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Teoría de Circuitos
Prof. Ing. Alberto Cucueff Página 1 Año 2006
Facultad de Ingeniería
Carrera de Ingeniería Electromecánica
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
UNNE
Apunte Unidad: I b
Cátedra: TEORI A DE LOS CI RUI TOS
Prof.Titular:
I ng. Alberto Luis Cucueff
J.T.P: I ng. Sandra Udrízar
J.T.P.:I ng. Raúl Biasotti
TEORIA DE LOS CIRCUITOS CON ELEMENTOS DE CIRCUITOS LINEALES
Como hemos visto en los circuitos existen tres elementos pasivos fundamentales:
Elementos Símbolo Dispositivo Unidad Magnitud
1) Resistecias
R
A
B
Resistor
Ω
Resistencia
2) Bobinas
L
Inductancia
autoinductancia
Bobina
Hy
(mHy; μHy)
inductancia
3) Capacitores
C
Capacitor
condensador
F
(μF; nF; pF)
capacidad
Relaciones de proporcionalidad:
Al circular una corriente i se establece una ddp entre A y B que es en cada caso:
1) v~ i
2) v ~
d
t
di
3) v ~
∫
dt.i
A los respectivos coeficientes de proporcionalidad se los llama:
1) Resistencia v = R.i [
Ω]
2)Inductancia o autoinducción v = L .
dt
di
L [Henrio]
3) capacidad v =
∫
dt.i.
C
1
C [ Faradio]
R,C y L dependen de parámetros físicos geométricos.
Para que circule una corriente debemos colocar un elemento activo o fuente que
proporcione la fem, la que será igual a la suma de las caídas de tensión en el circuito.
Existen fuentes ideales de tensión (Zi muy elevada frente a la carga) y de corriente (Zi muy
pequeña frente a la carga).
e = R.i + L.
dt
di
e = Σ vk
a esta ecuación la llamamos ecuación de equilibrio.
1
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El circuito dibujado es un dipolo porque tiene una entrada y una salida.
La resolución de un circuito consiste en:
Dados los elementos pasivos de un dipolo eléctrico asociados en forma determinada y
conociendo las fem que sobre él operan, determinar las corrientes.
Tipos de análisis:
• circuitos de CC
• circuitos de CA armónica
• circuitos con corrientes no armónicas
En primer lugar estudiaremos circuitos simples de una sola malla.
CIRCUITOS EXCITADOS CON UNA FEM CONSTANTE
1) Circuito R
e= R.i
10
0
10
0 10
13.215
2.893−
i
10
10−
i = e / R
y su representación será:
en realidad esta es una función de Heaviside:
t
H(t) 0 si t<0
1 si t>0
Por lo tanto la ecuación correcta sería:
)t(H.
R
e
i =
Desde el punto de vista energético:
(Energía para transportar la carga) e.dq = R.i
2
.dt (Ley de Joule)
O sea que toda la energía suministrada por la pila se disipa en forma de calor en la
resistencia.
2) Circuito R-L
d
t
di
.Li.R +=
e
ecuación de equilibrio
Como es una ecuación diferencial de primer orden, los
datos son:
t=0
i(0)= 0
2
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La solución será:
R
L
i
R
e
L
i.Re
dt
di
−
=
−
=
∫∫
−
=
−
−
dt.
L
R
i
R
e
di
kt.
L
R
)i
R
e
ln( +−=−
De las condiciones iniciales i=0 cuando t= 0
∴
R
e
lnk =
Reemplazando:
t.
L
R
e.
R
e
i
R
e
e
R
e
i
R
e
t.
L
R
)
R
e
i
R
e
ln(
t.
L
R
R
e
ln)i
R
e
ln(
t.
L
R
−
=−∴=
−
−=
−
−=−−
−
)e1.(
R
e
e.
R
e
R
e
i
t.
L
R
t.
L
R
−−
−=−=
0246 81
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
3
0
e
R
1e
R−
L
t⋅
−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
e
R
100 t
Conclusiones:
Para t=0 i=0
Para t i=e/R
∞
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Al cabo de un tiempo t=τ = L/R la función alcanza un valor = 63,2%
La bobina actúa como un amortiguador de i y permite que la Ley de Ohm se vaya
cumpliendo progresivamente.
La relación energética será:
d
t
di
i.Re
L+=
Multiplicando por dq
dq
dt
di
dq.i.Rdq.e . L+=
i.dt=dq
)i.L.
2
1
(ddt.i.Rdt.i.Rdt.i.
d
di
dt.i.i.Rdq.e
222
+=+=+= i.diL. L
e.dq= Energía para transportar carga
R.i
2
.dt= Energía disipada como calor
d(1/2.L.i)= Energía de campo magnético almacenada en la bobina
2) CIRCUITO R-C
)t(Vc)t(i.R
La ecuación de equilibrio es:
e
+
=
C
)t(Q
)t( =
Vc
(1)
)t(q.
C
1
)t(i.R +=e
(2)
)0(q.
C
1
)0(i.R +=e
si el condensador está cargado.
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Si estudiamos la descarga en función del tiempo
dt.
C.R
1
)t(i
)t(di
0)t(i.
C
1
dt
)t(di
.R −==+
∴
Integrando
RC
t
RC
t
e.
R
e
e).o(i)t(i
RC
t
)o(i
)t(i
ln
−−
==
−
= ∴
La descarga seguirá una representación como sigue:
Cuando t=R.C=τ
(constante de tiempo
del circuito)
La ecuación energética
es:
q.
C
1
i.Re +=
)
C
q
.
2
1
(di.Rdq.e
2
2
+=
el segundo término representa la energía da campo eléctrico del condensador.
REACTANCIA INDUCTIVAS Y CAPACITIVA
1) Reactancia Inductiva
El coeficiente de autoinducción L se denomina
autoinductancia y se mide en Henrios [Hy].
Cuando por una L circula una i variable en el tiempo
se genera una tensión u= L. di/dt
La inductancia pura (sin resistencia) acumula energía
de campo magnético y la devuelve al circuito cuando
la corriente cesa.
Tomemos una corriente variable con el tiempo:
)t.cos(.I
ˆ
i ϕ+ω=
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)
2
t.cos(.I
ˆ
.L.)t(sen.I
ˆ
.L.
d
t
di
.Lu
π
+ϕ+ωω=ϕ+ωω−==
O sea hay un avance de la tensión con respecto a la corriente en π/2.
En forma compleja escribiremos:
I.L..j
d
t
di
.Lu ω==
La resistencia compleja o impedancia es:
2.j
L
e.L.X.jZL..j
I
U
π
ω===ω=
La admitancia de la inductancia o susceptancia es.
Β=
ω
−=
ω
==
π
−
.j
L.
1
.je.
L.
1
Z
1
Y
2
.j
L
2) Reactancia Capacitiva
Si tenemos una capacidad ideal y aplicamos una tensión u se produce una elevación de
carga q=C.u y un almacenamiento de energía eléctrica
d
t
du
.C
d
t
dq
i ==
En CA:
)tcos(.U
ˆ
u ϕ+ω=
)
2
tcos(.U
ˆ
.C.)t(sen.U
ˆ
.C.u.C..j
dt
du
.Ci
π
+ϕ+ωω−=ϕ+ωω−=ω==
O sea la corriente adelanta a la tensión en π/2
El valor instantáneo complejo es:
U.C..j
d
t
du
.Ci
ω==
La amplitud compleja es
2
j
e.U.C.U.C..jI
π
ω=ω=
La admitancia es:
CC B.jC..j
U
I
Y =ω==
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COMBINACIONES DE RESISTENCIAS COMPLEJAS
CIRCUITO SERIE
Tomemos el siguiente circuito
Por este circuito circula una I compleja que ocasiona:
u1=I.Z1 y u2= I.Z2
La tensión será: u= u1+u2
Y la resistencia compleja será:
21
21
ZZ
I
uu
I
u
Z +=
+
==
1X.j1Re.1Z1Z
1.j
+==
ϕ
2X.j2Re.2Z2Z
2.j
+==
ϕ
X.jRZ
+
=
donde R=R1+R2
X=X1+X2
Atención: La suma es de cantidades complejas no de valores absolutos
CIRCUITO PARALELO:
1Z
u
1I =
2Z
u
2I =
2Z1Z
2Z.1Z
2Z
1
1Z
1
1
2I1I
u
I
u
Z
+
=
+
=
+
==
Si tomamos la admitancia:
2Y1Y
u
2I1I
u
I
Y +=
+
==
1B.j1G1Y +=
, y por lo tanto : G=G1+G2
2B.j2G2Y +=
B=B1+B2
DIAGRAMAS FASORIALES
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Los diagramas fasoriales correspondientes a cada circuito son:
U2
U1
U
CIRCUITO SERIE
CIRCUITO PARALELO
ϕ2
ϕ1
ϕ
I1
I2
I
U
1.j
1
e.
Z
U
I
ϕ−
=
2.j
2
e.
Z
U
I
ϕ−
=
ϕ−
=
.j
e.
Z
U
I
ϕ=ϕ
ϕ
− 12
8
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