Cap´ıtulo 1
El cuerpo de los n´umeros reales
1.1. Introducci´on
Existen diversos enfoques para introducir los n´umeros reales: uno de ellos parte de los
n´umeros naturales 1, 2, 3, . . . utiliz´andolos para construir los n´umeros racionales y ´estos son
a su vez utilizados para construi r los n´u me ros i rr aci on al es, tales como
√
2 y π. Los n´umeros
reales ser´ıan entonces la uni ´on de los n´umeros racionales e irracionales. Sin embargo en esta
asignatura s´olo nos interesan las propiedades de los n´umeros r eal e s y no la forma empleada para
construirlos, por eso vamos a introducirlos desde un punto de vista axiom ´atico.
Supondremos que existe un conjunto no vac´ıo R, llamado conjunto de los n´umeros reales, que
satisface una serie de axiomas que agruparemos en 3 categor´ıas: axiomas de cuerpo, axiomas de
orden y axioma del supremo (llamado tambi´en axioma de completitud o axioma de continuidad).
1.2. Axiomas de cuerpo
Suponemos que en R hay definida una ope rac i´on interna + : R × R → R, (x, y) → x + y,
llamada “suma” que satisface las si gu ie ntes propiedades:
(a1) Asociativa: x+(y+z) = (x+y)+z, ∀x, y, z ∈ R.
(a2) Conmutativa: x + y = y + x, ∀x, y ∈ R.
(a3) Existenci a de elemento neutro: Exis t e un n´umero real que llamaremos 0 tal que
x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ R.
1
2 CAP´ıTULO 1. EL CUERPO DE LOS N
´
UMEROS REALES
(a4) Existenci a de elemento opuesto : dado cualquier n´umero real x existe otro n´umero real x
′
,
que llamaremos elemento opuesto de x, tal que
x + x
′
= x
′
+ x = 0.
Denotaremos −x := x
′
.
Al satisfacer l as propiedades (a1)-( a4) decimos que el conjunto (R, +) tiene estruc tu r a de
grupo conmutativo o ab e li an o.
Suponemos tambi´en que en R existe otra operaci´on interna · : R × R → R, (x, y) → x · y,
llamada “producto” o “multiplicaci´on” que satisface las siguientes propiedades:
(a5) Asociativa: ∀x, y, z ∈ R, x · (y · z) = (x · y) · z.
(a6) Conmutativa: ∀x, y ∈ R, x · y = y · x.
(a7) Existenci a d e elemento unidad (elemento neutro de la multiplicaci´on): existe un n´umero
real que llamaremos 1, distinto de 0, tal que ∀x ∈ R, 1 · x = x.
(a8) Existenci a de elemento inverso (elemento sim´etrico respecto de la multiplicaci´on): dado
cualquier n´umero real x 6= 0 existe un elemento y ∈ R, que llamaremos inverso de x, tal
que x · y = 1. Denotaremos x
−1
:= y.
(a9) Distribu t iva del producto r es pecto de la suma:
∀x, y, z ∈ R, x · (y + z) = x · y + x · z.
A partir de ahora al producto x · y tambi´en lo representaremos simplemente por la yuxta-
posici´on x y.
Al satisfacer (R, +, ·) los axiomas (a1)-(a9) se dice que tiene estructur a de cuerpo conmuta-
tivo. De los axiomas anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales del
´
Algebra elemental.
Ejemplo 1.2.1. Demostrar las siguientes propiedades:
1. Para todo a, b, c ∈ R s e cumple que a + b = a + c ⇒ b = c.
2. Para todo a ∈ R se cumple que −(−a) = a.
3. El elemento 0 es ´unico.
4. El elemento 1 es ´unico.
5. Para todo x ∈ R se cumple que x · 0 = 0 · x = 0 .
6. Para todo a, b, c ∈ R s e cumple que a · b = a · c y a 6= 0 entonces b = c.
1.3. AXIOMAS DE ORDEN 3
1.3. Axiomas de orden
Este grupo de axiomas se refiere a la ordenaci´on de los n´umeros reales.
Definici
´
on 1.3.1. Se dice que la relaci´on binari a ≤ (“menor o igual que”) es t ablece una relaci´on
de orden en un conjunto S 6= ∅ si satisface las siguientes propiedades:
1. Reflexiva: x ≤ x, ∀x ∈ S.
2. Antisim´etrica: x, y ∈ S, x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y.
3. Trans i ti va: x, y, z ∈ S, x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z.
Supondremos que los n´umeros reales R est´an ordenados por una relaci´on de orden ≤ que
adem´as cumple los siguientes axiomas:
(a10) La relaci´on de orden es total:
∀x, y ∈ R ⇒ x ≤ y ´o y ≤ x.
(a11) La relaci´on de orden es compatible con la suma:
∀x, y, z ∈ R, x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z.
(a12) La relaci´on de orden es compatible con la multiplicaci´on:
∀x, y, z ∈ R, x ≤ y , z ≥ 0 ⇒ x z ≤ y z.
Si x, y ∈ R, x ≤ y y x 6= y, escribiremos x < y, (“x menor que y”).
De los axiomas de orden se pueden deducir todas las reglas usuales del c´alculo con desigual-
dades. El conju nto (R, +, ·, ≤) cumpliendo las propiedades (a1)-(a12) se dice que tiene estructura
de cuer po conmutativo ordenado. Sin embargo estos axiomas no son suficientes para que se pue-
da caracterizar de forma ´unica al conju nto de los n´umeros reales. Nos falta todav´ıa el axioma
del supremo que veremos m´as adelante.
Definici
´
on 1.3.2. Un n´umero real x se llama positivo si x > 0 y negativo si x < 0. Designaremos
por R
+
al conjunto de los n´umeros reales positivos y por R
−
al conjunto de los n´umeros reales
negativos. Asimismo, definimos
R
+
0
= {x ∈ R : x ≥ 0}, R
−
0
= {x ∈ R : x ≤ 0}, R
∗
= R \ {0}.
4 CAP´ıTULO 1. EL CUERPO DE LOS N
´
UMEROS REALES
Proposici
´
on 1.3.1. A partir de los axiomas (a1)-(a12) se deducen las si gu ien tes propiedades
de los n´umeros reales:
p1) a ≤ b ⇔ −a ≥ −b.
p2) a ≤ b, c ≤ 0 ⇒ ac ≥ bc.
p3) a · a > 0, ∀a ∈ R \ {0}.
p4) a ∈ R
+
⇔ a
−1
∈ R
+
.
p5) 0 < a < b ⇒ a
−1
> b
−1
> 0.
p6) 0 < a < b, 0 < c < d ⇒ 0 < ac < bd.
El siguiente teorema, a pesar de su sencillez, resulta de gran utilidad en muchas situaciones.
Teorema 1.3.1. Sean a, b n´u m eros reales tales que
a ≤ b + ε para todo ε > 0.
Entonces a ≤ b.
1.3.1. La recta real
Los n´u mer os reales se representan geom´etricamente como puntos de una r ec t a (denominada
recta real)
0 1−1 2−2
. . .. . .
La relaci´on de orden admit e una interpretaci´on simple. Si x < y el punto x est ´a a la izquierd a
del punto y. Los n´umeros positivos est´an a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda. Si
a < b entonces a < x < b significa que x est´a entre a y b.
Definici
´
on 1.3.3 (Intervalos en R). Se llama intervalo abierto de extremos a y b al conjunto
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
a
b
1.3. AXIOMAS DE ORDEN 5
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b al conjunto
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.
a
b
An´alogamente se definen los intervalos semiabiertos o semicerrados
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b},
a
b
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}.
a
b
Tambi´en podemos definir intervalos infinitos (los s´ımbolos −∞ y +∞ no son n´umeros reales
y s´olo se utilizan como notaci´on)
(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b},
b
(−∞, b) = {x ∈ R : x < b},
b
[a, +∞) = {x ∈ R : a ≤ x},
a
(a, +∞) = {x ∈ R : a < x}.
a
El siguiente resultado caracteriza los intervalos en R.
Proposici
´
on 1.3.2. Un conjunto A ⊆ R es u n intervalo si y s´olo si dados x, y ∈ A, x < y,
z ∈ R cumpliendo x < z < y, entonces z ∈ A.
6 CAP´ıTULO 1. EL CUERPO DE LOS N
´
UMEROS REALES
1.4. Subconjuntos de los n´umeros reales
1.4.1. Los n´umeros naturales
Definici
´
on 1.4.1. Un subconjunto A ⊆ R se dice que es un conjunto inductivo si verifica que
1) 1 ∈ A.
2) Si x ∈ A entonces x + 1 ∈ A.
Un n´umero real se dice natural si pertenece a todos los conjuntos inductivos. El conjunto de
los n´umeros naturales se denomina como N. En particular N tambi´en es un conjunto inductivo.
Contiene al n´umero 1, al n´umero 1 + 1 (denotado por 2), al n´umero 2 + 1 (denotado p or 3) y
as´ı sucesivamente. M´as formalmente se satisface el siguiente resultado.
Teorema 1.4.1 (Principio de inducci´on).
1) El conjunto de los n´umeros naturales N es i ndu cti vo.
2) Si A ⊆ N y A es inductivo, entonces A = N.
En la pr´actica el pr i nc i pi o d e inducci´on se ut i li z a com o sigue: supongamos que queremos pro-
bar que una cierta propiedad P
n
se cumple para cualqui er n ∈ N. El principio de inducci´on
matem´atica afirma que si se cumplen las dos cond i ci one s siguientes
i) P
1
es cierta,
ii) (Hip´otesis de inducci´on) Si P
k
es cierta entonces P
k+1
tambi´en es cierta,
entonces la propiedad P
n
se cumple para todo n ∈ N.
Ejercicio 1.4.1. Probar mediante inducci´on que la f´ormula 1 + 2 + 3 + . . . + n =
n(n + 1)
2
es
v´alida para cualquier valor de n ∈ N.
Proposici
´
on 1.4.1. Los n´umeros naturales satisfacen las siguientes propiedades:
1) ∀n ∈ N, n≥1.
2) m, n ∈ N ⇒ m + n ∈ N.
3) m, n ∈ N ⇒ mn ∈ N.
4) m ∈ N ⇒ −m /∈ N.
1.4. SUBCONJUNTOS DE LO S N
´
UMEROS REALES 7
5) n ∈ N, n6=1 ⇒ 1/n /∈ N.
6) n ∈ N, n6=1 ⇒ n − 1 ∈ N.
7) m, n ∈ N, n < m ⇔ m − n ∈ N.
8) m, n ∈ N, n < m ⇒ n + 1 ≤ m.
9) Si n ∈ N y x ∈ R con n < x < n + 1, entonces x /∈ N.
1.4.2. Los n´umeros enteros
A partir del conjunto de los n´umeros naturale s podemos defin i r el conjunto de los n´umeros
enteros Z. En Z todo elemento posee un sim´et ri co, propiedad que no cumplen los n´umeros
naturales. El conjunto de los n´umeros enteros se define como
Z := N ∪ {−n : n ∈ N} ∪ {0}.
Proposici
´
on 1.4.2. Los n´umeros enteros cumplen las siguientes propiedades:
1) p, q ∈ Z ⇒ p + q ∈ Z.
2) p, q ∈ Z ⇒ p q ∈ Z.
3) q ∈ Z \ {0} y q
−1
∈ Z, entonces q = 1 ´o q = −1.
4) p, q ∈ Z, p < q ⇒ p + 1 ≤ q.
1.4.3. Los n´umeros racionales
Se llama conjunto de los n´umeros racionales , a
Q := {p/q : p, q ∈ Z, q 6= 0}.
Dicho conjunto contiene al conjunto de los n´umeros enteros (cualquier n´umero entero p puede
expresarse en la forma p = p/1 ∈ Q) y (Q, +, ·) satisface los axiomas (a1)-(a12), por lo que es
un cuerpo conmutativo ordenado.
Adem´as si x < y son dos n´umeros racionales entonces el punto medio
x + y
2
es otro n´umer o
racional comprendido entre ambos.
x y
x+y
2
8 CAP´ıTULO 1. EL CUERPO DE LOS N
´
UMEROS REALES
Esto implica que entre dos racionales cualesquiera hay siempre infini t os n´umeros racionales
distintos. S in embargo los n´umeros racionales no “llenan” la recta porque se sabe desde la escuel a
pitag´orica que la longitud de la diagonal de un cu adr ado de lado 1 no es conmesurable con la
longitud del lado (es decir,
√
2 no es un n´umero racional).
0 1 2
1
√
2
Por tanto, aunque Q satisface los 12 axiomas (a1)-(a12) deja “huecos” sin rellenar en la
recta real. Necesitamos introducir un nuevo axioma (el axioma del supremo) que garantice al
conjunto de los n´umeros real es una propiedad de continuidad que resulta fundamental en muchos
teoremas del An´alisis.
1.5. El Axioma del Supremo
1.5.1. Cotas superiores e inferi or es de un conjunto
Definici
´
on 1.5.1. Sea ∅ 6= A ⊆ R, α ∈ R, decimos que el elemento α es una cota superior del
conjunto A, si satisface
x ≤ α, ∀x ∈ A.
Al conjunto de las cotas superiores de A lo llamaremos M(A).
An´alogamente, diremos que β ∈ R es una cota inferior del conjunto A ⊆ R, si s e cumple que
β ≤ x, ∀x ∈ A.
Llamaremos m(A) al conjunto de las cotas inferiores de A.
Cuando un conjunto A ⊆ R posee una cota superior ( in fer i or) decimos que est´a acotado
superiormente (inferiormente). Si ocurren ambas cosas decimos que est´a acotado.
Resulta evidente que si α es una cota superior de un conjunto A, tambi´en lo ser´a cualquier
otro n´umero mayor que α y si β e s una cota inferior de un conjunto A, tambi´en l o ser´a cualquier
otro n ´umero menor que β.
Definici
´
on 1.5.2. Sea A ⊆ R. Diremos que a ∈ R es el m´aximo del conjunto A, a = m´ax(A),
si se cumple que a es una cota superior de A y adem´as a ∈ A.
An´alogamente, diremos qu e b ∈ R es el m´ınimo de un conjunto A ⊆ R, b = m´ın(A), si se
cumple que b es una cota inferi or de A y adem´as b ∈ A.
1.5. EL AXIOMA DEL SUPREMO 9
Observaci
´
on 1.5.1. i) El m´aximo (m´ınimo) de un conjunto, si existe, es ´unico.
ii) Todo subconjunto, no vac´ıo, de n´umeros naturales tiene m´ınimo (esta propiedad se conoce
como “principio de buena ordenaci´on de los n´u meros naturales ” y es equivalente al “prin-
cipio de inducci´on”).
Hay conjuntos de n´umeros reales que no tienen ni m´aximo ni m´ınimo, por ejemplo, R o
A = {x ∈ R : 0 < x < 2}. Sin embargo el conjunto A est´a acotado mientras que R no lo est´a.
1.5.2. Supremo e ´ı nfimo de un conjunto
Definici
´
on 1.5.3. Sea A 6= ∅, A ⊆ R. Si el conjunto A est´a acotado superiormente, llamamos
supremo del conjunto A, sup(A), al m´ınimo (si existe) del conjunto de las cotas superiores de
A,
sup(A) := m´ın(M (A) ) .
De igual forma, si A 6=∅, A ⊆ R, est´a acotado inferiormente, llamamos ´ınfimo del conjunto
A, ´ınf(A), al m´aximo (si existe) de las cotas inferiores de A,
´ınf(A) := m´ax(m(A)).
El supremo e ´ınfimo de un conjunto de n´umeros reales est´an caracterizados por las si guientes
propiedades.
Teorema 1.5.1. Sea A 6= ∅, A ⊆ R y α, β ∈ R. Entonces se cumple que
α = sup(A) ⇔
(
1) x ≤ α, ∀x ∈ A
2) ∀ε > 0, ∃x = x(ε) ∈ A : α − ε < x ≤ α.
β = ´ınf(A) ⇔
(
1) β ≤ x, ∀x ∈ A
2) ∀ε > 0, ∃x = x(ε) ∈ A : β ≤ x < β + ε
Ejercicio 1.5.1. Deter m in ar si existen el supremo, el ´ınfimo, el m´aximo y el m´ınimo de los
siguientes conjuntos:
a) A = {x ∈ R : −2 < x < 3}, b) (0, +∞), c)[−3, +∞).
10 CAP´ıTULO 1. EL CUERPO DE LOS N
´
UMEROS REALES
1.5.3. El axioma del supremo
El axioma de l supremo, junto con los axiomas (a1)-(a12) , permite carac t er i zar de forma
´unica el conjunto de los n´umeros reales.
(a13) (Axioma del supremo) Todo conjunto de n´umeros reales, no vac´ıo y acotado superiormente,
tiene supremo.
Observaci
´
on 1.5.2. Como consecuencia del axi om a del supremo se deduce tambi´en que todo
conjunto de n´umeros reales, no vac´ıo y acotado infer i orm ent e, tiene ´ınfimo.
El axioma del supremo tambi´en se conoce como axioma de completitud o de continuidad
porque garantiza que los n´umer os re al es “ll en an” la re ct a. Adem´as nos permite distinguir entre Q
y R, porque Q no satisface el axioma del supremo. Por ejemplo el conjunto A= {x ∈ Q
+
: x
2
<2}
est´a acotado superiormente en Q pero no tiene supremo en Q, puesto que
√
2 no es racional.
1.6. Valor absol uto de un n´umer o real
Se define el valor absoluto | · | : R → [0, +∞) como la funci´on definida para cada x ∈ R
mediante la f´ormula
|x| =
x, si x≥0
−x, si x < 0.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
|x|
Proposici
´
on 1.6.1 (Propiedades del valor absoluto). 1) ∀x ∈ R, |x|≥0.
1.7. ALGUNAS NOCIONES TOPOL
´
OGICAS EN LA RECTA REAL 11
2) |x| = 0 ⇔ x = 0.
3) ∀x ∈ R, x ≤ |x| .
4) ∀x ∈ R, |x| = | − x|.
5) ∀x, y ∈ R, |x y| = |x||y|.
6) ∀x ∈ R, ∀a ≥ 0, |x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a.
7) ∀x, y ∈ R, |x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdad triangular).
8) ∀x, y ∈ R, ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
1.7. Algunas nociones topol´ogicas en la recta real
Dados a ∈ R y δ ∈ R
+
, llamaremos entorno de centro a y radio δ, E(a, δ), al conjunto
E(a, δ) := (a − δ, a + δ) = {x ∈ R : |x − a| < δ}.
Llamaremos entorno reducido de centro a y radio δ, E
∗
(a, δ), al conjunto
E
∗
(a, δ) = E(a, δ) \ {a}.
El conce pt o de entorno nos permite formalizar la idea intuitiva de “proximidad”. Si tomamos
el radio δ peque ˜no, entonces los puntos del entorno E( a , δ) est´an pr´oximos al punto a. Sea A ⊆ R.
1) Decimos que a ∈ A es un punto interior de A si existe un entorno E(a, δ) tal que E(a, δ) ⊂
A. Al conjunto de los puntos interiores del conjunto A se le llama interior de A, int( A) .
2) Decimos que a ∈ R es un pu nto frontera del conjunto A si dado cualquier entorno E(a, δ)
se cumple que
E(a, δ) ∩ A 6= ∅ y E(a, δ) ∩ (R \ A) 6= ∅.
Al conjunto de los puntos frontera del conjunto A se le llama frontera de A, fr(A).
3) Decimos que a ∈ R es un punto adherente del conjunto A si para cualquier entorno E(a, δ)
se cumple que E(a, δ) ∩ A 6= ∅. Al conjunto de los puntos adherentes del conjunto A se le
llama adherencia de A,
¯
A.
4) Decimos qu e a ∈ R es un punto de acumulaci´on d el conjunto A si para cualquier entorno
E(a, δ) se cumple que E
∗
(a, δ) ∩ A6=∅.
Al conjunto de los puntos de acumulaci´on del conjunto A se le llama conjunto de rivado de
A, y se denota por A
′
. (No confundir el conjunto derivado con la derivada de una funci´on
que estudiaremos en un tema posterior).
12 CAP´ıTULO 1. EL CUERPO DE LOS N
´
UMEROS REALES
5) Decimos que a ∈ A es un punto aislado del conjunto A si existe u n entor n o E(a, δ) t al que
E(a, δ) ∩ A = {a}.
Observaci
´
on 1.7.1. 1. Un subconjunto A de R se dice que es abierto si A = int(A).
2. Un subconjunto A de R se dice que es cerrado si A =
A.
3. Un subconjunto A de R se dice que es denso en R si A = R.
4. Un subconjunto A de R se dice que es compacto si es cerrado y acotado. Veremos la impor-
tancia de los conjuntos compactos cuando estudiemos ciertas propiedades de las funciones
continuas.
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