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Capacitor en Continua
Capacidad:
Supongamos que dos láminas de metal se colocan próximas entre sí (sin tocarse) y que están
conectadas a una batería a través de una llave, tal como se observa en la figura:
En el instante tiempo que la llave se
cierra, los electrones serán atraídos
desde la placa superior hacia el positivo
de la batería y el mismo número de ellos
será repelido hacia la placa inferior
desde el terminal negativo de la fuente.
Se moverán suficientes electrones hacia
una placa o desde la otra hasta
conseguir la FEM entre ellas sea la
misma que la de la fuente.
Si la llave se abre después que las placas hayan sido cargadas de esta forma, la placa superior
permanecerá con una deficiencia de electrones y la inferior con un exceso. Dado que no hay un
camino para la corriente entre ellas, las placas permanecerán cargadas aunque la fuente ya no
esté conectada, si se toca con un cable conductor las placas cortocircuitándolas, los electrones en
exceso de la placa inferior pasaran a la placa superior a través del cable, restableciéndose la
neutralidad eléctrica, de esta forma se descargan las placas.
Las dos placas constituyen un capacitor eléctrico; un capacitor posee la propiedad de almacenar
electricidad en el campo eléctrico entre las dos placas. Durante el tiempo en que los electrones se
mueven (mientras se carga/descarga el capacitor), circula corriente en el circuito a pesar de que,
aparentemente, el circuito está abierto por el espacio entre las placas del capacitor. Sin embargo,
la corriente circula solamente durante el ciclo de carga o descarga, y generalmente este tiempo es
breve.
La corriente continua no puede pasar a través de un capacitor cargado.
La carga o cantidad de electricidad que puede ser almacenada en las placas de un capacitor es
proporcional a la tensión aplicada y a la capacidad del capacitor.
La energía almacenada en un capacitor es también una función de potencial entre placas y la
capacidad es:
Cuanto mayor sea el tamaño de las placas y menor su distancia de separación, mayor será la
capacidad, también depende del tipo de material aislante entre las placas, la más pequeña es con
aislamiento de aire, y sustituyendo este último por otros materiales aislantes se puede aumentar
la capacidad muchas veces.
La relación entre la capacidad con algún material distinto del aire entre las placas y la capacidad
del mismo capacitor con aislamiento de aire, se llama constante dieléctrica Ԑ de ese material en
particular.
Unidades de Capacidad:
La unidad básica de capacidad es el faradio (F), pero esta unidad es excesivamente grande, aunque
en la actualidad se construyen capacitores con estos valores. Son más comunes los capacitores en
microfaradios (µF) o picofaradios (pF). El microfaradio es una millonésima parte de faradio y el
pico faradio es una billonésima parte de faradio:
Tensión de Ruptura:
Cuando se aplica una tensión elevada a las placas de un condensador, se ejerce una considerable
fuerza sobre los electrones y núcleos del dieléctrico. El dieléctrico es un aislante; los electrones no
pueden ser desplazados del núcleo como lo hacen en los conductores. Si la fuerza es bastante
grande, el dieléctrico se romperá: normalmente se perforará y presentara un camino de baja
resistencia a la corriente entre las dos placas.
La tensión de ruptura que un dieléctrico puede soportar depende del tipo y espesor del
dieléctrico. Entre las especificaciones técnicas del capacitor figura la tensión de ruptura que
soporta.
Fase de Carga:
Vamos a analizar los voltajes y corrientes desarrollados en el circuito de la figura después que se
cierra el interruptor (en la posición 1):
Recordemos que en el instante de
tiempo en que se cierra el
interruptor, los electrones son
atraídos desde la placa superior y
depositados en la placa inferior
mediante la batería, produciendo
una carga neta positiva en la placa
superior y una carga negativa en la
placa inferior. Al comienzo la
transferencia de electrones es muy
rápida, y se vuelve lenta conforme
la tensión del capacitor se acerca al valor de la tensión de la batería. Cuando la tensión en el
capacitor iguala a la tensión de la batería, se detiene la transferencia de electrones y las placas
tendrán una carga neta Q=C Vc = C E.
Las figura 3 y figura 4 muestran gráficas de la tensión y corriente variables en el tiempo en el
capacitor.
Figura 3: Vc Durante la fase de Carga. Figura 4: Ic Durante la fase de Carga.
Cuando cerramos el interruptor en t=0 seg., la corriente pasa a un valor limitado sólo por la
resistencia del circuito y disminuye a cero a medida que se cargan las placas. La rápida velocidad
con la cual se depositan cargas en las placas producirá un rápido incremento en Vc. Con el tiempo
se detendrá el flujo de cargas, La corriente será cero y el voltaje dejará de cambiar en magnitud;
ha finalizado la fase de carga. En este punto, el capacitor adopta las características de un circuito
abierto: el voltaje en el capacitor es el voltaje de la fuente y la corriente i= ic = ir = 0 A y Vr = ir R =
0 V. (Figura 5)
Para todo análisis futuro:
Un capacitor puede sustituirse por un equivalente de circuito abierto una vez que ha finalizado
la fase de carga en una red de cd.
Figura 5: Equivalente de circuito eléctrico
para un capacitor después de la fase de
carga.
Analizando el instante de tiempo en el que se cierra el interruptor, también podemos suponer que
un capacitor se comporta como un cortocircuito en un circuito de carga de cd, como se observa en
la figura 6.
La corriente
,
Y el voltaje
Figura 6: Equivalente de un cortocircuito para un capacitor.
Usando el cálculo se obtiene la siguiente ecuación matemática para la corriente de carga
:
Y la siguiente ecuación para el voltaje de carga
:
En el instante de tiempo que cerramos la llave (Posición 2) comenzamos a contar el tiempo, por
ejemplo, si tuviéramos un cronómetro lo pondríamos a funcionar en este momento. Por lo tanto
en el instante de tiempo t = 0 tendremos:
Es decir que en el momento en el que cerramos la llave el capacitor se encuentra totalmente
descargado (Cortocircuito).
En t = 0s
Constante de tiempo de carga τ
En el instante de tiempo t=R*C tendremos:
El instante de tiempo t = R*C es la constante de tiempo de carga τ del capacitor y se define:
La constante de tiempo τ de un transitorio de carga de un capacitor es el tiempo que tarda el
capacitor en cargarse el 63% del valor de la tensión de la fuente E.
Una vez que fijamos los valores de R y C, es decir la constante de tiempo τ, el tiempo para el cual
el capacitor se va a cargar el 63% del valor de la tensión de la fuente es constante y no depende
del valor de tensión de la fuente E.
El valor de tensión que adquiere el capacitor transcurrido 5τ será:
Transcurrido 5 constantes de tiempo τ, el capacitor se encontrará cargado, con suficiente
aproximación, al valor de la tensión de la fuente E. (Figura 7)
Figura 7:
en función de t durante la fase de carga.
Volviendo a la expresión de la corriente de carga de capacitor:
En el instante de tiempo que se cierra el interruptor (Posición 2) la corriente es máxima y su
valor es
. Para valores crecientes de t disminuirá la magnitud de y por lo tanto el valor
de
.
Puesto que la magnitud de
es menor de 1% de su máximo después de 5 constantes de tiempo,
para futuros análisis supondremos que:
La corriente de un circuito capacitivo es esencialmente cero después que han pasado cinco
constantes de tiempo τ = R*C de la fase de carga de una red de tensión continua.
Figura 8:
en función de t durante la fase de carga.
Fase de Descarga:
El circuito de la figura 2 está diseñado para la carga y la descarga del capacitor. Cuando colocamos
el interruptor en la posición 1, el capacitor se cargará hacia la tensión de alimentación, como se
describió anteriormente. En cualquier punto del proceso de carga, si el interruptor se coloca en la
posición 2, el capacitor comenzará a descargarse a una velocidad determinada por τ = R*C.
El voltaje establecido a través del capacitor creará un flujo de carga en la trayectoria cerrada que
con el tiempo descargará por completo el capacitor. En resumen, el capacitor se comporta como si
fuera una batería con un voltaje decreciente. Obsérvese en particular que la corriente
ahora
sale desde la placa positiva y por lo tanto le asignaremos un signo opuesto a la corriente de carga
que entra hacia la placa positiva. (Figura 9)
Figura 9: Circuito de descarga de una red capacitiva.
Si el capacitor se ha cargado a todo el voltaje E de la fuente, como se ve en la figura 9, la ecuación
para el voltaje de descarga del capacitor sería la siguiente:
La cuál emplea la función exponencial decreciente y la misma constante de tiempo τ que se
utilizó en la fase de carga. Durante la fase de descarga, la corriente
también disminuirá con el
tiempo, como lo define la ecuación:
La descarga completa ocurrirá, para todos los propósitos prácticos, en cinco constantes tiempo. Si
se mueve el interruptor de la figura 2 entre los terminales 1 y 2 cada cinco constantes de tiempo,
se producirán las gráficas de la figura 10 para e .
Figura 10: Ciclos de carga y descarga para la red de la figura 2.
Ejercicios de Carga y Descarga:
1)
A) Encuentre las expresiones para el comportamiento de los transitorios de Vc e ic para el circuito
de la figura 9 cuando el interruptor se mueve a la posición 1. Grafique las curvas de Vc e ic en
función del tiempo.
B) ¿Cuánto tiempo debe pasar antes de que pueda suponerse para todos los propósitos prácticos
que ic = 0A y Vc = 40 voltios?
Solución:
2)
a) Encuentre la expresión matemática para el comportamiento del transitorio de voltaje a través
del capacitor de la Figura 12 si el interruptor se coloca en la posición 1 en t=0 seg.
b) Repita la parte (a) para ic.
c) Encuentre las expresiones matemáticas para las respuestas Vc e ic si el interruptor se pasa a la
posición 2 en 30 ms.
d) Encuentre las expresiones matemáticas para el voltaje Vc y la corriente ic si el interruptor se
pasa a la posición 3 en t= 48 ms.
e) Haga una gráfica de las formas de onda obtenidas en las partes (a) a la (d) en el mismo eje de de
tiempo para el voltaje Vc y la corriente ic usando la polaridad y la dirección de corrientes definidas
en la figura 12.
Solución:
Fase de Carga:
Fase de Almacenamiento:
Fase de Descarga (empezando en 48ms con t = 0 para las siguientes ecuaciones):
e)
3)
Encuentre la expresión matemática para el comportamiento del transitorio de voltaje a través del
capacitor de la Figura 13 si el interruptor se coloca en la posición 1 en t=0 seg.
b) Repita la parte (a) para ic.
c) Encuentre la expresión matemática para la respuesta de Vc e ic si el interruptor se pasa a la
posición 2 en t = 1Ƭ de la fase de carga.
d) Haga una gráfica de las formas de onda obtenidas en las partes (a) a la (d) en el mismo eje de de
tiempo para el voltaje Vc y la corriente ic usando la polaridad y la dirección de corrientes definidas
en la figura 13.
Figura 13
Solución:
Fase de Carga:
B)
C) En t=τ, = 0.632*20V = 12.64V, lo cual produce la red de la figura 14. En tal caso
Con
Figura 14: Red de la figura 13 cuando el interruptor se mueve a la posición 2 en t=1τ
En t=1τ, disminuye a (0.368)*(2.5mA)=0.92mA. Después cambia a:
Figura 15.
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