Capítulo 2
Números Complejos
1.1.- Introducción
En el campo de los números racionales son siempre posible las cuatro operaciones
racionales: adición y su inversa, sustracción, multiplicación y su inversa, división, ésta
última, siempre que el divisor sea distinto de cero. En consecuencia, la potenciación con
exponente natural, como caso particular de la multiplicación, es siempre posible. Pero
veamos que ocurre con sus operaciones inversas.
Sean . En la relación
, el número recibe el nombre de
raíz n-ésima de . Si conocemos y , el exponente , al que hay que elevar b para obtener
el número se llama logaritmo de a respecto de la base b; esto es:
.
Tenemos, por lo tanto, dos operaciones inversas a la potenciación: la radicación y la
logaritmación.
La extracción de raíces no siempre es posible, ya que si el índice es par y el radicando es
negativo, no existe ningún número real cuyas potencias de exponente par, sean
negativas. Asimismo, carecen de logaritmo en el sistema real los números negativos, ya
que si la base es positiva, sus potencias de exponente real cualquiera son siempre
positivas, por lo tanto, no pueden coincidir con el número dado si este es negativo.
Todavía carecen de sentido, expresiones tales como:
Muchos otros problemas quedan sin solución en campo de números reales, a modo de
ejemplo, resolver ecuaciones de la forma
con y . Si es impar, la
ecuación tiene exactamente una solución real. Por ejemplo, si
. Si es
par y es positivo, existen exactamente dos soluciones reales. Por ejemplo, si
. Sin embargo, si es par y es negativo, la ecuación no tiene soluciones en , ya
que, como se dijo anteriormente, ningún número real elevado a una potencia par es
negativo. Particularmente, la ecuación
no tiene solución en los números reales.
Se hace necesaria la ampliación de a un conjunto en donde puedan resolverse
situaciones como las enunciadas anteriormente, de manera que estos nuevos números
definidos comprendan como caso particular a los números reales. Tal conjunto es el de
los números complejos.
En este segundo capítulo estudiaremos las distintas formas en las que se puede expresar
un mismo número complejo y la equivalencia entre ellas; las operaciones (incluyendo la
conjugación) que se pueden realizar entre estos números y en las diversas formas en que
se expresan, en todos los casos la correspondiente interpretación geométrica. También
se demostrarán las propiedades de las operaciones.
1.2.- Conceptos básicos
En vista de la insuficiencia del campo de números reales, lo ampliaremos creando nuevos
números, cada uno de los cuales se compone de un par de números reales de igual modo
que todo número racional se compone de un par de números enteros.
Número complejo: llamaremos número complejo a todo par ordenado de números reales.
El conjunto de números complejos se designa con , es decir que
, o sea que se
puede caracterizar como
.
La notación usual para los números complejos es conocida como forma
Cartesiana. Son ejemplos:
.
Parte real de un número complejo es su primera componente, mientras que parte
imaginaria es su segunda componente. Esto se simboliza como:
Sea
.
Para que los nuevos números definidos comprendan como caso particular a los números
reales, convendremos en adoptar para cada número real “a” la expresión compleja
.
Particularmente el par ordenado identifica al número real 1 y el al 0. Los
números complejos no reales se llaman , en particular los números que
tiene nula su primera componente se llaman El más sencillo es
llamada unidad imaginaria y lo designaremos siempre por la letra .
Un número complejo es real si y sólo si su parte imaginaria es cero.
es
Un número complejo es imaginario puro si y sólo si su parte real es cero.
es
Ejemplos:
es un número real,
es un número
imaginario puro.
2.- Representación gráfica de números complejos
Considerando un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, los números
complejos se corresponden con los puntos del plano. La abscisa de cada punto es la parte
real y la ordenada es la parte imaginaria.
Un complejo se representa entonces geométricamente por el punto del plano –
que indicamos con la misma letra – de coordenadas cartesianas y , o bien por el
vector asociado al complejo que va desde el origen del sistema hasta el punto (vector
posición del punto).
Gráfico 1
Luego:
“A cada complejo le corresponde un punto del plano y a cada punto del plano le corresponde
un único número complejo. Un número complejo puede tomarse como representante de un
vector y un vector puede tomarse como representante de un número complejo”.
Esto significa que geométricamente los números complejos se pueden interpretar como
un caso particular de los n–vectores,
, en donde , por lo tanto, son válidos muchos
de los conceptos estudiados en el Capítulo 1: Vectores de
.
Ejemplo 1: representar gráficamente
Gráfico 2
Ejemplo 2: determinar analítica y gráficamente los complejos tales que:
a)
Todos los pares ordenados que tengan como primera componente igual a –3, son los que
tienen la forma . La ecuación representa una recta paralela al eje de las
ordenadas que pasa por el punto de abscisa –3. Esto significa que todos los números
complejos cuya parte real es igual a –3, están representados gráficamente en la recta de
ecuación .
Gráfico 3
b)
Esta condición se traduce como , la segunda componente de los números complejos
es igual o menor que 2. La inecuación corresponde al semiplano que contiene al
origen y cuyo borde es la recta de ecuación .
Gráfica 4
c)
La condición se traduce como , ecuación en dos variables que representa una
recta, cuya ecuación explícita es .
Gráfico 5
3.- Otras formas de expresar un número complejo
3.1.- Números complejos expresados en forma binómica
Por el momento, en
vamos a definir la adición y multiplicación de la siguiente
manera:
Sean
Ejemplo: sean los complejos
entonces:
Veamos qué ocurre cuando multiplicamos el número real b, expresado como complejo
por la unidad imaginaria que expresada como complejo es
es decir
.
Es decir que al multiplicar un número real (expresado como complejo) por la unidad
imaginaria, se convierte a este en un número imaginario puro, ya que tiene su
primer componente igual a cero.
, reemplazando
y
obtenemos
, o lo que es lo mismo
1
Ahora bien, si realizamos la siguiente suma:
Pero
por lo tanto
, o lo que es lo mismo:
conocida como expresión binómica de un número complejo.
Ejemplo: expresar los números complejos del ejemplo 1, en forma binómica.
A partir de esto, nos interesan las potencias sucesivas de la unidad imaginaria, para lo
cual hacemos:
1
En el apartado correspondiente, se demostrará la propiedad conmutativa del producto de números complejos.
La regularidad que se puede observar en los resultados, nos conduce a enunciar el
siguiente teorema que permite calcular cualquier potencia de la unidad imaginaria.
Teorema de las potencias n–ésimas de i: Sean , tres números naturales tales que
con , entonces
D)
Es decir que podemos calcular cualquier potencia de con exponente natural ,
considerando como exponente el resto de la división de en cuatro.
Ejemplos:
Calcular
Como
Como
Finalmente, nótese que hasta el momento no hemos definido ninguna relación de la forma
con
, esto se debe a que la diferencia esencial que presentan los complejos
respecto al cuerpo
2
de los números reales, consiste en que es no ordenado.
En efecto si el conjunto de números complejos fuera ordenado, como se presentarían
dos casos: .
Si entonces es decir
o sea que lo cual es un absurdo. De
manera similar si suponemos . Por lo tanto, el cuerpo de los números complejos no
puede ser ordenado.
Las dos formas de expresar un complejo, cartesiana y binómica, no son las únicas; existe
una tercera (también una cuarta) forma llamada polar (porque utiliza un sistema de
coordenadas polares para ubicar el punto en el plano, que representa el número
complejo) o trigonométrica.
2
Un cuerpo ó campo, es un conjunto K con dos operaciones binarias, usualmente llamadas suma “+” y producto “." La
suma es asociativa, conmutativa y su elemento neutro es 0, además para cada elemento existe un inverso. El producto
es asociativo, conmutativo, su elemento neutro es 1 y todo elemento distinto de cero tiene inverso, además el producto
se distribuye respecto de la suma.
3.2.- Números complejos expresados en forma polar o trigonométrica
Como se dijo anteriormente, las coordenadas cartesianas
del punto determinan el
vector
Podemos fijar la posición de , en el plano, de otra forma.
Elegimos una semirrecta
a la que llamaremos eje polar y al origen al que lo
llamaremos polo. Elegimos además una unidad de medida y un sentido de giro en el
plano, considerando sentido positivo, el sentido contrario al del movimiento de las agujas
del reloj. La posición de queda determinada por el módulo del vector
, es decir por el
número
y por el ángulo que debe girar el eje polar
alrededor del polo, , en
sentido positivo hasta superponerse a la semirrecta de origen , que contiene al vector
y cuya medida en radianes o grados sexagesimales llamaremos .
Gráfico 6
El conjunto formado por el polo, el eje polar, la unidad de medida y el sentido positivo
para los giros recibe el nombre de Sistema de Coordenadas Polares.
Los números: llamado módulo o radio vector y llamado argumento, reciben el nombre
de coordenadas polares del punto o del vector
.
Las coordenadas polares suelen escribirse como: o en forma resumida como
.
El número , por definición es positivo o nulo, no negativo. El número real se llama
argumento principal del complejo no nulo si
El número complejo de módulo y argumento suele designarse como
Para un punto dado existen infinitos argumentos. Si uno de ellos es se deducen de
él todos los demás con la fórmula: .
Del gráfico 6 se puede deducir que:
por lo tanto, se tiene que:
es decir que:
que es la forma polar o trigonométrica del complejo .
Donde definen unívocamente a , mientras que caracteriza unívocamente a pero
no a .
3.3.- Equivalencia entre los sistemas de representaciones
De la figura anterior puede deducirse que:
Fórmulas que permiten pasar del sistema cartesiano al polar.
De la misma figura puede deducirse que:
Fórmulas que permiten pasar del sistema polar al cartesiano
Ejemplos:
a) Determinar la forma polar del complejo
En este caso
, aplicando las fórmulas correspondientes
y
Esta última ecuación da dos valores para el argumento , sin embargo,
es uno solo el que corresponde a . Lo elegimos teniendo en cuenta los signos de las
coordenadas cartesianas en cada uno de los cuadrantes.
Por ser en este caso positivos, resulta del primer cuadrante e igual a 60°.
Por lo tanto
b) Determinar la forma cartesiana del complejo
En este caso , aplicando las fórmulas correspondientes
Por lo tanto
4.- Igualdad de números complejos
Dos números complejos
serán iguales si y sólo si tienen sus
componentes reales y sus componentes imaginarias respectivamente iguales
Si
, entonces
D)
Como
se tiene que
esto es
y por lo tanto
Si los números complejos están expresados en forma polar, se tiene
La condición necesaria y suficiente para que dos números complejos
sean
iguales, es que sean iguales sus módulos y que sus argumentos difieran en múltiplos de
Si
, entonces
Veamos el porqué de esta condición.
Sean
y
, como
entonces
de donde
y
de estas dos últimas igualdades se deduce que los ángulos
deben diferir en o sea
.
Por ejemplo, las expresiones
representan el mismo número complejo.
5.- Operaciones con números complejos
5.1.- Suma de números complejos
La suma de dos números complejos es otro complejo cuya componente real es la suma de
las componentes reales de los complejos dados y cuya componente imaginaria es la suma
de sus componentes imaginarias.
Si
entonces
Ejemplo
entonces
Interpretación geométrica de la suma de números complejos: geométricamente, la
suma de números complejos se efectúa por la regla del paralelogramo, es decir por la
regla de la suma de vectores que parten del origen de coordenadas, según lo que vimos
en el Capítulo 1.
Gráfico 7
5.2.- Producto de un número complejo por un escalar
Dado un número complejo y un número real , el producto de por es otro
complejo cuyas componentes se obtienen multiplicando las componentes real e imaginaria
del complejo dado por el número real
Sean entonces
Gráficamente el complejo esta sobre la recta que pasa por el origen de coordenadas y
el punto que representa al complejo .
Si el número complejo esta expresado en forma polar, es decir
entonces
donde
Esto quiere decir, como se dijo anteriormente, que los complejos están sobre la
recta que une el origen de coordenadas y el punto que representa al complejo .
Gráfico 8
El módulo del producto de un número real por un complejo es igual al valor absoluto
del número real multiplicado por el módulo del complejo.
Ejemplo: sea el complejo y el escalar entonces .
En términos geométricos, el complejo es el vector que tiene igual dirección que y que
dependiendo del signo de tiene igual sentido
o sentido opuesto
a la del
vector que representa a y cuya longitud es igual al valor absoluto de por la longitud
del vector que representa a .
Ejemplo 1: sea el vector entonces el vector que representa al complejo
tendrá la misma dirección que el vector que representa a y una longitud
igual al triple del mismo.
Gráfico 9
Ejemplo 2: sea el complejo
, entonces el complejo será
representado por un vector cuyo sentido es opuesto al del vector que representa a y una
longitud igual a la mitad del mismo.
Gráfico 10
De acuerdo a la definición de producto de un número complejo por un escalar, si el
complejo es y el escalar es:
a) entonces complejo opuesto a .
b) entonces complejo nulo.
Propiedades de la suma de números complejos y producto por un escalar
Veremos a continuación, cuáles son las propiedades algebraicas que poseen las dos
operaciones básicas antes definidas, estas propiedades son similares a las que
estudiamos en el Capítulo 1 para vectores en
, con la salvedad que en este caso .
P
1
) La suma es ley de composición interna en
Si
entonces
Esto significa que la suma, como está definida, es una operación que a cada par de
números complejos le hace corresponder un único elemento de .
D) Es inmediata por la definición de suma de números complejos.
P
2
) La suma es asociativa en .
Esta propiedad ya fue demostrada para
, por lo tanto, es válida para el caso particular
de
. Sin embargo, se brindará una forma alternativa de demostrar esta propiedad,
considerando la forma binómica de los números complejos.
D) Sean
entonces
Por lo tanto, la suma de números complejos, es asociativa.
P
3
) La suma es conmutativa en .
D) Sean
entonces
P
4
) Existe un único elemento neutro para la suma en .
El elemento neutro para la suma es el complejo nulo, es decir
D) La existencia es evidente puesto que se definió el complejo nulo como aquel número
complejo cuyas componentes son cero.
Para demostrar la unicidad del neutro vamos a suponer que existen dos neutros para la
suma:
, por lo tanto, si:
es neutro entonces
es neutro entonces
De donde se deduce, por ser los primeros miembros de ambas igualdades iguales, que
y consecuentemente el neutro para la suma, es único.
P
5
) Cada elemento en admite un único inverso aditivo u opuesto en .
El elemento opuesto a uno cualquiera , se nota por .
La existencia de tal número complejo es evidente puesto que cuando se definió producto
de un complejo por un escalar, si el escalar es –1 al multiplicarse por cualquier complejo
se obtiene el opuesto de dicho complejo.
Para demostrar la unicidad del elemento opuesto vamos a suponer que para un complejo
existen dos opuestos
y que los mismos son iguales.
y
sumando miembro a miembro
por asociatividad de la suma y elemento neutro
por ser
opuesto de
Consecuentemente, el inverso aditivo u opuesto de cada elemento es único.
P
6
) El producto es ley de composición externa en con escalares en .
Esto significa que el producto de un número complejo por un escalar, como está definido,
es una operación que a cada par complejo–escalar, le hace corresponder un único
elemento de .
D) La existencia de tal complejo es inmediata, por la definición de producto de un número
complejo por un escalar.
P
7
) El producto por un escalar satisface la asociatividad mixta.
D) Sea entonces
Concluimos entonces que
.
P
8
) El producto por un escalar es distributivo respecto a la suma en .
D) Sea entonces
con lo que se demuestra que el producto de un complejo por un escalar, es
distributivo respecto de la suma de escalares.
P
9
) El producto por un escalar es distributivo respecto a la suma en .
D) Sean
entonces
por lo que se concluye que el producto por un escalar, es distributivo respecto
a la suma de números complejos.
P
10
) La unidad para los es el neutro para el producto por un escalar.
Como el conjunto de los números complejos con las operaciones definidas: suma y
producto por un escalar cumple con las propiedades enunciadas, se dice que este
conjunto tiene estructura de espacio vectorial.
5.3.- Diferencia de números complejos
La diferencia de números complejos significa sumar al minuendo el opuesto del
sustraendo.
La diferencia de dos números complejos es otro número complejo cuya componente real es
la diferencia de las componentes reales de los complejos dados y cuya componente
imaginaria es la diferencia de las componentes imaginarias
Si
entonces
Ejemplo
entonces
En cuanto a la resta, teniendo en cuenta que el número opuesto al número es
el punto del plano complejo que es simétrico al punto con respecto al origen de
coordenadas, la interpretación geométrica de la resta se reduce al caso de la suma.
Gráfico 11
5.4.- Producto de números complejos
El producto de dos números complejos es otro número complejo cuya componente real
es igual al producto de las componentes reales menos el producto de las componentes
imaginarias de los complejos dados y cuya componente imaginaria es igual a la suma de
los productos cruzados.
Si
entonces
Ejemplo
entonces
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