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SISTEMAS DE ALMA LLENA - ESFUERZOS EN VIGAS
Figura (b)
SISTEMAS DE ALMA LLENA
Sea, la figura (a), S –S una línea plana contenida en un plano π y F una figura cualquiera
normal a aquella, que se desplaza en forma tal que su baricentro pertenezca en todo
momento a la línea.
En su desplazamiento, la figura engendrará un sólido, que podemos imaginar como un
conjunto de puntos materiales, cuyas distancias relativas se mantienen invariables por
el vínculo de la rigidez.
Si la figura es simétrica con respecto al plano π, el sólido engendrado por la figura al
desplazarse a lo largo de S – S, también será simétrico con respecto a π.
Si además las fuerzas aplicadas al sólido se hallan simétricamente dispuestas con
respecto al mismo plano, cada par de cargas Pi’ y Pi’’, admitirá un resultante Pi cuya
recta de acción se hallará contenida en el plano de simetría de la figura.
Si también, los vínculos son simétricos, sus reacciones podrán ser reemplazadas con
fuerza reactivas Ri actuantes en el plano π. De ahí que los efectos del estudio del
Equilibrio del SÓLIDO podamos REEMPLAZARLO POR UNA CHAPA (Materialización del
plano π de simetría) denominado DE ALMA LLENA, sujeto a la acción del Sistema de
fuerzas Pi, contendido en la misma.
Supongamos que la chapa de la figura (a) se encuentra en EQUILIBRIO bajo la acción del
sistema de fuerzas Pi, R1 y R2 activas las primeras y reactivas las dos últimas.
Imaginemos una sección n –n normal a la curva directriz.
Llamamos Ri a la resultante de las fuerzas que actúan a la izquierda de n – n
(RESULTANTE IZQUIERDA) y Rd = - Ri (RESULTANTE DERECHA).
Por razones de EQUILIBRIO son dos FUERZAS OPUESTAS que interceptan la sección n –
n considerada, en un PUNTO A.
Al ser trasladada al BARICENTRO G. obtenemos:
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A su vez a la fuerza aplicada en el baricentro G, Ri’ y Rd’ se las puede descomponer en
COMPONENTES NORMALES A LA SECCIÓN y CONTENIDAS EN EL PLANO DE LA MISMA,
indicadas con N y Q. Figura (c).
El conjunto de los dos pares M y – M constituye en lo sucesivo en la que
DENOMINAREMOS “MOMENTO FLECTOR O FLEXOR”, cuya definición enunciaremos:
Se denomina momento flector M en una sección “el par de pares que actúan
normalmente a uno y otro lado de la misma, cuyos momentos corresponden a los
momentos con respecto al baricentro de la sección de las resultantes izquierda y
derecha y cuyo signo viene dado por el momento de la resultante izquierda o de la
derecha cambiado de signos”.
Definiremos como “ESFUERZO DE CORTE O TANGENCIAL” en una sección al conjunto de
las dos fuerzas, cuyas rectas de acción se encuentran contenidas en el plano de aquellas
y cuyas intensidades corresponden a las proyecciones de las resultantes izquierda o
derecha sobre el plano de la sección y cuyo signo lo define la proyección de la resultante
izquierda”.
Finalmente, las proyecciones de las resultantes izquierda y derecha, normales a la
sección nos permite definir “como esfuerzo NORMAL o ESFUERZO AXIAL al conjunto de
las dos fuerzas aplicadas al baricentro de la sección considerada, cuya recta de acción
son normales al plano de la misma y cuyas intensidades corresponden a las proyecciones
sobre dicha dirección de la resultante izquierda y derecha. El signo del esfuerzo normal
depende de si la sección resulta solicitada por tracción o compresión.
POR TRACCIÓN (+)
POR COMPRESIÓN (-)
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El esfuerzo de CORTE, el esfuerzo NORMAL y el momento FLECTOR CONSTITUYEN LOS
TRES ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS DE LA SECCIÓN CONSIDERADA.
Ahora si imaginamos SUPRIMIDA la parte de la chapa ubicada a la izquierda de la sección
n-n, la parte derecha no se encontrará más en equilibrio; para restituirla será necesario
aplicar a la sección una acción equivalente en sus efectos a la parte suprimida, es decir
su RESULTANTE IZQUIERDA O BIEN SUS TRES COMPONENTES M; N; Q. Fig. (d)
Si, en cambio, se suprimiese la parte derecha, deberá aplicarse a la sección la resultante
o sus componentes. Figura (e)
DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS
SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES
Determinación de Reacciones de Vínculo (Gráficamente)
Figura (f)
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Determinación de los esfuerzos M, Q y N (Gráficamente)
En una chapa de alma llena, sujeta a la acción de un sistema de fuerzas exteriores en
equilibrio, en general Mf, Q y N, varían de sección en sección.
Interesa conocer, pues, como varían de sección en sección los esfuerzos característicos
de las mismas.
Considerando el sistema de alma llena de la figura (f), vinculado a tierra con un apoyo
fijo en A y móvil en B, sujeto a la acción de las cargas exteriores P1; P2; P3; P4 y RA y RB
reactivas (calculadas en forma analítica o gráfica).
Trazamos un polígono funicular de las cargas ubicando el polo del mismo en el origen
del vector representativo de RA, en el polígono de fuerzas.
Si hacemos pasar el primer rayo del funicular por A, el mismo coincidirá con la recta de
acción de RA, por cuanto el primer rayo polar, del que es paralelo, se confunde con el
vector representativo de RA.
El segundo lado del funicular pasará por M, intersección del primero con la recta de
acción de P1 y será paralela al segundo rayo polar R1. El último lado del funicular
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coincidirá con la recta de acción de RB, por ser paralela al último rayo polar, que coincide
con el vector representativo de aquella reacción.
EL POLÍGONO FUNICULAR ASÍ TRAZADO A, M, N, S, T, B, recibe el nombre de POLÍGONO
DE PRESIONES y para una sección cualquiera, tal como la n – n, el lado del funicular que
corta la misma constituye la recta de acción de la resultante izquierda (o derecha) de la
sección considerada, estando dadas su INTENSIDAD y SENTIDO POR EL RAYO POLAR
CORRESPONDIENTE.
En efecto el primer rayo del funicular coincide con la reacción RA, que es la RESULTANTE
IZQUIERDA PARA TODAS LAS SECCIONES COMPRENDIDAS ENTRE A Y M’ (intersección
del eje de la chapa con la recta de acción de P1) por cuando entre ambos puntos no
actúa ninguna otra fuerza.
Al pasar a una sección ubicada a la derecha de M’, la RESULTANTE IZQUIERDA LA
OBTENEMOS DE COMPONER RA CON P1.
Su recta de acción pasará por M y será precisamente el segundo lado del funicular, por
cuanto en el polígono de fuerzas el vector R1 representativo de RA y P1 coincide con el
segundo rayo polar.
En forma semejante deducimos que LOS RESTANTES LADOS DEL FUNICULAR
CONSTITUYEN LAS RECTAS DE ACCIÓN DE LAS RESULTANTES IZQUIERDAS (O DERECHAS)
CORRESPONDIENTES A LAS SECCIONES COMPRENDIDAS ENTRE LOS PUNTOS EN QUE
LAS RECTAS DE ACCIÓN DE LAS FUERZAS QUE DELIMITAN EL LADO CONSIDERADO
CORTAN EL EJE DE LA CHAPA.
Al considerar la sección n –n a la izquierda se obtiene R2 = Ri aplicado en el punto L, que
al ser trasladado al baricentro G de la sección y descomponiendo en la normal y
tangencial a dicha sección se obtiene:
e = excentricidad del Esfuerzo Normal
SISTEMA CON CARGA DISTRIBUIDA
Si se tratara de un sistema de fuerzas con carga distribuida (figura g), el polígono de
presiones se transforma en una CURVA DE PRESIONES que corresponde a la curva del
funicular de la carga distribuida, cuyas tangentes extremas pasan por A y B y coinciden
además con las rectas de acción de las respectivas reacciones del vínculo.
En este caso la CURVA FUNICULAR ES UNA PARABOLA DE SEGUNDO GRADO.
Determinadas las reacciones del vínculo, el trazado de la curva de presiones es
inmediata, por cuanto se conocen sus tangentes extremas y los puntos de arranque. El
trazado de la parábola se completa con puntos y tangentes.
Conocida la curva de presiones, para calcular los esfuerzos característicos,
correspondientes a una sección cualquiera, como ser la n – n se traza por el punto S en
que la curva corta la sección, una tangente a la primera. Esta TANGENTE CORRESPONDE
A LA RECTA DE ACCIÓN DE LA RESULTANTE IZQUIERDA DE LA SECCIÓN.
Trazando por el polo O, en el polígono de fuerzas una paralela a dicha tangente, en su
intersección con R, define EL VECTOR REPRESENTATIVO DE Ri:
Descomponiendo Ri en una normal y tangencial a n – n me da:
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Q = Esfuerzo Tangencial N = Esfuerzo Normal M = N x e
e
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DIAGRAMA DE ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS
Sea el sistema de alma llena, representado por su eje en EQUILIBRIO bajo la acción del
sistema de fuerzas exteriores activas Pi y reactivas RA y RB.
Supongamos haber determinado para distintas secciones S – S del mismo, los valores de
M, Q, N.
Si al partir un eje de referencia cualquiera MN y en una dirección arbitraria (vertical en
el caso de la figura “a”), llevamos en correspondencia con lo vertical de cada sección,
segmentos de KK´- que, en una ESCALA DETERMINADA, representen los valores de los
correspondientes momentos flectores. EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS ASÍ
OBTENIDOS, CONSTITUYEN UNA FIGURA DENOMINADA “DIAGRAMA DE MOMENTOS
FLEXORES”.
Procediendo en forma similar con los esfuerzos de corte y normales es posible construir
diagramas análogos para ambos esfuerzos característicos (Fig.”b” y “c”).
Los diagramas de Mf; Q; N, permiten OBTENER DE INMEDIATO y PARA CUALQUIER
SECCIÓN EL VALOR DEL ESFUERZO CARACTERÍSTICO CORRESPONDIENTE.
El segmento definido por esta entre el eje de referencia y el diagrama propiamente
dicho, leído en la ESCALA CORRESPONDIENTE da el VALOR DE LA CARACTERÍSTICA
BUSCADA EN MAGNITUD Y SIGNO. Permiten, además, formarse una composición de
lugar sobre la forma en que varían de sección en sección LOS ESFUERZOS
CARACTERÍSTICOS Y EN CUALES DE ELLAS ALCANZAN SUS VALORES MÁXIMOS,
MÍNIMOS Y NULOS.
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DIFERENTES ESTADO DE CARGAS (Forma analítica):
A. VIGA CARGADA CON UNA FUERZA VERTICAL CONCENTRADA EN UNO DE SUS
PUNTOS
- Recordemos que, si en un sistema de fuerzas verticales coplanares está en equilibrio,
deben verificarse dos condiciones:
Y GRÁFICAMENTE:
A. POLÍGONO DE FUERZAS CERRADO.
B. POLÍGONO FUNICULAR CERRADO.
De la condición;
se deduce que la suma de los momentos de las fuerzas SITUADAS A LA IZQUIERDA DE
UN PUNTO CUALQUIERA “O” del plano, es igual y de signo contrario a la suma de los
momentos de las fuerzas situadas a la derecha.
Esas dos sumas son IGUALES EN VALOR ABSOLUTO.
Si consideramos una VIGA RECTILÍNEA apoyada libremente en A y B y sea P la carga
solicitante concentrada en una cualquiera de los puntos de la viga en C, el sistema está
en EQUILIBRIO porque los apoyos reaccionan con dos fuerzas RA y RB cuya resultante
es igual y directamente opuesta a la carga P. (ver Fig.)
Analiticamente
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CALCULO DE REACCIONES DE VÍNCULO:
Momento con respecto al punto A
De (2)
reemplazando en (1)
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Consideremos ahora una sección cualquiera “S” de la viga. Evidentemente ello es
solicitado a la IZQUIERDA por la reacción RA y a la DERECHA por la fuerza P y la reacción
RB con signo cambiado.
Llámese ESFUERZO CORTANTE en la sección S a la fuerza (o suma de fuerzas) que actúa
a la IZQUIERDA, igual y de signo contrario a la fuerza (o suma de fuerzas) que actúa a la
derecha.
En efecto la sección S, con respecto a otra sección infinitamente cercana, tiende por la
acción de las fuerzas situadas a su izquierda y a su derecha a RESBALAR (se corta en la
sección S).
En cuanto al signo, se considera POSITIVO, si el brazo de la viga situada a la izquierda de
la sección S tiende a SER ELEVADO CON RESPECTO AL BRAZO SITUADO A LA DERECHA Y
NEGATIVO EN CASO CONTRARIO. (Fig.)
De acuerdo a la expresión, de arriba, en toda sección “S” tal que “x “sea menor a “a”,
(izquierda de P) , el esfuerzo de corte Qi = Ra
En toda la sección S1, x > a, o sea en toda sección situada a la derecha de P, el esfuerzo
de corte es:
Resulta entonces que el esfuerzo de corte entre A y C; y C y B es constante.
- Además las tres fuerzas P; RA y RB, actúan con diferentes brazos con respecto a una
sección cualquiera de la viga, pero como están en equilibrio, la suma ALGEBRAICA DE
SUS MOMENTOS con respecto a la sección considerada debe ser cero.
(Es decir el Mf izquierda = - Mf derecha).
En cuanto a los signos se considera POSITIVOS los momentos de las fuerzas de la
izquierda que tienden a producir un movimiento en el sentido de las agujas del reloj y
NEGATIVO, los que tienden a producirlo en sentido contrario.
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Cuando:
- Su valor MÁXIMO corresponde al valor “a” de x (Punto de aplicación de P)
Como
Como
RESUMEN:
Esfuerzos de corte:
Momentos Flectores:
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B. VIGA CARGADA CON VARIAS FUERZAS VERTICALES IGUALES CONCENTRADAS
B – 1 Con dos cargas P iguales concentradas en puntos que dividen la viga en tres partes
iguales.
- Las reacciones son: RA = RB = - P
- El esfuerzo de corte es el indicado en la figura donde entre los puntos C y D el esfuerzo
de corte es nulo.
Para determinar el momento flector tenemos:
Ahora bien, entre el apoyo A y C el diagrama del “Mf”, varia en forma lineal (pues a la
izquierda de cualquier sección entre A y C el momento varia con la distancia de la sección
al punto A, ya que la única fuerza actuante es RA. En el apoyo en A es nulo, el momento
flector.
- El momento flector en D es igual al momento flector en C, entre C y D el Mf es constante
e igual a P.L/3
- En efecto si tomamos momentos a la izquierda del punto E, las únicas fuerzas actuantes
son RA y P
[NOMBRE DEL AUTOR]
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- Y entre los puntos D y B el momento flector varia en forma lineal.
B – 2: Con tres cargas concentradas iguales a distancias iguales
- Cada reacción vale:
Conocidas las reacciones de vínculos se puede determinar el diagrama de esfuerzo de
corte.
Los momentos en A, C, D, E y B son:
[NOMBRE DEL AUTOR]
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Entre A y C, C y D, D y E, E y B los momentos flectores varían en forma lineal.
Se determina así el diagrama de momento flector.
C. VIGA CARGADA CON VARIAS CARGAS CONCENTRADAS VERTICALES CUALESQUIERA
Consideremos la viga AB, sobre la cual actúan las fuerzas verticales P1, P2, P3; sean a1;
a2; a3 las respectivas distancias de las fuerzas al apoyo en A.
Tomando momento en respecto al punto A tenemos:
Teniendo en cuenta que para el equilibrio debe verificarse:
[NOMBRE DEL AUTOR]
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- Conocida las reacciones de vínculos y en conjunto con las cargas activas (P1; P2; P3),
resulta posible determinar LOS ESFUERZOS CORTANTES que corresponden a distintas
secciones de la viga, a la sección S por ejemplo.
- Bastará sumar algebraicamente las fuerzas que actúan a la izquierda de S.
y si se quiere determinar a la derecha de S, se tiene
y ambos valores son naturalmente iguales.
Determinamos ahora el momento flector correspondiente a la sección arbitraria S:
De esta manera se puede determinar los ESFUERZOS CORTANTES y LOS MOMENTOS
FLECTORES CORRESPONDIENTES A LAS SECCIONES EN C; D; E y B.
D. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA EN LOS EXTREMOS QUE SOPORTA UNA CARGA
UNIFORMEMENTE REPARTIDA
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