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168
ELIPSE
6.1. Definición
Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos punto fijos F y F’ llamados focos, es constante. (Fig.6.1.)
En símbolos:
ctePF'PF =+
La recta que pasa por los focos
F y F’, se llama eje focal o eje
de simetría
de la elipse.
El punto medio del segmento
FF'
es el centro de la curva y se desig-
na con la letra C.
Fig.6.1.
6.2. Ecuación de la elipse con centro en el origen
6.2.1. Si el eje focal es el eje x
C(0, 0) y los focos son puntos del eje x cuyas coordenadas son: F(c, 0) y
F ’(-c, 0), donde c es la medida del segmento que separa al centro de cada
foco (Fig. 6.2.) y recibe el nombre de distancia focal.
169
Fig. 6.2.
Aplicando la definición y llamando 2a a la constante:
2aPF'PF =+
( ) ( )
( ) ( )
2a0ycx0ycx
2222
=−+++−+−
( )
( )
2
2
2
2
ycx2aycx ++−=+−
Elevando ambos miembros al cuadrado:
( )
2222
2
2222
yc2cxxycx4a4ayc2cxx ++++++−=++−
( )
2
2
2
ycxaacx ++=+
170
Elevando ambos miembros al cuadrado se obtiene:
)yc2cx(xaacx2axc
22224222
+++=++
22222224222
ayac2cxaxaacx2axc +++=++
cx2axcay2cxaxaaca
22222222224
−−++=−
222222224
xcayxaaca −+=−
( ) ( )
22222222
aycaxcaa +−=−
Llamando b
2
a la diferencia
22
ca −
:
222222
aybxba +=
Dividiendo ambos miembros por
22
ba
2
2
2
2
b
y
a
x
1 +=
o lo que es lo mismo
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Esta es la Ecuación de la Elipse de centro en el origen y eje focal x.
Ahora bien, ¿Qué representan los números a y b que figuran en esa ex-
presión?.Para determinarlo se calcularán las intersecciones de la curva
con el eje focal y con el eje perpendicular a él que pasa por C.
Como el eje focal es el eje x, las intersecciones buscadas tendrán ordena-
da 0. Reemplazando en la ecuación de la curva:
1
b
0
a
x
2
2
2
2
=+
x
2
= a
2
x = a
171
La intersección con el eje focal son dos puntos V(a, 0) y V’(−a, 0) que
reciben el nombre de vértices de la elipse.
a es la medida del segmento que separa el centro de cada vértice y se
llama semieje mayor de la elipse. En consecuencia, 2a es la longitud del
eje mayor de la elipse (longitud del segmento
VV'
).
El eje perpendicular al eje focal que pasa por C es el eje y, entonces las
intersecciones buscadas tendrán abcisa 0. Reemplazando en la ecuación
de la curva:
2
2
2
b
y
a
0
+
= 1
y
2
= b
2
y = b
La intersección con el eje y son dos puntos B(0, b) y B’(0,−b) que reci-
ben el nombre de extremos del eje menor de la elipse.
b es la medida del segmento que separa el centro de cada extremo del eje
menor y se llama semieje menor de la elipse. En consecuencia, 2b es la
longitud del eje menor de la elipse (longitud del segmento
BB'
)
Relación entre
Sea la elipse:
172
Según la definición, siendo un punto de la elipse, debe cumplirse:
Lo mismo ocurre con el punto
Pero de los triángulos rectángulo
por ser congruentes
surge que
Por lo tanto
Luego
En toda elipse, la diferencia entre los cuadrados del semieje mayor y la
distancia focal es igual al cuadrado del semieje menor
222
bca =−
173
6.2.2. Si el eje focal es el eje y
Cuando los focos están sobre el
eje y, sus coordenadas son:
F(0, c) y F’(0, −c)
La ecuación de la elipse de centro
en el origen y eje focal y es:
(Fig.6.3)
1
b
x
a
y
2
2
2
2
=+
En esta elipse los vértices son los
puntos:
V(0, a) y V’(0, −a)
Los extremos del eje menor son
los puntos:
B(b,0) y B’(−b, 0)
Fig.6.3.
6.3. Lado recto
6.3.1. Definición
Se llama lado recto (latus rectum) a la cuerda focal que es perpendicular
al eje focal.
La elipse tiene 2 lados rectos que son los segmentos
DEyAM
de la
elipse de eje focal x y centro C(0, 0) de la Fig.6.4.
174
6.3.2. Longitud del lado recto
Para calcular la longitud de los lados rectos se calcularán primero las
coordenadas de los puntos A, M, D, y E. (Fig. 6.4.)
A y M tienen abcisa c ; D y E tienen abcisa – c. Entonces si en la ecua-
ción de la curva, se hace x = c
( )
1
b
y
a
c
2
2
2
2
=+
222222
bayacb =+
2
2222
2
a
cbba
y
−
=
( )
2
222
2
a
cab
y
−
=
2
4
2
a
b
y =
a
b
y
2
=
Fig.6.4.
Los puntos A, M, D y C tienen, entonces las siguientes coordenadas:
−
a
b
, cM
a
b
, cA
2
2
−−
−
a
b
, cE
a
b
, cD
2
2
175
2
2
a
2b
−=
2
4
a
4b
=
a
2b
2
=
Análogamente:
a
2b
DE
2
=
La longitud del lado recto de una elipse es el doble del cociente entre el
cuadrado del semieje menor y el semieje mayor.
a
2b
rectum)(latusLR
2
=
6.4. Excentricidad de la elipse
Se llama excentricidad al cociente entre la distancia focal y el semieje
mayor.
a
c
e =
En las elipses, como c < a , resulta que la excentricidad es siempre un
número positivo menor que 1.
Ejemplo
176
Hallar y representar la ecuación de la
elipse cuyos focos son los puntos F(0,
3) y F’(0, −3) y cuyo lado recto mide
6,4.
Sobre un sistema de ejes se ubican los
puntos F y F’.
Entonces C(0, 0) (Fig.6.5.)
La distancia focal c es 3.
El lado recto mide 6,4:
6,4
a
2b
2
=
Como en toda elipse:
222
bca =−
,
reemplazando en la expresión ante-
rior, se tiene:
a3,2ca
22
=−
a3,29a
2
=−
093,2aa
2
=−−
Fig.6.5.
−=
=
=
+
=
1,8a
5a
2
6,83,2
a
2
3610,243,2
a
2
1
Desechando el valor negativo porque a es siempre positivo, se puede
calcular b:
4b16b925b
22
==−=
También aquí se desecha la raíz negativa. La ecuación de la elipse será:
177
1
16
x
25
y
2
2
=+
6.5. Ecuación de la elipse cuyo centro no es el origen
6.5.1. El eje focal es paralelo al eje x
Sea la elipse de la Fig. 6.6. cuyo eje es paralelo al eje x y el centro está en
el punto C(h, k).
Si se traza un sistema auxiliar de ejes x’y’, paralelo al sistema original y
tal que su origen coincide con el punto C, la ecuación de la curva en ese
sistema es:
1
b
y'
a
x'
2
2
2
2
=+
(I)
Pero: x’ = x − h e y’ = y – k
Reemplazando en (I):
( )
( )
1
b
ky
a
hx
2
2
2
2
=
−
+
−
Los focos de esta elipse
serán los puntos F(h+c, k)
y F’(h−c, k). El eje focal es
una recta paralela al eje x y
su ecuación es: y = k.
Los vértices serán los pun-
tos V(h+a, k) y V’(h−a, k).
Fig.6.6.
178
6.5.2. El eje focal es paralelo al eje y
Si el eje focal es paralelo al eje y, razo-
nando en forma similar a la anterior, se
obtiene la ecuación
( )
( )
1
b
hx
a
ky
2
2
2
2
=
−
+
−
Una elipse de este tipo es la de la Fig.
6.7.
Los focos de esta elipse serán los pun-
tos F(h, k+c) y F’(h, k−c).
El eje focal o eje de simetría será parale-
lo al eje y. Su ecuación es: x = h
Fig.6.7.
Los vértices son los puntos: V(h, k+a) y V’(h, k−a)
En las elipses cuyo centro no está en el origen, como en las anteriores, el
lado recto mide
a
2b
2
y la excentricidad es
a
c
e =
Ejemplos
1) Hallar la ecuación de la elipse de centro en (4, −3) y foco en el punto
(2, −3) y cuya excentricidad es 0,5.
Dadas la posición del centro y de uno de los focos se deduce la distancia
focal: c = 2
179
Como la excentricidad es
a
c
e =
se puede calcular a:
a
c
0,5 =
, de donde
resulta que a= 4. Además,
222
bca =−
, de donde
2
b416 =−
Entonces
12b =
La ecuación de la elipse
(Fig. 6.8.) es
( )
( )
1
12
3y
16
2
2
=
+
+
− 4x
El lado recto mide 6
Fig.6.8.
2) Hallar la ecuación de la elipse de centro en (−3,−1), lado recto igual a 2
y un vértice en (1, −1).
Solución: (Fig. 6.9)
Si el centro es (−3,−1) y el vértice (1, −1),
el eje focal es paralelo al eje x y el semieje mayor a mide 4.
Si el lado recto vale 2:
180
4
2
42
b2
a
2b
2
2
=
==
( )
( )
1
4
1y
16
3x
2
2
=
+
+
+
Fig.6.9.
6.6. Ecuación General de la Elipse
Sea la ecuación de la elipse:
multiplicando m a m por a
2
b
2
desarrollando los
cuadrados y aplicando propiedad distributiva del producto respecto de la
suma.
181
reordenando
donde los coeficientes A y C deben ser del
mismo signo.
Recíprocamente:
reordenando
extrayendo factor común
completando cua-
drados
representa una elipse de
representa un punto
no representa ningún lugar geométrico
real (elipse imaginaria)
Luego si los signos de los coeficientes A y C de la ecuación
son iguales, esta representa una elipse de
182
ejes paralelos a los coordenados, ó bien un punto ó ningún lugar geomé-
trico real
Ejemplo:
Determinar que representa la siguiente ecuación
No representa ningún lugar geométrico real o representa una elipse ima-
ginaria
6.7. Rectas tangente y normal a una elipse
Para hallar las rectas tangente y normal a una elipse se procede en la
misma forma que se indicó en el capítulo de circunferencia.
Ejemplos
1) Hallar la ecuación de la tangente a la elipse
( )
( )
1
4
1y
16
3x
2
2
=
+
+
+
trazada desde el punto A(−1, 5)

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