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APUNTE
LÓGICA PROPOSICIONAL: VOCABULARIO Y SINTAXIS
Comencemos a familiarizarnos con el lenguaje formal de la lógica proposicional: qué es, cómo
se simboliza y cómo trabajaremos.
En Gamut, leemos que “la lógica proposicional es el sistema más simple y básico que existe. Sus
constantes lógicas son las conectivas y la negación; las primeras vinculan dos oraciones para
formar una nueva oración compuesta, y la última opera sobre una sola oración”. P.: 27).
Vayamos por partes.
Las conectivas conectan enunciados, permitiendo formar oraciones compuestas a partir de
conectar oraciones simples. Por ejemplo, de las siguientes proposiciones simples: “El sol es una
estrella” “el sol está compuesto por gases”, se pueden combinar y formar una proposición
completa por medio de conectivas, en este caso con la conectiva “y”: “el sol es una estrella y el
sol está compuesto por gases”.
¿Cómo determinamos el valor de verdad de esta proposición? El valor de verdad de las
proposiciones complejas, depende del valor de verdad de las proposiciones simples que
contiene “El sol es una estrella” “el sol está compuesto por gases”, y su validez de la conectiva,
en este caso “y”. Para comprender lo enunciado hasta aquí, debemos estudiar el vocabulario de
la lógica proposicional:
Variables lógicas (letras proposicionales): se representan con letras en minúscula p,q,r,s,t…..
Constantes lógicas (conectivas veritativo-funcionales): las constantes son las conectivas que
conectan enunciados. Son veritativo-funcionales, esto significa que el valor de verdad de un
enunciado o de oraciones complejas, depende del valor de verdad de las oraciones simples que
la componen y de la conectiva que une ambas oraciones simples. “De las conectivas que dan
lugar a oraciones cuyo valor de verdad depende sólo ¿del valor de verdad de las oraciones
conectadas se dice que son veritativo-funcionales”. (p.: 27)
En el siguiente cuadro se expone cada conectiva, su simbolización y las expresiones en nuestro
lenguaje:
Conectiva
Símbolo
Expresiones en castellano
Negación
¬
no; no es cierto que…; es falso que…; no es el caso que…; etc.
Conjunción
˄
y; pero; aunque; además
Disyunción
˅
o; o bien…o bien…; a menos que)
Condicional
→
si…entontes…; sólo si…; es condición necesaria…para…; es
condición suficiente…,para…)
Bicondicional
↔
si y sólo sí; siempre y cuando; en condición suficiente y
necesaria…)
Negación, ejemplo: La Plata no es una ciudad brasilera; Es falso que La Plata sea una ciudad
brasilera.
Conjunción, ejemplo: Mar del Plata es una ciudad costera y Mar de Plata es una ciudad de
Argentina.
Disyunción, ejemplo: Juan irá al cine este sábado o irá al teatro; O bien Juan irá al cine este
sábado o bien irá al teatro.
Condicional, ejemplo: Si La Plata es una ciudad de la provincia de Buenos Aires, entonces es una
ciudad de Argentina.
La expresión “si…,entonces…” expresa de manera estándar el condicional. La proposición
condiciona está conformada por dos partes: el antecedente y el consecuente:
Si La Plata es una ciudad de la provincia de Buenos Aires, entonces es una ciudad de Argentina.
Condición necesaria y suficiente: el antecedente de un condicional expresa las condiciones
suficientes para que suceda lo afirmado en el consecuente: basta que ocurra el hecho indicado
en el antecedente para que suceda el consecuente. El consecuente de un condicional expresa
las condiciones necesarias del antecedente; si ocurre lo indicado en el antecedente, entonces
necesariamente sucederá lo descripto en el consecuente.
Diferentes maneras de encontrarnos con el condicional:
φ
→ ψ
Antecedente → Consecuente
Condición Suficiente → Condición necesaria
Si Antecedente, entonces Consecuente.
Consecuente, si Antecedente
Sólo si Consecuente, Antecedente
Antecedente
, sólo si Consecuente
Es condición suficiente que
Antecedente, para Consecuente.
Que Antecedente es condición suficiente para Consecuente.
Para Consecuente, es condición suficiente que Antecedente.
Es condición necesaria que Consecuente, para Antecedente.
Que
Consecuente es condición necesaria para Antecedente.
Para Antecedente, es condición necesaria que Consecuente
Bicondicional, ejemplo: María es platense si y solo si vive en la ciudad de La Plata
Signos auxiliares: paréntesis ( )
ANTECEDENTE
CONSECUENTE
Observen los siguientes ejemplos de ejercitación:
1) Pedro vive en Escocia
Diccionario:
p: Pedro vive en Escocia
Traducción:
p
2) Pedro no vive en Escocia
Diccionario:
p: Pedro vive en Escocia
Traducción:
¬p
3) Pedro vive en Escocia y estudia ingeniera
Diccionario:
p: Pedro vive en Escocia
q: Pedro estudia ingeniería
Traducción:
p ˄ q
4) Pedro vive en Escocia y no estudia ingeniería
Diccionario:
p: Pedro vive en Escocia
q: Pedro estudia ingeniería
Traducción:
p ˄ ¬q
5) O bien Pedro no vive en Escocia o bien estudia ingeniería
p: Pedro vive en Escocia
q: Pedro estudia ingeniería
Traducción:
¬p ˅ q
6) No es cierto que Pedro viva en Escocia o estudie ingeniería
Diccionario:
p: Pedro vive en Escocia
q: Pedro estudia ingeniería
Traducción:
¬ (p ˅ q)
7) Si Pedro vive en Escocia, entonces estudia ingeniería
Diccionario:
p: Pedro vive en Escocia
q: Pedro estudia ingeniería
Traducción:
p → q
8) Pedro vive en Escocia, sólo si estudia ingeniería
Diccionario:
p: Pedro vive en Escocia
q: Pedro estudia ingeniería
Traducción:
p → q
9) Solo si baja el petróleo, el país tendrá gas
Diccionario:
p: baja el petróleo
q: el país tendrá gas
Traducción:
q → p
10) es condición suficiente que llegue el invierno, para que haga frío
Diccionario:
p: llegue el invierno
q: haga frío
Traducción:
p → q
11) Que haga llegue el verano es condición necesaria para ir de vacaciones
Diccionario:
p: llegue el verano
q: ir de vacaciones
Traducción:
q → p
12) Es condición necesaria y suficiente que sea invierno para que nieve
Diccionario:
p: es invierno
p: nieva
Traducción:
p ↔ q
13) Pedro es arquitecto o ingeniero, pero Juan es médico
Diccionario:
p: Pedro es arquitecto
q: Pedro es ingeniero
r: Juan es médico
Traducción:
(p ˅ q) ^ r
14) Si es inverno, entonces hace frio, y si es verano, entonces hace calor.
Diccionario:
p: es invierno
q: hace frio
r: es verano
t: hace calor
Traducción:
(p → q) ^ (r → t)
15) Si es inverno, entonces hace frio, pero no es cierto que si es verano, entonces hace calor.
Diccionario:
p: es invierno
q: hace frio
r: es verano
t: hace calor
Traducción:
(p → q) ^ ¬(r → t)
Observaciones:
Del ejemplo 2, 4, 5, 6, 15: se desprende en primer lugar que en el diccionario no debe figurar la
negación, ya que es una conectiva y en el diccionario sólo se indica qué letra corresponde a cuál
proposición, y en segundo lugar, la Negación se antepone a una proposición.
Ejemplo 2: ¬p la negación se antepone a una proposición atómica.
Ejemplo 4 y 5 la negación afecta a una proposición, en p ˄ ¬q afecta a “q” no a “p”, y en el
ejemplo ¬p ˅ q la negación afecta a “p”, no a “q”. En ambos casos, la conectiva principal es la
conjunción en el ejemplo 4 y la disyunción en el ejemplo 5, ya que tienen mayor alcance,
afectando a ambas proposiciones “p” “q”.
Ejemplo 6 ¬ (p ˅ q), aquí el alcance de la negación es mayor, ya que afecta a la disyunción p ˅ p,
llamada oración molecular. Por consiguiente, la negación es la conectiva principal.
Ejemplo 15 (p → q) ^ ¬(r → t): la conectiva principal es la conjunción, une dos oraciones
moleculares, y la negación afecta a la conectiva de una de ellas.
Diferencia entre enunciados atómicos y moleculares: en terminología lógica los enunciados
atómicos son aquellos que no tienen conectivas; y los enunciados moleculares son aquellos que
tienen al menos una conectiva.
Diferencias de alance de las conectivas:
La negación es unaria, su alcance es a proposiciones atómicas o a conectivas.
La conjunción, disyunción, condicional y bicondicional son conectivas binarias, unen dos
proposiciones formando oraciones moleculares, o unen oraciones moleculares.
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