126
CIRCUNFERENCIA
4.1. Ecuación de la circunferencia
Definición: Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del pla-
no que equidistan de un punto fijo llamado centro, (Fig. 4.1.).
Sea C un punto del plano de
coordenadas (h, k). La circunfe-
rencia es la curva a la cual perte-
necen los puntos P(x, y) del pla-
no que están a una distancia r de
C.
Por Teorema de Pitágoras:
( ) ( )
22
kyhx
−+−=r
⇒
(
) ( )
2
22
kyhx r=−+−
Fig. 4.1.
La última igualdad es la Ecuación Canónica de la circunferencia de
centro en C(h, k) y radio r.
En consecuencia, una circunferencia queda perfectamente determinada si
se conocen las coordenadas del centro y la medida del radio.
4.2. Ecuación general de la circunferencia.
Si en la ecuación
( ) ( )
2
22
kyhx r=
−+−
se desarrollan los cuadrados de
cada uno de los binomios, se obtiene:
22222
rk2kyyh2hxx =+−++−
127
Ordenando según las potencias decrecientes de las variables:
0r
k
h2ky
2hxy
x
22
22
2
=
−+
+−
−
+
Haciendo −2h = D, −2k = E y h
2
+ k
2
− r
2
=F, resulta:
0FEyDxyx
22
=++++
que es la Ecuación general de la circunferencia.
¿Cómo determinar el centro y el radio de una circunferencia dada por su
ecuación general?
Si −2h = D ⇒
2
D
h −=
y si −2k = E ⇒
2
E
k −=
, en consecuencia:
Si una circunferencia está dada por su ecuación general, su centro es el
punto del plano cuya abscisa es igual a la mitad del coeficiente del térmi-
no de 1º grado en x cambiado de signo y cuya ordenada es igual a la mi-
tad del coeficiente del término de 1º grado en y cambiado de signo.
−−
2
E
,
2
D
C
Además, h
2
+ k
2
− r
2
= F ⇒ r
2
= h
2
+ k
2
−F
F
2
E
2
D
r
22
−
−+
−=⇒
4
4FED
r
22
−+
=⇒
4F
ED
2
1
r
22
−+=
⇒
Si la circunferencia está dada por su ecuación general, la medida del radio
es igual a la mitad de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los
coeficientes de x e y, menos cuatro veces el término independiente.
128
Ejemplo
Hallar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación:
015
24y12x
3y3x
2
2
=
−+
−
+
La ecuación dada no es la ecuación general de la circunferencia. Para
obtener dicha ecuación se deben dividir ambos miembros de la igualdad
por 3, obteniéndose:
058y4xyx
22
=−+−+
( )
42,
C4
2
8
ky2
2
4
h −⇒−=−==
−
−=
(
)
5=⇒+
+=
⇒−−+
−=
r2064
16
2
1
r
5)4(8
4
2
1
r
2
2
Entonces, la ecuación canónica será:
( ) ( )
254y2x
22
=+
+−
4.3. Haz o familia de circunferencias
4.3.1. Definición
Sea el sistema:
=++++
=++++
0FyExDyx
0FyExDyx
222
22
111
22
Cada una de las ecuaciones del sistema representa una circunferencia,
por lo tanto, la solución del sistema será el conjunto de puntos que per-
tenecen a ambas circunferencias.
Como las ecuaciones son de 2º grado, ese conjunto tendrá a lo sumo dos
elementos. Es decir que las circunferencias podrán ser:
- secantes (dos puntos comunes, Fig.4.2.),
- tangentes exteriores o interiores (un punto en común, Fig. 4.3. y
Fig.4.4. respectivamente),
129
- exteriores e interiores (ningún punto en común, Fig. 4.5. y Fig.4.6.,
respectivamente).
Fig. 4.2.
Fig.4.3. Fig.4.4
130
Fig.4.5 Fig.4.6.
Además, cualquier solución del sistema, también verificará a una combi-
nación lineal de las ecuaciones del sistema.
En efecto, si (x
1
, y
1
) es una solución del sistema, verifica ambas ecuacio-
nes del mismo, o sea:
0FyExDyxy0FyExDyx
21212
2
1
2
111111
2
1
2
1
=++++=++++
Si
0FyExDyxFyExDyx
222
22
111
22
=+++++++++ )(
λ
(I)
es una combinación lineal de las ecuaciones que forman el sistema, la
solución (x
1
, y
1
) también verifica a dicha combinación, ya que:
00λ0)FyExDyx(λFyExDyx
21212
2
1
2
111111
2
1
2
1
=+=+++++++++
La expresión (I) también puede escribirse:
( ) ( ) ( )
( )
( )
0λFFyλEExλDDyλ1xλ1
212121
22
=+++++++++
(II)
Como para cada valor del parámetro λ se obtiene una circunferencia, la
ecuación (II) representa una familia o haz de circunferencias. Todas las
circunferencias de ese haz pasan por la intersección de las dos circunfe-
rencias que determinan ese haz ya que se ha demostrado que toda solu-
131
ción común a las ecuaciones de esas dos circunferencias, verifica también
a cualquier combinación lineal de ambas. (Fig. 4.7.)
Fig.4.7.
Si λ = −1, la ecuación (II) queda:
( )
( )
( )
0FFyEExDD
212121
=−+−+−
Esta es la ecuación de una recta que recibe el nombre de Eje radical de
la familia o haz de circunferencias.
Para todo
1λ −≠
, la ecuación (II) puede escribirse:
0
λ1
FλF
y
λ1
EλE
x
λ1
DλD
yx
212121
22
=
+
+
+
+
+
+
+
+
++
(III)
y representa una circunferencia.
4.3.2. La recta de los centros
132
Las circunferencias que determinan el haz tienen su centro, respectiva-
mente, en
−
−
−−
2
E
,
2
D
Cy
2
E
,
2
D
C
2
2
2
1
1
1
. La recta determinada
por C
1
y C
2
será, entonces:
+
+
−
+−
=
+
2
D
x
2
D
2
D
2
E
2
E
2
E
y
1
12
12
1
+
−
−
=+
2
D
x
D
D
EE
2
E
y
1
21
2
11
Se demostrará a continuación que todas las circunferencias dadas por
(III) tienen su centro en esta recta.
Los centros de esas circunferencias son los puntos:
( )
( )
+
+
−
+
+
−
λ
12
λEE
,
λ12
λDD
λ
C
21
21
Al reemplazar por estos valores en la ecuación de la recta, se obtiene:
( )
( )
+
+
+
−
−
−
=+
+
+
−
2
D
λ12
λDD
DD
EE
2
E
λ12
λEE
121
21
21121
( ) ( )
+
++−−
−
−
=
+
++−−
λ12
λDDλDD
DD
EE
λ12
λEEλEE
1121
21
211
121
( ) ( )
+
+−
−
−
=
+
+−
λ12
λDλD
DD
EE
λ
12
λEλE
1
2
21
2112
133
( ) ( )
+
−
−
−
=
+
−
λ12
Dλ(D
DD
EE
λ12
Eλ(E
21
21
2121
))
1 = 1
Todas las circunferencias de un haz tienen su centro sobre la recta
determinada por los centros de las dos circunferencias que deter-
minan el haz y que recibe el nombre de Recta de los Centros
4.3.3. Perpendicularidad entre el eje radical y la recta de los centros
De la ecuación de la recta de los centros obtenida en 4.3.2. se calcula su
pendiente que es:
21
21
2
C
1
C
DD
EE
m
−
−
=
De la ecuación del eje radical obtenida en 4.3.1., se deduce su pendiente
que es:
21
21
radeje
EE
DD
m
−
−
−=
Comparando ambas pendientes se observa que:
2
C
1
C
radeje
m
1
m −=
En consecuencia, el eje radical es perpendicular a la recta de los centros.
Ejercicio
Dadas las circunferencias: x
2
+ y
2
−2x + 4y −9 = 0 y
x
2
+ y
2
+12x + 8y + 4 = 0 :
a) Escribir la ecuación del haz que ellas determinan.
b) Hallar la ecuación del eje radical del haz.
134
c) Hallar la ecuación de la circunferencia del haz que tiene su centro en
el eje x.
d) Hallar la circunferencia del haz que pasa por el punto (1, 1).
e) Hallar la ecuación de la recta de los centros.
f) Verificar que la recta de los centros es perpendicular al eje radical.
g) Hacer el gráfico.
Solución
a) Ecuación del Haz de circunferencias.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
04λ9y8λ4x12λ2yλ1xλ1
22
=+−++++−++++
b) Ecuación del eje radical: λ=−1
−14x−4y−13 = 0 ⇒ 14x + 4y + 13 = 0
c) Si tiene su centro en el eje x, la ordenada del centro es 0, entonces:
2
1
λ08λ40
λ1
8λ4
0
λ1
λEE
21
−=⇒=+⇒=
+
+
⇒=
+
+
+
−+−+
−+
− x122y1x1
22
2
1
2
1
2
1
049y84 =
−+−+
−+
2
1
2
1
( ) ( )
02216xyx0xy
x
2222
=−−+⇒
=−+−++ 118
2
1
2
1
d) Ecuación de la circunferencia del haz que pasa por (1, 1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
04λ98λ412λ2λ1λ1
22
=+−++++−++++ 1111
04λ98λ412λ2λ1λ1 =+−++
+−+++
135
26 λ − 5 = 0
26
5
λ =⇒
+
+
−+
++
+ x
122
y1
x1
22
26
5
26
5
26
5
04
9y
84
=
+−
+
+
26
5
26
5
0
13
107
y
13
72
x
13
4
y
26
31
x
26
31
22
=−
+++
0
31
214
y
31
104
x
31
8
y
x
22
=
−+
+
+
e) C
1
(1, −2) y C
2
(−6, −4)
( )
( )
0167y2x
1x
7
2
2y1x
16
24
2
y
=−−
⇒−
=+⇒−
−−
+−
=
+
f)
radeje
2
C
1
Cradeje
2
C
1
C
m
1
m
2
7
my
7
2
m −=⇒−==
g) Fig. 4.8.
136
Fig. 4.8.
4.4. Rectas tangente y normal a una circunferencia.
4.4.1. Intersección entre una recta y una circunferencia.
Analíticamente, hallar la intersección de una recta y una circunferencia
significa resolver el sistema:
+=
=++++
bmxy
0FEyDxyx
22
(I)
Para resolverlo, se reemplaza en la ecuación de la circunferencia la varia-
ble y, por su expresión en la ecuación de la recta:
( ) ( )
0FbmxEDxbmxx
2
2
=++++++
0FEbEmxDxb2bmxxmx
2222
=+++++++
( )
( )
( )
0FEbb
xEmD2bmxm1
222
=+++++++
(II)
137
Esta es una ecuación de 2º grado en x. Entonces, puede tener dos solu-
ciones reales y distintas, dos soluciones reales iguales (raíz doble) o dos
soluciones imaginarias y por lo tanto, el conjunto solución del sistema
está formado por dos pares ordenados, un par ordenado o ningún par
ordenado respectivamente.
Geométricamente, en el primer caso, la recta y la circunferencia tendrán
dos puntos comunes. La recta es secante a la circunferencia. (Fig.4.9.)
Fig. 4.9.
En el segundo caso, la recta y la circunferencia tendrán un solo punto
común. La recta es tangente a la circunferencia. (Fig.4.10.)
Fig. 4.10.
Fig. 4.11.
138
Finalmente en el último caso, la recta y la circunferencia no tendrán
puntos comunes. La recta es exterior a la circunferencia. (Fig.4.11.)
4.4.2. Ecuación de la recta tangente a una circunferencia
4.4.2.1. Método general
Como se vio en el punto anterior, el problema consiste en determinar
qué condiciones debe cumplir la recta para que el sistema dado en (I)
tenga una única solución.
Ello sucede cuando la ecuación obtenida en (II) tiene dos soluciones
reales iguales (raíz doble) o sea cuando su discriminante es igual a cero, o
sea cuando:
( )
( )( )
0FEbbm1EmD2bm
22
2
=+++−++ 4
Condición de tangencia: La recta
bmxy +=
es tangente a la circunfe-
rencia
0FEyDxyx
22
=++++
, si el discriminante de la ecuación
( )
( )
( )
0FEbbxEmD2bmxm1
222
=+++++++
es igual a cero
Ejemplos
a) Hallar la ecuación de la recta paralela a
5x
3
2
y +=
que sea tangente
a la circunferencia
( ) ( )
161y2x
2
2
=++−
.
Como la tangente buscada es paralela a la recta dada tendrá la misma
pendiente que ésta, y sólo faltaría determinar su ordenada al origen.
Por lo tanto la ecuación de la tangente será:
bx
3
2
y +
=
Se plantea, entonces, el sistema formado por la ecuación de la circun-
ferencia y la ecuación de la tangente:
139
+
=
=
−+−
+
b
x
3
2
y
011
2y4xyx
22
Reemplazando:
011
bx
3
2
24xb
x
3
2
x
2
2
=
−
++−
+
+
0112bx
3
4
4x
bbx
3
4
x
9
4
x
22
2
=
−+
+−
++
+
( )
0112bbx
3
8
b
3
4
x
9
13
22
=−++
−+
( )
( )
09918b9bx2412b13x
22
=−++−+
Aplicando la condición de tangencia:
( )
( )
09918b9b1342412b
2
2
=−+⋅−−
057241512b324b
2
=−+
05314b3b
2
=−+
6
63619614
b
+±−
=
3
1347
b
±−
=
En consecuencia habrá dos rectas tangentes a la circunferencia que sean
paralelas a la recta dada. (Fig. 4.12.)
3
1347
x
3
2
y:ty
3
1347
x
3
2
y:t
21
−−
+=
+−
+=
140
Fig. 4.12.
b) Hallar la ecuación de la recta trazada desde el punto (1, 6) y que es
tangente a la circunferencia:
( ) ( )
251
y2x
22
=+
+−
La ecuación de cualquier recta que pase por el punto (1, 6) es de la
forma:
( )
6mmxyseao
1xm6y +−=−=−
Entonces se plantea el siguiente sistema:
+−=
=−+−+
6mmxy
0202y4xyx
22
Reemplazando:
x
2
+ (mx−m+6)
2
− 4x + 2(mx−m+6) − 20 = 0
Este documento contiene más páginas...
Descargar Completo
Capitulo 15 Superficies cilíndricas y cónicas..pdf
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.
Descargar
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.