UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES
CURSO S3001 & 3051
Estabilidad 2
UTN – FRBA – Apunte Pandeo – Rev005
1
PANDEO
JEFE DE CÁTEDRA: ING. BONFANTE, FRANCISCO
JEFE T.P.: ING. GÓMEZ, GASTÓN
AYUDANTE T.P. ING. GALLO, FEDERICO
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BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
Seely-Smith (estudio superior de resistencia de materiales)
El pandeo es la manifestación de una posición de equilibrio inestable; ahora bien, ¿Qué es
una posición de equilibrio inestable?
Estudiemos el caso en un cuerpo rígido.
Supongamos que tenemos una superficie cóncava, y tenemos un cuerpo apoyado en ella
que se encuentra en equilibrio.
Ahora, alguien perturba este equilibrio (ej: una brisa), mueve el cuerpo, y si la perturbación
desaparece, éste vuelve a su posición de equilibrio inicial.
Ahora, si tenemos la bolita rígida en equilibrio sobre una superficie convexa como muestra
la figura y aplicamos una pequeña perturbación que la desplaza, al desaparecer la
perturbación la bolita no vuelve a la posición de equilibrio inicial, sino que busca una nueva
posición de equilibrio alejada de la anterior. Decimos que la posición de equilibrio inicial es
inestable.
Entre estas 2 posiciones de equilibrio, siempre hay una posición límite, es decir pasar de la
estable a la inestable, que es la posición de equilibrio indiferente.
El cuerpo ante una perturbación de desplaza y cuando la perturbación desaparece, ni vuelve
a la posición de equilibrio anterior ni busca una nueva, se queda donde la perturbación la
dejo.
En los cuerpos elásticos la idea es similar, en la viga simplemente apoyada que se deforma
según la figura, si aplicamos una perturbación que aumente la deformación, al eliminar esta,
puede ocurrir que vuelva a la posición deformada inicial, busque una nueva o quede en la
posición deformada a la que la llevo la perturbación, así el equilibrio será estable, inestable o
indiferente respectivamente.
E.E.
Decimos que el Equilibrio es Estable
Equilibrio Inestable
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En el curso anterior se suponía que siempre las posiciones de equilibrio de un cuerpo sujeto
a causas deformantes eran de equilibrio estable.
En nuestro estudio del fenómeno de PANDEO, nos interesa estudiar la posición de equilibrio
Indiferente, porque eso va a ser el límite que nosotros no debemos superar y así evitar dicho
fenómeno.
Antiguamente, no existía el fenómeno pandeo porque las estructuras eran muy robustas,
columnas, muros, eran de secciones muy grandes frente a su altura.
Cuando comenzaron las necesidades de disminuir el gasto de recursos, comenzaron a
disminuir las secciones y, por lo tanto, se hicieron las piezas mucho más esbeltas.
El material no llegaba a la tensión límite, y sin embargo se producían deformaciones
permanentes o el colapso de la misma.
Al comienzo del siglo XVIII un científico llamado Mussehenbroek realizó experimentos sobre
barras comprimidas y concluyó que el riesgo de pandeo en el caso de columnas sometidas a
compresión aumentaba con el cuadrado de la longitud de la barra. Estos resultados fueron
confirmados teóricamente por Euler, pero una autoridad científica como Coulomb y otros
ingenieros de la época, desestimaron esta proposición y continuaron aceptando que la
resistencia solo era función del área de la sección. Recién en el año 1846, Lamarie demostró
experimentalmente que las afirmaciones de Mussehenbroek y de Euler eran correctas. Esto
resulto válido dentro del período elástico. En el período anelástico el proceso analítico
resulto más lento y después de varias conclusiones empíricas, Engesser, Von Karman y
Jasinsky obtuvieron una fórmula que involucraba a la de Euler.
Dijimos entonces que el pandeo depende fundamentalmente de la ESBELTEZ de las piezas,
pero se presenta en cualquier solicitación.
Ejemplos,
• En torsión ante una latita de gaseosa o tubo de muy pequeño espesor, si se supera un
cierto par torsor el elemento colapsa y su nueva deformada presenta abolladuras como
muestra la figura.
• Una cáscara delgada, superada una cierta carga normal también toma una deformada
no deseada como muestra la figura.
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• Una cinta métrica (está en equilibrio hasta cierta longitud) después de esa longitud, las
imperfecciones o cualquier perturbación, generan un giro lateral de la sección.
• En los pavimentos de hormigón, que por temperatura aumentan la longitud de los
paños, y la zona de una contra la otra choquen comprimiéndose, cuando pasan los
vehículos generan perturbación y las secciones se levantan bruscamente.
• El inflado de un globo a partir de cierta presión, sin que esta aumente comienza a
aumentar su radio hasta colapsar.
• Un tubo de espesor delgado, si se comprime, a partir de cierta carga de compresión
comienza a abollarse lateralmente.
• Un tubo de espesor delgado sometido a presión externa radial a partir de cierta presión
se deforma tomando posibles nuevas posiciones deformadas, según muestra la figura. (una
elipse o una línea de concavidades y convexidades alternadas)
• En el caso de un pórtico la nueva posición deformada podría alcanzar esta nueva
posición de equilibrio.
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Todas las presiones, cargas que no pueden ser superadas se denominan críticas y
responden a posiciones de equilibrio indiferente de la estructura.
Resumiendo:
Pandeo:
➢ Fenómeno donde se manifiesta la existencia de una posición de equilibrio inestable.
➢ Se manifiesta sin previo aviso, a tensiones menores que las tensiones admisibles del
material.
➢ Generalmente depende de la esbeltez de la pieza
➢ Se presenta en cualquier solicitación
➢ Puede ser pandeo general en toda una estructura o pandeo local en algún elemento
de la estructura, sin afectar al resto.
Nosotros nos dedicaremos a estudiar este fenómeno en barras comprimidas.
El pandeo en barras comprimidas tiene el siguiente concepto físico:
Supongamos que tenemos una barra vertical que se encuentra empotrada en su base.
Le aplico una carga transversal muy pequeña, genera una deformación y si todavía no se
cargó la barra, simplemente es una fuerza perturbadora. Tendrá entonces una deformación
pequeña, pero en una sección de la barra, si yo buscara el M
flexor
producido por la
perturbación, voy a tener un M
flexor
que va a generar, tracción a la fibra convexa y
compresión a la fibra cóncava.
Supongamos ahora que elimino la perturbación, desaparece el M
flexor
, pero las fibras que
estaban deformadas van a generar un M
flexor
que tiende a comprimir las fibras convexas
traccionadas y a traccionar las fibras cóncavas comprimidas y restaurar la posición vertical
inicial de la barra.
q
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Con lo cual el M
flexor
de las fibras es un momento que trata de estabilizar la barra que había
sido deformada por la perturbación.
Vamos a suponer ahora que tengo la misma barra y la cargo con la fuerza P, y logro
centrar la fuerza P perfectamente, el material es continuo, homogéneo, isótropo, el eje es
perfectamente recto, todo es idealmente perfecto y estoy trabajando dentro del período
elástico. En consecuencia, la reacción que produce el empotramiento es una fuerza P que
deja la barra en equilibrio.
Ahora, aplico una fuerza exploradora q (tan pequeña como yo quiera), entonces voy a
generar una deformación donde la fuerza P sigue estando en el extremo de la pieza. La
fuerza perturbadora origina un par, y la fuerza P origina un Par en esta sección, que es P x
dist, que también tienda a traccionar la fibra izquierda y a comprimir la derecha.
Pero cuando yo elimino la fuerza p, elimino el par desequilibrante de la perturbación, y
aparece el par restitutivo, que es el momento flexor generado por las fibras de la barra.
Así es como se origina un momento flexor externo desequilibrante y generado por la fuerza
P de compresión y un momento flexor equilibrante generado por las fibras internas de la
barra.
• Si el par externo, supera el par interno, la barra se sigue desplazando buscando una
nueva posición de equilibro (que la puede encontrar en una posición más deformada, y
puede sufrir la rotura real).
• Si por el contrario, el momento externo desequilibrante es menor que el momento flexor
equilibrante que generan las fibras de la barra esta vuelve a la posición vertical de equilibrio
inicial.
En el primer caso es una posición de equilibrio inestable.
En el segundo caso, la posición de equilibrio es estable.
• Si los dos momentos flexores, equilibrante y desequilibrante, tienen igual valor
absoluto, al ser de sentidos opuestos dejarán a la barra en la posición deformada que
generó la perturbación combinada con la fuerza P. La posición de equilibrio es indiferente.
Donde el primer miembro es el momento flexor desestabilizante generado por la carga P, el
segundo miembro es el momento estabilizante que generan las fibras internas al eliminar la
perturbación y es de signo opuesto al generado por la carga P, y el tercer miembro es el
momento flexor generado por la perturbación q que es opuesto al de las fibras internas e igual al
producido por la carga P, cuando el equilibrio es indiferente.
Si consideramos que la perturbación es siempre pequeña y de la misma magnitud, siempre
el momento flexor de la perturbación (Mq), que es equilibrante, será el mismo; pero si voy
aumentando la carga P llegará un momento en el cual el momento flexor desequilibrante
iguala al anterior y estoy entonces en la posición de equilibrio indiferente y la carga aplicada
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se llama carga crítica y no debe ser superada a riesgo de que se produzca el fenómeno de
pandeo. Para cargas mayores a la crítica la posición de equilibrio es inestable.
En el curso anterior habíamos tomado como hipótesis el Principio de Linealidad Estática
según el cual no se tenían en cuenta las deformaciones de la estructura y se mantenía sin
variar la posición inicial de las cargas sobre la estructura en la determinación de los
diagramas de esfuerzos característicos.
Al estudiar el pandeo, abandonamos esa hipótesis y consideramos las deformaciones, pero
usaremos en el desarrollo una expresión aproximada de la curvatura de la elástica. Esta
teoría se llama de segundo orden y solo me permite determinar la carga crítica sin avanzar
en la determinación de la situación de colapso de la pieza.
Esto último se logra si usamos la expresión exacta de la curvatura de la elástica de
deformación y la teoría se denomina de tercer orden.
( )
( )
( )
( )
3
2
2
1
y
c curvaturaexacta c curvatura aproximada y
y
= − = −
+
La aproximación indicada se puede realizar porque las deformaciones de la barra, por
hipótesis son muy pequeñas frente a las dimensiones de la barra y se desprecia el valor de
( )
2
y
frente a la unidad.
Euler fue el primero que analíticamente llegó a una expresión para la determinación de la
carga crítica en barras comprimidas.
Euler planteo las siguientes hipótesis:
• Se trabaja dentro del periodo elástico (responde a la ley de Hooke)
• La sección de la barra es constante.
• La carga P está perfectamente centrada en el baricentro de la sección normal de la
barra.
• El eje está perfectamente alineado.
• El material de la barra es continuo, homogéneo e isótropo.
• La carga de compresión se aplica estáticamente (llega a su valor final en un tiempo
relativamente largo frente al período propio de la barra. Período que depende de la relación
entre la masa y la constante elástica de la barra.)
• Despreciamos el peso propio de la barra.
• La perturbación transversal aplicada es un infinitésimo matemático.
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Ecuación diferencial general
Vamos a considerar una barra sometida a compresión, tal que su sustentación en el caso
más general, reaccione en el extremo inferior con una fuerza vertical P opuesta a la fuerza
P de compresión en el extremo superior, una fuerza horizontal Q
0
, y un par reactivo M
0.
Aplicamos la perturbación infinitésima y luego la eliminamos. En una sección normal de la
barra, situada a la ordenada X podemos escribir la ecuación que corresponde a la condición
de equilibrio indiferente.
La condición de carga de carga crítica impone que el momento flexor externo
(desequilibrante) sea opuesto, pero de igual valor absoluto al momento flexor de las fibras de
la barra (equilibrante).
El momento flexor de las fibras resulta igual al momento flexor de la perturbación cambiado
de signo, a este lo llamaremos momento flexor interno., resultando así
Expresando ambos momentos flexores
00
Pv Q x M EJv
+ + = −
Si dividimos por
EJ
, llamamos a
2
P
k
EJ
=
, escribimos la ecuación diferencial
2
00
0
QM
v k v x
EJ EJ
+ + + =
A esta ecuación diferencial la derivamos respecto de x dos veces
más
2
0
0
Q
v k v
EJ
+ + =
( )
4
2
0v k v
+=
Esta es una ecuación diferencial de cuarto orden homogénea a coeficientes
constantes, cuya solución general es:
cos
1 2 3 4
v c senkx c kx c x c= + + +
Derivando hasta el cuarto orden y utilizando las condiciones de borde que imponen las
condiciones de sustentación obtendremos las constantes.
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( )
( )
( )
( )
cos
1 2 3
2
cos
12
3
cos
12
4
4
cos
12
v kc kx kc senkx c
v k c senkx c kx
v k c kx c senkx
v k c senkx c kx
= − +
=− +
= − +
=+
Vamos a tomar 4 casos típicos de sustentación
Articulado-guiado, empotrado-libre, empotrado-articulado y empotrado-empotrado.
v: elástica
: giro
: Momento
: Corte
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Articulado-guiado o biarticulado.
Consideramos que la barra comprimida está sustentada por un apoyo fijo y un apoyo móvil,
tiene aplicada la carga P que será la crítica y se indica su elástica de deformación.
Las condiciones de borde nos informan que:
De la segunda se implica que
2
0C
=
y por la primera
4
0C
=
.
De la cuarta,
P
K
EJ
=
nunca puede ser nula, por no serlo
P
EJ
y tampoco lo es C
1
, si así
fuera también se anularía la constante
3
C
y la barra no tendría elástica. Ello me lleva a
considerar que para que la ( 4 ) se cumpla es necesario que el
senkl
= 0.
Ello obliga a
22
2
0
P n EJ
senkl kl n l P
EJ l
= → = = → =
para
nN
.
2 2 2
2 2 2
49
1 , 2 , 3
EJ EJ EJ
n P n P n P
l l l
= = = = = =
De todas las cargas calculadas para la condición crítica, la menor de todas es la que
debemos tomar como la carga que no debemos superar.
2
2
K
EJ
P
l
=
Y como
kl
=
, la ecuación ( 3 ) queda:
33
00C l C= → = →
11
22
ll
v C senk C
==
Siendo C
1
la flecha máxima de la elástica.
En esa ordenada el giro de la sección es nulo y analíticamente resulta así porque el coseno
de 90º es nulo, con lo cual el valor de C
1
resulta indeterminado.
1
cos
22
l
v C k
=
.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
24
2
2
1 2 3 4
2
12
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 cos
4 0 0 cos
v C C
v k C
v l C senkl C kl C l C
v l k C senkl C kl
= → = +
= → = −
= → = + + +
= → = − +
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Conclusión
En la barra biarticulada la carga crítica se alcanza para
2
2
K
EJ
P
l
=
e implica dividiendo por el
área de la sección
( )
2 2 2 2 2
22
22
K
EJ Ei E E
l F l
l
i
= = = =
. El factor
relaciona la longitud de
la barra con la geometría de la sección normal de la barra y nos da una idea de lo estilizado
de la estructura. A ese factor lo llamamos esbeltez y varía según sea el plano de flexión
considerado. Como los radios de giro son diferentes según el eje baricéntrico de la sección,
se tomará para el caso más comprometido el radio de giro mínimo que nos lleva a la
esbeltez máxima.
Sabemos que C
1
es la flecha máxima, pero queda indeterminada.
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Empotrado-Libre
En estas condiciones de sustentación, las condiciones de borde serán:
De la (4) reemplazando
v y v
tendremos
( )
3 2 2
1 2 1 2 3 3
cos cos 0k C kl C senkl C kl C senkl k C k C− + + − + = =
De la anterior se deduce que C
3
= 0, de la (2) que C
1
= 0 y de la (1) que C
2
= - C
4
Como C
2
no puede ser nula, pues C
4
también se anularía y entonces no tendríamos elástica,
llegamos a la conclusión que para satisfacer la ecuación (3) “cos (kl)” debe ser nulo y ello
implica que
( )
21
2
kl n
=+
para todo
0
nN
.
2 2 2
2 2 2
9
0 , 1 , 2
44
K
EJ EJ EJ
n P n P n P
l l l
= = = = = =
De todas las cargas calculadas para la condición crítica, la menor de todas es la que
debemos tomar como la carga crítica a no superar.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
24
13
12
2
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 cos
4 0 ( ) 0
v C C
v kC C
v l C senkl C kl
Q l v l k v l
= → = +
= → = +
= → = +
= = + =
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Y como
2
kl
=
la ecuación de la elástica será
( ) ( )
cos 1
22
2
v x c x v l C
l
= − → = −
Y como
( ) ( )
2
cos 0v l C kl
==
y
2
kl
=
, otra vez nos queda una elástica indeterminada.
Conclusión
En la barra empotrada la carga crítica se alcanza para
( )
2
2
2
K
EJ
P
l
=
e implica dividiendo por el
área de la sección
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
K
EJ Ei E E
l F l
l
i
= = = =
. Sabemos que (-C
2
) es la flecha
máxima pero sigue siendo indeterminada.
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Empotrado-articulado
En estas condiciones de sustentación, las condiciones de borde serán
De la (1)
24
CC=−
, de la (2)
31
C kC
=−
Si reemplazamos en (4) resulta
1 2 1 2
cos 0C senkl C kl C kl C+ − − =
(4’) y de la (3)
21
C C tgkl
=
De la (4’) tendremos
( ) ( ) ( )
1 2 1
1 cos 1 cosC senkl kl C kl C tgkl kl− = − = −
Resolviendo se llega a
( )
1
0C tgkl kl−=
ecuación que se satisface para C
1
= 0 ó para
( )
0tgkl kl−=
. En el primer caso implica que todas las constantes se anulan y no habría
elástica por lo tanto nos queda la ecuación
tgkl kl=
Esta ecuación se satisface para el valor de
4,4934kl =
, así será
22
2
22
2
20,19
2
2
KK
EJ EJ EJ
P se adopta P
ll
l
= = =
Si dividimos por el área
2
2
2
2
K
E
=
En cuanto a la elástica la flecha máxima se producirá a la abscisa
0,6xl=
pero también
quedará indeterminado su valor.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
24
13
12
1 2 3 4
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 cos
4 0 cos
v C C
v kC C
v l C senkl C kl
v l C senkl C kl C l C
= → = +
= → = +
= → = +
= = + + +
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Empotrado-empotrado
En estas condiciones de sustentación las condiciones de borde serán
De la (1)
24
CC=−
, de la (2)
31
C kC
=−
Reemplazando en la (3) y en la (4) se llega a
1 2 1
1 2 1 2
0 cos
0 cos
kC kl kC senkl C k
C senkl C kl C kl C
= − −
= + − −
Agrupando y despejando C
1
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
12
12
2
1
2
2
22
2
2
22
0 cos 1
0 cos 1
cos 1
cos 1 0
cos 1 2cos 0
2 1 cos 4
2 4 2 2
C kl C senkl a
C senkl kl C kl b
C kl
de b C y reemplazandoen a
senkl kl
C kl senkl senkl kl
C kl kl sen kl klsenkl
kl kl kl kl
C kl klsenkl C sen sen
= − −
= − + −
−
=−
−
− + − =
+ − + − =
− − = − +
0
=
Y finalmente
2
cos 0
2 2 2 2
kl kl kl kl
C sen sen
−=
Las posibilidades son tres:
Que C
2
=0 que implica que C
1
= C
3
=C
4
=
0 y no existiría elástica (caso absurdo)
Que
0
22
kl kl
sen n con n N
= → =
, en el caso de n= 1 resulta la carga crítica
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
24
13
1 2 3
1 2 3 4
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 cos
4 0 0 cos
v C C
v kC C
v l kC kl kC senkl C
v l C senkl C kl C l C
= → = +
= → = +
= → = − +
= → = + + +
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