FÍSICA II CAPÍTULO I
I- LEY DE COULOMB
I.1 - Fuerzas de interacción entre masas
Los cuerpos cuya carga eléctrica neta es nula interactúan no obstante entre sí a través de la
“acción de masas” o “interacción gravitatoria”, es decir, el fenómeno natural de que dos
masas cualesquiera se atraen.
Se atraen mutuamente dos cuerpos “celestes” (planetas, satélites, estrellas, cometas), se
atraen la Tierra y todo cuerpo cercano a/o sobre ésta, y también se atraen dos cuerpos
cualesquiera entre sí.
Se atrae una lapicera y un cenicero ubicados sobre la mesa, sólo que no se mueven debido a
esta atracción porque el rozamiento lo impide. Si ambos estuvieran en el vacío, sin
rozamiento, terminarían unidos.
La atracción entre masas se estudia considerando que cada masa le ejerce a la otra una
fuerza.
Como para muchos otros fenómenos, resulta conveniente comenzar su estudio simplificando
los múltiples factores intervinientes.
En este caso es conveniente comenzar analizando los casos en que los cuerpos que
interactúan presentan un tamaño muy pequeño con relación a la distancia que los separa. Es
decir, se experimenta inicialmente con masas o cuerpos “puntuales”, para los cuales se
considera que su masa está totalmente concentrada en un punto. Se trata de una abstracción,
de una idealización, pero muy útil.
Asimismo, es conveniente comenzar analizando el caso de masas en reposo, estáticas. De
este modo se desarrolla el análisis comenzando con los casos más simples, a partir de los
cuales es posible ir incrementando la complejidad progresivamente.
Experimentando con dos masas puntuales, m1 y m2, variando sus valores y midiendo las
fuerzas que se ejercen mutuamente para distintas distancias, se observa que:
1- Ambas fuerzas son de atracción, poseen igual módulo, se encuentran sobre la recta que
une ambas masas, y tienen sentido contrario, tal como se indica en la Figura 1,1.
Figura 1.1
2
1
g
g
F
F
=
2- El módulo de ambas fuerzas de interacción, Fg, disminuye de modo inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que separa las masas, d, de modo que, si por ejemplo
la distancia aumenta al doble, el módulo de las fuerzas decrece a la cuarta parte.
Figura 2.1
3- El módulo de ambas fuerzas de interacción resulta directamente proporcional a los valores
de cada una de las masas involucradas. A mayor masa mayor fuerza, de modo que si por
ejemplo una de las masas se duplica, también se duplica el módulo de las fuerzas que se ejercen
entre éstas, lo cual se expresa matemáticamente como sigue:
Fg ∝ m1.m2
Las verificaciones experimentales anteriores se sintetizan en la siguiente expresión
matemática, que tiene en cuenta la dependencia funcional de los módulos de las fuerzas que se
ejercen dos masas puntuales en reposo con relación a los valores de ambas masas y a la
distancia que las separa.
m1.m2
Fg ∝ 2
d
Donde:
Fg: módulo de las fuerzas de interacción gravitatoria que se ejercen mutuamente dos masas
puntuales m1: masa del cuerpo 1 m2: masa del cuerpo 2
d: distancia que separa ambas masas puntuales
Las conclusiones anteriores se articulan en el esquema siguiente.
2
1
d
Fg
∝
Donde:
4
2
4
1
....
.......... .......... .......... 2
1
g
g
g
g
F
F
F
F
=
′
=
′
Mapa Conceptual 1.1
Se puede comprobar que dos masas de 1 Kg separadas por una distancia de 1 m se ejercen
fuerzas cuyos módulos no son iguales a 1 Newton. Esto se debe a que las magnitudes fuerza,
masa y longitud se definen en el Sistema Internacional de Unidades (SI) de modo
independiente, por lo cual para completar la expresión anterior es necesario incluír una
constante de proporcionalidad que contemple los valores experimentales y que también
permita homogeneizar las unidades a ambos lados de la igualdad.
m1.m2
Fg = G.
2
(1.1)
d
Donde la constante de proporcionalidad se denomina “de gravitación universal”, se simboliza
usualmente con la letra G y su valor depende del sistema de unidades utilizado. Para el caso
del Sistema Internacional de Unidades (SI) en el que la masa se mide en Kilogramos masa,
Kg, la distancia en metros, m, y la fuerza en Newton, N, se tiene:
G = 6,67 x 10
–11
N . m
2
Kg
2
Que coincide con el valor hallado experimentalmente para el módulo de las fuerzas que se
ejercen dos masas puntuales ambas de 1 Kg separadas por una distancia de 1 m.
Fg = 6,67 x 10
–11
N . m
2
. 1 Kg . 1 Kg = 6,67 x 10
–11
N
Kg
2
1
2
m
2
La elevada simetría que se determina para el caso de cuerpos esféricos permite utilizar la
expresión desarrollada para masas puntuales para el cálculo de fuerzas entre éstos. También
es posible adoptar esta aproximación sin error apreciable para el caso de la interacción de
cualquier cuerpo con la Tierra debido a que ésta es casi esférica,
En estos casos la distancia a tomar entre ambos cuerpos es la existente entre sus respectivos
centros de masa, el cual para cuerpos con densidad uniforme coincide con su centro
geométrico.
Figura 3.1
Figura 4.1
Si el cuerpo se encuentra apoyado sobre la superficie de la Tierra, la distancia a tener en
cuenta es igual al radio de ésta.
Resulta de gran interés verificar que a partir de los desarrollos teóricos es posible deducir
consecuencias no evidentes a priori. Por ejemplo, en el caso que nos ocupa de fuerzas de
interacción entre masas es posible realizar el cálculo de la masa de la Tierra.
Para esto es suficiente conocer que todo cuerpo que posee una masa de 1 Kg es atraído por la
Tierra con una fuerza de 9,8 N, el peso de dicha masa en la Tierra.
De modo que reemplazando en (1.1) m1 por Mt (masa de la Tierra) y d por R (radio de la
Tierra):
Fg = G.Mt.m (2.1)
R
2
Donde:
Mt: masa de la Tierra m:
masa del cuerpo
R: radio de la Tierra
Despejando Mt y reemplazando Fg y m por los valores correspondientes a un cuerpo
cualquiera, por ejemplo como el citado de 1 Kg masa y 9,8 N, y tomando el valor del radio
medio de la Tierra de 6.280 Km, resulta:
Mt = Fg.R
2
= 1 N.(6,28 . 10
6
m)
2
= 5,9.10
23
Kg
m.G 1 Kg.6,67.10
-11
N.m
2
/Kg
2
Esta es la masa del planeta Tierra, estimada a partir de apreciaciones teóricas y algunas
aproximaciones, pudiéndose calcular también por ejemplo la densidad media de la Tierra
dividiendo la masa hallada por su volúmen:
23
Mt 5,9.10 Kg Kg
3
Vπ.R
3
m .
Dens = ==
Hasta aquí se ha desarrollado el fenómeno físico de interacción entre masas. Ahora bien,
dado que el álgebra vectorial permite desarrollar expresiones matemáticas precisas para
calcular módulo, dirección y sentido de fuerzas de interacción, a continuación se realiza el
desarrollo vectorial para el cálculo de las fuerzas de interacción entre dos masas puntuales.
Para esto se determina la ubicación de las mismas en un sistema de referencia mediante sus
respectivos vectores posición según se muestra a continuación.
Figura 5.1
En la Figura 5.1 (b) se puede apreciar que el módulo de la resta de los vectores posición de
las masas brinda la distancia entre éstas. (En dicho gráfico el vector r1-r2 debe apuntar hacia
m1 y el vector r2-r1 debe apuntar hacia m2).
|r1 – r2| = |r2 – r1| = d
Por otra parte, los cocientes entre los vectores resultantes de la resta de los vectores posición
y sus respectivos módulos brindan versores que coinciden con la dirección y sentido de las
respectivas fuerzas que se ejercen ambas masas.
r2 – r1 = ř12
|r2 – r1|
r1 – r2 = ř21 |r1
– r2|
Figura 6.1
Así, si indicamos F12 como la fuerza que recibe la masa 1 debido a la 2 y como F21 a la
fuerza que recibe la masa 2 debido a la 1, tendremos que los módulos de ambas fuerzas
pueden expresarse respectivamente como sigue:
Fg12 = G.m1.m2
|r2 – r1|
2
Fg12 = G.m1.m2
|r1 – r2|
2
Y las expresiones vectoriales de cada fuerza se obtienen multiplicando su módulo por el
versor correspondiente:
Fg12 = G.m1.m2. (r2 – r1)
|r2 – r1|
2
|r2 – r1|
Fg21 = G.m1.m2. (r1 – r2) |r1 – r2|
2
|r1 – r2|
Resultando:
Fg12 = G.m1.m2.(r2 – r1) (3.1) |r2 – r1 |
3
Fg21 = G.m1.m2.(r1 – r2) (4.1) |r1 – r2 |
3
Donde:
Fg12: fuerza que recibe la masa 1 debido a la masa 2
Fg21: fuerza que recibe la masa 2 debido a la masa 1
G: constante de gravitación universal
m1: masa del cuerpo 1
m2: masa del cuerpo 2
r1: vector posición de m1
r2: vector posición de m2
Ejemplo 1.1:
Dos masas puntuales, m1= 1 Kg y m2= 2 Kg, se encuentran en las posiciones dadas
respectivamente por r1 = 1 m i y r2 = 1 m j. Hallar las fuerzas de interacción entre masas
que se ejercen mutuamente.
Figura 7.1
En primer lugar es necesario calcular las restas de los vectores posición de ambas masas y
sus módulos.
r2 – r1 = - 1 m i + 1 m j r1 – r2 = 1 m i – 1 m j
|r2 – r1| = ((1m)
2
+ (1m)
2
)
1/2
= 2
1/2
m |r1 – r2| = ((1m)
2
+ (1m)
2
)
1/2
= 2
1/2
m
Fg12 = G.m1.m2.(r2 – r1) = 6,67 x 10
–11
N.m² .1 Kg.2 Kg.(- 1 m i + 1 m j)
|r2 – r1|3 Kg2 2 3/2 m3
Fg21 = G.m1.m2.(r1 – r2) = 6,67 x 10
–11
N.m² .1 Kg.2 Kg.(- 1 m i + 1 m j)
|r1 – r2|3 Kg2 2 3/2 m3
Fg12 = 4,76 x 10
–11
.(- i + j) N
Fg21 = 4,76 x 10
–11
.( i - j) N
Se verifica que las fuerzas son iguales y opuestas.
Figura 8.1
I.2 - Principio de Superposición de Efectos de Interacción de Masas
Cuando se trata de un conjunto de N masas puntuales, la fuerza que recibe una cualquiera de
ellas, debido a las (N–1) masas restantes, es igual a la suma vectorial de las fuerzas que le
ejercen cada una de éstas.
A esta propiedad se la denomina principio de superposición dado que da cuenta del hecho de
que la interacción entre dos pares cualesquiera de masas no es modificada por la presencia de
las restantes.
Los conjuntos de masas consideradas puntuales constituyen lo que denominamos una
distribución discreta de masas.
Las expresiones vectoriales halladas anteriormente para dos masas puntuales se extrapolan al
caso de N masas puntuales, lo que permite calcular la fuerza que recibe una masa puntual en
presencia de las (N–1) masas puntuales restantes.
N N
(r
j
− r
i
)
Fg
i
= ∑Fg
ij
= G ⋅m
i
⋅∑m
j 3
(5.1)
jj
=
≠1i jj
=
≠1i
r
j −
r
i
Donde:
Fg
i
: fuerza que recibe la masa mi debido a las (N-1) masas restantes mj.
Fg
ij
: fuerza que recibe la masa mi debido a la masa mj (j representa a cada una de las N – 1
masas restantes)
N
∑Fg
ij
sumatoria de fuerzas que recibe la masa i debido a las j masas restantes
j=1
j≠i
G: constante de gravitación universal
m
i
: masa que recibe la fuerza
m
j
: masa que ejerce una fuerza sobre la masa m
i
(son N-1 masas)
r
i
: vector posición de la masa mi que recibe la fuerza
r
j
: vector posición de la masa mj que ejerce una fuerza sobre la masa mi.
Ejemplo 2.1:
Cuatro masas puntuales, m1, m2, m3 y m4, se encuentran en las posiciones dadas a
continuación. Hallar la fuerza resultante que recibe m4 debido a la interacción con las otras
masas presentes.
Datos:
m1= m2= m3= m4= 1 Kg
r1 = 1 m i
r2 = 1 m j
r3 = 1 m k
r4 = 1 m i + 1 m j + 1 m k
Figura 9.1
( )
Fg
i
=
∑
N Fg
ij
= G ⋅m
i
⋅
∑
N m
j
r
j
− r
i
j=1 j=1
r1 – r4 = 1m i - 1m i - 1m j – 1m k = -1m j - 1m k
|r1 – r4| = ((1m)
2
+ (1m)
2
)
1/2
= 2
1/2
m
r2 – r4 = 1m j - 1m i - 1m j – 1m k = - 1m i - 1m k
|r2 – r4| = ((1m)
2
+ (1m)
2
)
1/2
= 2
1/2
m
r3 – r4 = 1m k - 1m i - 1m j – 1m k = -1m i - 1m j
|r3 – r4| = ((1m)
2
+ (1m)
2
)
1/2
= 2
1/2
m
Fg4 = Fg41 + Fg42 + Fg43
Figura 10.1
Fg4 = G.m4. [ m1.(r4 – r1) + m2.(r4 – r2) + m3.(r4 – r3) ]
|r4 – r1|3 |r4 – r2|3 |r4 – r3|3
Fg4 = G.1 Kg.[ 1 Kg.(-1 m j - 1 m k) + 1 Kg (-1 m i - 1 m k) + 1 Kg (- 1 m i - 1 m j) ]
23/2 m3 23/2 m3 23/2 m3
G = 6,67 x 10
–11
N.m
2
/Kg
2
−
3
i
j
r
r
Luego:
Fg4 = 4,76 x 10
–11
(-i –j –k) N
Figura 11.1
I.3 – Conservación de la masa
En un sistema aislado la masa permanece constante, es decir, se conserva, no se crea ni se
destruye (salvo excepciones que no abordaremos).
I.4 - Fuerzas de Interacción entre Cargas Eléctricas
La materia es neutra desde el punto de vista eléctrico. Las moléculas y átomos que
conforman los cuerpos son neutros, es decir, el número de protones y electrones que los
constituye es el mismo, y dado que sus respectivos valores de carga eléctrica son
exactamente iguales y de signos opuestos, la suma de todas ellas, lo que se denomina su
carga eléctrica neta, es igual a cero
Cuando los cuerpos presentan “exceso” o “defecto” (faltante) de electrones, presentan carga
eléctrica neta, negativa o positiva respectivamente.
Así, resultan cuerpos cargados eléctricamente, o más sencillamente, cargas eléctricas. Los
cuerpos cargados o cargas eléctricas se ejercen fuerzas entre sí de modo similar a la que se
ejercen por poseer masa. Esta fuerza de orígen eléctrico es enorme comparada con la
correspondiente a interacción entre masas (o interacción gravitatoria).
Para comenzar a estudiar los fenómenos eléctricos resulta importante analizar las fuerzas entre
cargas eléctricas en reposo, área de estudio a la que se denomina Electrostática, y en el vacío,
es decir, sin que medie ningún material entre ambas.
Y al igual que para la interacción entre masas, es conveniente comenzar el análisis de la
interacción eléctrica considerando “cargas puntuales”, es decir, cuerpos cargados cuyas
dimensiones son despreciables frente a la distancia que los separa.
Experimentando con cargas eléctricas puntuales se verifica una importante diferencia con
respecto a las masas, consistente en que existen dos tipos de cargas eléctricas:
Negativa: cuerpo que presenta exceso de electrones Positiva:
cuerpo que presenta defecto de electrones
Las fuerzas de orígen eléctrico que se ejercen mutuamente las cargas resultan:
De repulsión, si las cargas son del mismo signo
De atracción, si las cargas son de distinto signo
De todos modos la similitud de la interacción entre cargas con la interacción entre masas es
muy significativa, dado que la expresión matemática que las rige posee la misma estructura.
Experimentando con dos cargas puntuales, q1 y q2,variando sus valores y midiendo las
fuerzas que se ejercen mutuamente para distintas distancias, se observa que:
1- Ambas fuerzas poseen igual módulo, se encuentran sobre la recta que une ambas cargas, y
tienen sentido contrario, tal como se indica en la Figura 12.1.
Como se indicó anteriormente, la diferencia con la interacción entre masas es que al existir
dos tipos de carga eléctrica, positiva y negativa, se encuentra que las cargas de igual signo
se repelen mientras que las de distinto signo se atraen.
Figura 12.1
2- El módulo de ambas fuerzas disminuye de modo inversamente proporcional al cuadrado de
la distancia que las separa, tal que si por ejemplo la distancia aumenta al doble el módulo de
las fuerzas decrece a la cuarta parte.
1
Fe∝ 2 d
4
2
4
1
....... .......... .......... .......... 2
1
e
e
e
e
F
F
F
F
=
′
=
′
Figura 13.1
3- El módulo de ambas fuerzas resulta directamente proporcional a los valores de cada una de
las cargas involucradas, a mayor carga mayor fuerza, de modo que si por ejemplo una de las
cargas se duplica, también se duplica el módulo de las fuerzas entre ambas cargas, lo cual se
expresa matemáticamente como sigue:
Fe ∝ q1.q2
Las verificaciones experimentales anteriores se sintetizan en la siguiente expresión matemática
que tiene en cuenta la dependencia funcional de las fuerzas que existen entre cargas puntuales
en reposo con relación a los valores de ambas cargas y la distancia que las separa.
Fe ∝ q1.q2
d
2
Donde:
Fe: fuerza de interacción eléctrica entre dos cargas puntuales
q1: carga del cuerpo 1 q2: carga del cuerpo 2
d: distancia entre ambas cargas puntuales
Las conclusiones anteriores se articulan en el siguiente esquema.
Mapa Conceptual 2.1
La unidad de carga en el SI es el Coulomb, que se simboliza con la letra C, y cuya definición
se debe postergar hasta el desarrollo de los fenómenos magnéticos. No obstante es importante
consignar que la carga fundamental, de un protón o de un electrón, es de 1,6 . 10
-19
C, es decir,
que para tener un carga neta de 1 C en un cuerpo se debe tener 6,2 .10
18
electrones en exceso
o en defecto según corresponda, lo que permite apreciar que 1 C es un valor de carga muy
elevado
Se puede comprobar que dos cargas de 1 C separadas por una distancia de 1 m se ejercen
fuerzas cuyo módulo no es igual a 1 Newton. Esto se debe a que las magnitudes fuerza, carga
y longitud se definen en el SI de modo independiente.
Por lo cual para completar la expresión anterior es necesario incluír una constante de
proporcionalidad que contemple los valores experimentales y que también permita
homogeneizar las unidades a ambos lados de la igualdad.
Fe = K.q1.q2 (6.1)
d
2
Esta constante de proporcionalidad se denomina “de Coulomb”, se simboliza usualmente con
la letra K, y su valor depende del sistema de unidades utilizado. Para el caso del SI, en que la
carga se mide en Coulomb, la distancia en metros y la fuerza en Newton, se tiene:
K = 8,98. 10
9
N.m²
C
2
Por conveniencia se expresa esta constante en función de otras. Así :
1
K =
4.π.ε
0
Donde a ε
0
se la denomina permitividad del vacío. Si en cambio las cargas se encontraran
inmersas en un medio material se debe reemplazar ε
0
por
ε la permitividad de dicho medio
material. De la expresión anterior se puede demostrar que:
ε
0
= 8,854 . 10
–12
C²
N.m
2
Que coincide con el valor hallado experimentalmente para el módulo de las fuerzas que se
ejercen dos cargas puntuales ambas de 1 Coulomb separadas por una distancia de 1 m.
Fe = 8,89 x 10
9
N . m
2
. 1 C . 1 C = 8,89 x 10
9
N
C
2
1
2
m
2
La elevada simetría que se determina para el caso de cuerpos esféricos permite utilizar la
expresión desarrollada para cargas puntuales para el cálculo de fuerzas entre éstos. En estos
casos la distancia a tomar entre ambos cuerpos es la existente entre sus respectivos centros
de carga, el cual para cuerpos con densidad uniforme de carga coincide con su centro
geométrico.
Hasta aquí se ha desarrollado el fenómeno físico de interacción entre cargas eléctricas. Ahora
bien, dado que el álgebra vectorial permite desarrollar expresiones matemáticas precisas para
calcular módulo, dirección y sentido de fuerzas de interacción, a continuación se realiza el
desarrollo vectorial para el cálculo de las fuerzas de interacción entre dos cargas puntuales.
Para esto se determina la ubicación de las mismas en un sistema de referencia mediante sus
respectivos vectores posición según se muestra a continuación.
Se toma dos cargas positivas para el ejemplo, pero se podrá comprobar que los resultados
obtenidos presentan generalidad, siendo válidos para cualquier combinación de signos de las
cargas.
Figura 14.1
Siguiendo un procedimiento similar al aplicado para la interacción entre masas arribamos a la
expresión del módulo de ambas fuerzas de interacción eléctrica:
Fe12 = K. q1.q2 |r1 – r2|
2
Fe21 = K. q1.q2 |r2 – r1|
2
Y las expresiones vectoriales de cada fuerza se obtienen multiplicando las anteriores por el
versor correspondiente:
Se debe notar que para los casos de interacción eléctrica el vector r1 – r2 nos brinda la
dirección y sentido de la fuerza Fe12, ya que si q1 y q2 son del mismo signo ambas cargas se
repelen, lo cual implica una diferencia con el caso de interacción de masas las cuales son
siempre positivas y se atraen y por lo tanto es r2 – r1 el vector que da la dirección y sentido
a Fg12
Luego:
Fe12 = K. q1.q2 . (r1 – r2) |r1 – r2|
2
|r1 – r2|
Fe21 = K. q1.q2 . (r2 – r1) |r2 – r1|
2
|r2 – r1|
Resultando:
Fe12 = K. q1.q2 . (r1 – r2) (7.1) |r1 – r2|
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