evidente puesto que se definió el polinomio nulo como aquel polinomio
cuyos coeficientes son cero.
Respecto de la unicidad del polinomio nulo, es una consecuencia de la igualdad de
polinomios que se destacó en ese apartado.
P
5
) Todo polinomio de
admite un único inverso aditivo u opuesto en
.
El polinomio opuesto a uno cualquiera , se nota por –.
.
La existencia de tal polinomio es evidente puesto que cuando se definió producto por un
escalar, si el escalar es –1 al multiplicarse por cualquier polinomio se obtiene el opuesto
de dicho polinomio.
Para demostrar la unicidad del elemento opuesto vamos a suponer que para un polinomio
existen dos opuestos
por lo tanto se debe cumplir que
y
también que
de donde se deduce que
. Consecuentemente el inverso
aditivo u opuesto de cada elemento de
es único.
P
6
) El producto es ley de composición externa en
con escalares en .
.
Pág. 6
Esto significa que el producto de un polinomio de
por un escalar, como está definido,
es una operación que a cada par polinomio–escalar, le hace corresponder un único
elemento de
.
D) La existencia de tal polinomio es inmediata, por la definición de producto de un
polinomio de
por un escalar.
P
7
) El producto por un escalar satisface la asociatividad mixta.
.
D) Sea
el i–ésimo coeficiente del polinomio . Por lo tanto
es el i–ésimo coeficiente
de y por lo tanto
el i–ésimo coeficiente de
. Como
por la propiedad asociativa en , las componentes respectivas de y de
son iguales. Concluimos entonces que
.
P
8
) El producto por un escalar es distributivo respecto a la suma en .
.
D) Sea
el i–ésimo coeficiente del polinomio . Por lo tanto
es el i–ésimo
coeficiente de
. Como
por la propiedad
distributiva del producto en , respecto a la suma, las componentes respectivas de
y de son iguales. Entonces .
P
9
) El producto por un escalar es distributivo respecto a la suma en .
.
D) Sean
los i–ésimos coeficientes de los polinomios respectivamente. Por lo
tanto
es el i–ésimo coeficiente de como también
es el i–ésimo
coeficiente de . Como
por la propiedad
distributiva del producto en , respecto a la suma, los coeficientes respectivos de
y de son iguales. Concluimos entonces que .
P
10
) La unidad en es el neutro para el producto por un escalar.
.
Como el conjunto de los polinomios con las operaciones definidas: suma y producto por
un escalar cumple con las propiedades enunciadas, se dice que este conjunto tiene
estructura de espacio vectorial.
2.3.- Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por cada uno
de los términos del otro polinomio y luego se suman los términos semejantes.
Dados los polinomios
entonces:
Pág. 7
Ejemplo: sean los polinomios
y
para multiplicarlos se suele realizar la siguiente disposición práctica:
−2x
5
+5x
3
−x
2
+5x
−4
×
5x
5
−x
2
−12x
+1
−2x
5
+5x
3
−x
2
+5x
−4
+24x
6
−60x
4
+12x
3
−60x
2
+48x
+2x
7
−5x
5
+x
4
−5x
3
+4x
2
−10x
10
+25x
8
−5x
7
+25x
6
−20x
5
−10x
10
+25x
8
−3x
7
+49x
6
−27x
5
−59x
4
+12x
3
−57x
2
+53x
−4
−
−
−
−
−
−
Al igual que en la suma de polinomios, la definición de producto de polinomios es
consistente con la evaluación de polinomios, es decir para se verifique que:
Una consecuencia de la definición del producto es que el coeficiente principal de
es el producto del coeficiente principal de por el de . En particular, al estar trabajando
en se puede afirmar que:
y que
Propiedades del producto de polinomios
P
1
) El producto es ley de composición interna en
Si
entonces
Esto significa que el producto de polinomios, como está definido, es una operación que a
cada par de polinomios le hace corresponder un único elemento de
.
D) Es inmediata por la definición de producto de polinomios.
P
2
) El producto es asociativo en
.
D) Sean
los i–ésimos coeficientes de los polinomios respectivamente. Por lo
tanto
es el i–ésimo coeficiente de así que
es el i–ésimo coeficiente de
(. Como
por la propiedad asociativa en , los
coeficientes respectivos de
y de son iguales. Concluimos entonces que
.
P
3
) El producto es conmutativo en
.
Pág. 8
.
D) Sean
los i–ésimos coeficientes de los polinomios respectivamente. Por lo
tanto
es el i–ésimo coeficiente de . Como
por la propiedad
conmutativa en , los coeficientes respectivos de y de son iguales. Concluimos
entonces que .
P
4
) Existe un único elemento neutro para el producto en
.
El elemento neutro para el producto es el polinomio
D) La existencia de este polinomio es evidente ya que en la definición de polinomios se
vieron los polinomios constantes.
Para demostrar la unicidad del neutro vamos a suponer que existen dos neutros para el
producto:
, por lo tanto, si:
es neutro entonces
es neutro entonces
De donde se deduce, por ser los primeros miembros de ambas igualdades iguales, que
y consecuentemente el neutro para el producto, es único.
P
5
) Inverso multiplicativo.
Sólo los polinomios de grado cero
tienen recíproco, pues si es un
polinomio y su recíproco, su producto debe ser igual al elemento neutro, es decir
, es decir . Esto trae como consecuencia que la suma de los grados de
debe ser cero, esto exige a su vez que tanto el grado de como el de sean iguales
a cero.
P
6
) El producto es distributivo respecto a la suma en
.
D) Sean
los i–ésimos coeficientes de los polinomios respectivamente. Por
lo tanto
es el i–ésimo coeficiente de como también
es el i–ésimo
coeficiente de . Como
por la propiedad
distributiva del producto en , respecto a la suma, los coeficientes respectivos de
y de son iguales. Concluimos entonces que
.
2.4.- Raíces de un polinomio
Estudiaremos en primer lugar que es raíz ó cero de un polinomio, es decir aquellos
números que al evaluarlos en el polinomio, anulan a este.
Definición: sean el polinomio
y el número , se dice que es un cero o una
raíz de si
.
Ejemplo 1: los polinomios de grado 1,
siempre tienen una única raíz
. Sea el
polinomio
se anula para ya que
.
Pág. 9
Ejemplo 2: sea el polinomio de segundo grado
cuya notación más
popular es
con , ya conocemos una fórmula para
calcular las raíces (resolvente para la ecuación de segundo grado). Esta fórmula puede
demostrarse utilizando el procedimiento conocido como “completar cuadrados”:
El número
se denomina discriminante del polinomio cuadrático . Si tiene
una raíz cuadrada en , es decir si existe un elemento
que resuelva la ecuación
(lo que es posible en si y siempre en ) entonces podemos escribir P como
diferencia de cuadrados:
con
Por lo tanto se anula cuando
, es decir que
son exactamente las
raíces de .
En resumen, un polinomio de segundo grado tiene exactamente dos raíces, siempre que
sea posible extraer la raíz cuadrada de su discriminante
en ,
particularmente esto es posible siempre en y en solo si .
La denominación de “raíz” ha quedado por razones históricas, ya que los matemáticos
pensaban, inicialmente, que los ceros de un polinomio podrían determinarse mediante
fórmulas involucrando la extracción de raíces análogas a la que hemos estudiado para
los polinomios de segundo grado. De hecho esto es posible si el grado de P es tres o cuatro
(la fórmulas correspondientes se complican un poco), sin embargo luego se demostró que
esto no es en general posible para polinomios de grado mayor o igual a cinco.
Grafica de polinomios
La gráfica de todos los polinomios son curvas suaves (no tienen elevaciones ni
depresiones abruptas) y continuas (sin interrupciones en su trazo); distinguiéndose dos
elementos: las ramas y la parte central. En la parte central, la grafica se puede plegar
varias veces.
Pág. 10
a) Las ramas: no son nunca rectas, aunque pueden parecerlo si el dominio representado
es muy extenso. Pueden dirigirse ambas hacia arriba, ambas hacia abajo o bien una en
cada dirección. Si se representa la gráfica de un polinomio en un intervalo mayor, la
forma de los extremos prácticamente no varía, vale decir, los extremos de una gráfica nos
dan una idea de cómo continúa la gráfica de un polinomio.
Por ejemplo, las ramas de la gráfica del polinomio
se dirigen
ambas hacia arriba y tiene tres pliegues en su parte central.
Gráfico 1
En cambio las ramas de la gráfica de
se dirigen
ambas hacia abajo y también tiene tres pliegues.
Gráfico 2
Finalmente las ramas de la gráfica de
se dirigen una
hacia abajo y la otra hacia arriba y tiene dos pliegues.
Pág. 11
Grafico 3
Estas observaciones pueden generalizarse de la siguiente manera:
Sea el polinomio
con
, entonces:
Si es par y
la gráfica de tendrá las dos ramas hacia abajo pero si
tendrá ambas ramas hacia arriba.
Si es impar una rama va hacia abajo y la otra hacia arriba
Este comportamiento obedece a que el coeficiente principal de un polinomio determina si
la grafica del mismo crecerá o decrecerá hacia la derecha de algún valor de . Conforme
el valor de x aumenta, este término terminará por dominar a todos los demás del
polinomio. Por lo tanto si el coeficiente de este término es positivo, en algún momento la
gráfica comenzará a crecer a medida que el valor de aumente. Si el coeficiente principal
es negativo, en algún momento la gráfica comenzará a decrecer a medida que el valor de
disminuya.
b) La parte central: en esta parte la gráfica se pliega varias veces, el número de pliegues
depende del grado del polinomio. El máximo de pliegues de la gráfica de un polinomio es
su grado menos 1; de este modo sabemos, la gráfica de un polinomio lineal no puede
tener pliegues, en cambio la gráfica de un polinomio cuadrático tiene exactamente un
pliegue, la gráfica de un polinomio de grado tres tiene, como máximo dos pliegues.
La gráfica de un polinomio debe observarse de izquierda a derecha, así por ejemplo en la
gráfica correspondiente a
comprobamos que al principio se
dirige hacia arriba, después hacia abajo y, finalmente hacia arriba.
Pág. 12
Gráfico 4
De manera más rigurosa podemos decir que:
i) La gráfica de un polinomio será creciente cuando, a medida que aumenta el valor de ,
al evaluar el polinomio también obtenemos un valor cada vez mayor.
ii) La gráfica de un polinomio será decreciente cuando, a medida que aumenta el valor de
, al evaluar el polinomio –por el contrario– obtenemos un valor cada vez menor.
De este modo, en el ejemplo anterior, la gráfica es creciente cuando , es decreciente
entre –2 y 1 y vuelve a ser creciente a partir de 1, tal como lo muestra el siguiente gráfico.
Gráfico 5
Otros puntos importantes que podemos tener en cuenta a la hora de observar y/o
esquematizar la gráfica de un polinomio, son los siguientes:
i) Los máximos y los mínimos; se denomina máximo relativo al punto en el que la gráfica
pasa de ser creciente a decreciente, el valor del polinomio en este punto es mayor que el
Pág. 13
de cualquier otro punto de la gráfica que se encuentre cercano. En cambio un mínimo
relativo es aquel punto en el que la función pasa de ser decreciente a creciente, el valor
del polinomio en este punto es menor que el de cualquier otro punto de la gráfica que se
encuentre cercano.
En la gráfica del ejemplo anterior,
podemos observar que un
máximo relativo se encuentra en
es decir en mientras que
encontramos un mínimo relativo en es decir en .
ii) La intersección con el eje
: evidentemente solo existe un único punto de intersección
con el eje
. Este punto es el que tiene abscisa .
Por ejemplo, si
, el único punto de intersección de la gráfica de
este polinomio con el eje
es
es decir tal como se puede observar en la
gráfica correspondiente.
Gráfico 6
iii) La intersección con el eje
: en este caso puede haber un número de intersecciones
igual al grado del polinomio. Para esto se puede resolver la ecuación
o bien
buscar un método –que luego se estudiaran– para determinar las raíces reales del
polinomio. Es decir que, gráficamente, las raíces reales del polinomio son los puntos en
donde este interseca al eje
.
Si se conocen las raíces de un polinomio, se puede expresar este en función de ellas.
Por ejemplo el polinomio
tiene tres
raíces reales
, por lo tanto el polinomio se puede expresar
como:
. Se puede comprobar como
es una
raíz doble en la gráfica correspondiente.
Pág. 14
Gráfico 7
3.- Divisibilidad de polinomios
En el conjunto de polinomios
se pueden estudiar cuestiones de divisibilidad o
factorización ya que se definieron previamente suma, resta y producto de polinomios.
Este estudio está en completa analogía con la aritmética de números enteros, cuestión
que nos ayudará a entender conceptos similares pero con polinomios.
Cabe destacar que la factorización de polinomios guarda estrecha relación con el
problema de encontrar las raíces o ceros de un polinomio.
Definición: sean los polinomios
se dice que divide a y lo denotamos como
si existe un polinomio
tal que .
Sean
si
Ejemplo: el polinomio
divide al polinomio
en ya que
admite la factorización:
.
La divisibilidad de polinomios tiene dos importantes propiedades:
P
1
) Si divide a entonces divide al producto , cualquiera sea el polinomio
.
Si
D) Si entonces existe el polinomio
tal que:
si llamamos
lo que significa que
es decir que
Pág. 15
P
2
) Si divide a y a , entonces divide a su suma y a su diferencia.
Si
D)
Si con
Si con
Sumando miembro a miembro
con por lo tanto
Para el caso de que s procede de manera similar.
Debemos destacar que todo
es divisible por cualquier constante no nula
(pensadas como polinomios de grado cero), es decir que estas constantes juegan el mismo
papel en la aritmética de polinomios que los números 1 y –1 juegan en la aritmética de
.
A partir de la definición de divisibilidad, se puede introducir la noción de polinomio
irreducible que sería la noción análoga a la de número primo en la aritmética de .
Definición: sea el polinomio no constante
se dice que es irreducible en
si
no es posible factorizarlo en la forma donde son polinomio no constantes de
.
Ejemplo 1: todo polinomio de grado 1 es siempre irreducible.
Ejemplo 2: un polinomio de grado 2 será irreducible, según tenga o no raíces en . Sea
el polinomio
si lo pensamos en
es irreducible pues no admite una factorización
como producto de dos factores de grado 1. En cambio si lo pensamos en
se factoriza
de la forma
y por lo tanto no es irreducible.
En general un polinomio que admite raíces en no puede ser irreducible en
.
Un concepto importante en la aritmética de es el algoritmo de división, por ello tiene
sentido preguntarse si habrá un concepto similar para polinomios.
3.1.- El algoritmo de división para polinomios
La división de polinomios se define de manera análoga a la división de números enteros.
Recordemos que dados , dividir por consistía en encontrar dos enteros
tales que para . El número recibe el nombre de cociente de la
división y el resto, también se llamaba dividendo y divisor. El objetivo de dividir
por es ver cuántas veces está contenido en el número (dado por el cociente ) y si
no está contenido un número exacto de veces cuanto sobra hasta poder completar
una vez más (dado por el resto ). Por ejemplo la división de por tiene
Este documento contiene más páginas...
Descargar Completo
Capitulo 15 Superficies cilíndricas y cónicas..pdf
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.
Descargar
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.