UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL ANALISIS MATEMATICO I
FACULTAD REGIONAL CORDOBA 1C1 – Prof. Quintana, Julio J.
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R>Q>Z>N
El conjunto de los números reales se representa en una recta llamada recta real o espacio
unidimensional; la geometría define una correspondencia entre puntos de una recta y
números reales, es decir, a cada número real le corresponde un punto y a cada punto un
único número real (correspondencia biunívoca).
El conjunto de los números reales es un conjunto infinito.
-∞ y +∞ son símbolos.
Cualquier número real por mayor que este sea no puede ser mayor que +∞; y por menor que
este sea no puede ser menor que -∞.
CONJUNTO DE PUNTOS
INTERVALOS Y ENTORNOS
INTERVALO
Conjunto de puntos o números reales a<b
Dados dos números reales a y b. Se llama intervalo de a hasta b al conjunto de los números
reales comprendidos entre ambos.
| | |
-∞ 0 a b ∞
a= extremo inferior b= extremo superior
Reales "R"
Racionales "Q"
Enteros "Z"
Naturales "N"
Negativos
CeroFraccionarios
Irracionales:
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(b-a)= amplitud del intervalo
Se debe distinguir entre los intervalos que incluyen los extremos de los que los excluyen.
Intervalos finitos
1) Intervalo cerrado: incluyen los puntos [a; b]
| [ ]
-∞ 0 a b ∞
[a; b] = {x/x є R Λ a ≤ x ≤ b}
2) Intervalo abierto: no incluye los extremos (a; b) o ]a; b[
| (o o)
-∞ 0 a b ∞
(a; b) = {x/x є R Λ a < x < b}
3) Intervalo semi abierto a izquierda o semi cerrado a derecha (a; b]
| (o ]
-∞ 0 a b ∞
(a; b] = {x/x є R Λ a < x ≤ b}
4) Intervalo semi cerrado a izquierda o semi abierto a derecha [a; b)
| [ o)
-∞ 0 a b ∞
[a; b) = {x/x є R Λ a ≤ x < b}
Intervalos infinitos
a) [a; ∞) = {x/x є R Λ x ≥ a}
b) (a; ∞) = {x/x є R Λ x > a}
c) (-∞;a] = {x/x є R Λ x ≤ a}
d) (-∞; a) = {x/x є R Λ x < a}
e) (-∞; ∞) = {x/x є R} = R
ENTORNOS
ENTORNO DE UN PUNTO
Es todo intervalo abierto que contiene ese punto.
Sea “a” un punto de la recta real y δ un número positivo, el entorno con centro en a y radio δ
es el intervalo abierto (a-δ; a+δ) que se expresa E
(a)
o E
(a; δ)
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|x-a|
(o | | o)
a x
| | |
δ δ
| |
2δ
Amplitud del entorno = a + δ – (a-δ) = a + δ – a + δ = 2δ
E
(a; δ)
= {x/x є R Λ a – δ < x < a + δ}
E
(a; δ)
= {x/x є R Λ |x – a| < δ}
Se llama semi entorno a la izquierda de a al intervalo (a-δ; a), el semi entorno a la derecha
es el intervalo (a; a+δ)
ENTORNO REDUCIDO
No incluye el punto a y se expresa E´
(a; δ)
o E´
(a)
E´
(a; δ)
= {x/x є R Λ x ≠ a → a – δ < x < a + δ}
E´
(a; δ)
= {x/x є R Λ 0 < |x – a| < δ}
(o (o) o)
a
| | |
δ δ
| |
2δ
0 < |x – a| es debido a que x ≠ a
PUNTO DE ACUMULACIÓN
Sea “c” un conjunto de número reales y “a” un número real que puede o no pertenecer al
conjunto “c”.
El punto “a” es un punto de acumulación del conjunto “c”, si y solo si, por definición:
TODO ENTORNO REDUCIDO DE “a” CONTIENE POR LO MENOS UN PUNTO DEL
CONJUNTO “c”
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“c”
(o (o) o)
a
| | |
δ δ
| |
2δ
Para entender mejor, recordemos la llave de los números reales; vimos que hay continuidad.
Ejemplo 1: c=[-2;2]
Todos los puntos de este conjunto (intervalo cerrado) son puntos de acumulación del
mismo y todos ellos pertenecen al mismo.
Ejemplo 2: c=(4;7]
Todos los puntos de este conjunto (intervalo semi abierto) son puntos de
acumulación del mismo; inclusive 4 que no pertenece al conjunto.
PUNTO AISLADO
Sea “c” un conjunto de números reales y “a” un número real que pertenece al conjunto “c”.
El punto “a” es un punto aislado del conjunto “c” si y solo si, por definición: Existe algún
entorno reducido de “a” que no tiene ningún punto de “c”.
[“a” es un punto aislado si pertenece a “c” y no es punto de acumulación]
Ejemplo: el conjunto de los números naturales.
CONJUNTOS ACOTADOS
COTAS Y EXTREMOS
1) (o o)
7 9 Cotas superiores
Cotas inferiores
2) [ ]
6 8 Cotas superiores
Cotas inferiores
Todos los números mayores que los del conjunto o el mayor del conjunto son cotas
superiores (ejemplo (1) →9 y ejemplo (2) →8) y tienen infinitas cotas superiores que son los
números reales que siguen luego de 9 y de 8, es decir todo lo que sigue a la derecha.
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Todos los números menores que los del conjunto o el menor del conjunto son cotas
inferiores (ejemplo (1) →7 y ejemplo (2) →6) y tienen infinitas cotas inferiores que son los
números reales que siguen luego de 7 y de 6 en forma decreciente, es decir todo lo que
sigue a la izquierda.
La menor de las cotas superiores se denomina extremo superior o supremo (ejemplo 9 y 8)
La mayor de las cotas inferiores se denomina extremo inferior o ínfimo (ejemplo 6 y 7)
Si el extremo superior o supremo pertenece al conjunto es el máximo absoluto del mismo
(ejemplo 8)
Si no pertenece al conjunto es el límite superior (ejemplo 9)
Porque no se puede decir 8,9; 8,999; etcétera. En matemáticas hay que ser precisos.
Si el extremo inferior pertenece al conjunto es el mínimo absoluto de dicho conjunto (ejemplo
6)
Si no pertenece al conjunto es el límite inferior (ejemplo 7)
Un conjunto “c” de números reales; está acotado, cuando tiene cotas superior e inferior y
ambas cotas finitas (ejemplo c= [2;∞))→NO es acotado, pues tiene una sola cota.
FORMAS INDETERMINADAS
Carecen de sentido matemático, son siete:
LIMITES
Límite de Funciones
y y=f(x)
L
0 a x
CONCEPTO: Sea la función y=f(x), y “a” un valor de la variable “x”, la f(x) tiende o converge
a “L” cuando la variable “x” se acerca indefinidamente a un valor “a” sin considerar el valor
x=a (es el fundamento del concepto de límite).
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Entonces “L” es el límite de la función f(x) si y solo si |f(x)-L| el valor absoluto de la diferencia
de la función menos su límite, puede hacerse tan pequeño como se quiera sin alcanzar el
valor x=a y que tampoco f(x) alcance el valor “L”
Limite finito
El punto “a” puede pertenecer al dominio de la función o no (EXISTENCIA)
f(x) f: R → R / f(x) = 2x
2
f(1)=2
Existe
0 1
g(x) g: R → R / g(x) = 2x; si x ≠ 1
-1; si x = 1
2 o
0 1
-1
h(x) h: R → {1} → R / h(x) =
2 o
h(1) = NO EXISTE
0 1
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Volvamos estas funciones en elementos del dominio próximos a 1.
f (0,999) = g (0,999) = h (0,999) = 1,998
f (1,001) = g (1,001) = h (1,001) = 2,002
Tomamos valores próximos a 1, entonces f, g, h toman valores próximos a 2.
Destacamos que no interesa qué pasa con los valores de las funciones cuando toman el
valor exacto 1, es decir f (1) = 2; g (1) = -1; h (1) = no existe. La función puede existir en el
punto; arriba o abajo o no existir.
Si no que el límite de las funciones para “x → 1” es 2, “x” que tiende a 1 es 2, eso va a ser el
límite.
(El límite nos permite determinar el valor de la función como si esta fuera continua en lugar
de discontinua). Por ejemplo:
4 o
g(x) =
“NO EXISTE”
2
0 1 2
Las dos funciones son iguales V x ≠ 2 (para todo x distinto de 2)
y
4
f(x) = x+2
2
0 1 2 x
La función es discontinua para x = 2; tomamos otra función igual a la primera aplicamos
límite y determinamos el valor = 4. Es el límite no la existencia (límite o verdadero valor)
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Definición de límite
Sea la f(x); “a” un punto de acumulación del dominio de la función y “L” que pertenece a los
reales (L є R)
La función tiende a “L” cuando x tiende a “a” (x→a)
f(x) y
-
ξ L
-
0 | a |
δ
Interpretación Gráfica de la Definición de Límite
Dada una franja horizontal de ancho 2ξ, definida en el entorno con centro en L y radio ξ (E
(L; ξ)
)
por angosta que fuera, es posible encontrar una franja vertical definida por un entorno
reducido con centro en “a” y radio “δ” tal que: todo trazo del gráfico de función contenida en la
franja vertical, debe estar íntegramente contenida en la franja horizontal, excepto el punto
p=(a; f(a)). De acuerdo a la definición de límite, este punto “p” puede no existir y si existiera,
puede quedar o no dentro de la franja horizontal.
Se observa en el gráfico que una vez fijado el ξ>0, un δ válido para definir el ancho de la
franja vertical es el δ=min {δ
1
; δ
2
} y que todo número positivo, menor que este δ mínimo es
también válido.
Además cualquiera de los δ válidos para el ξ fijado son válidos también para todo número real
mayor que ξ, aunque nada se puede afirmar respecto de su validez para números reales
menores que ξ.
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f(x) y=f(x)
E
(L; ξ)
L o 2ξ
f(a) p
0
a-δ a a+δ x
| |
E`
(a; δ)
| | |
δ
1
δ
2
Limites laterales
Sea y=f(x), y “a” un punto de acumulación del dominio de la función, como “a” es un número
real o punto de una recta o punto del eje de abscisas, la variable “x” puede acercarse o
tender al punto “a”, tanto por la izquierda como por la derecha.
Limite lateral izquierdo (Li)
x→
indica que x se aproxima al punto “a” por valores menores que “a” en el semi entorno
(a-δ; a)
Limite lateral izquierdo (Li)
x→
indica que x se aproxima al punto “a” por valores mayores que “a” en el semi entorno
(a; a+δ)
Habiendo definido los límites laterales L
i
y L
d
.
Para que el límite de una función y=f(x) exista, es necesario que existan los límites laterales
a la izquierda y a la derecha y que ambos sean iguales.
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Algebra de límites
1) El límite de una función constante y = c, es la misma constante.
2) El límite de una suma de funciones, es igual a la suma de sus límites.
3) El límite de un producto de funciones, es igual al producto de sus límites.
4) El límite de un cociente de funciones, es igual al cociente de sus límites siempre que
el límite del denominador sea distinto de cero.
5) El límite del logaritmo de una función, es igual al logaritmo del límite de dicha función.
6) El límite de una potencia, es igual a la potencia de su límite.
Si la base y el exponente son funciones, tendremos:
Extensión del concepto de límite
Límite Infinito
Cuando una función tiene límite infinito para la variable que tiende a un punto de
acumulación “a”; en cuyo caso interesa el valor de ξ tan grande como se quiera.
y AV ∞
f(x)
ξ
x (a+δ)
o o o
-x (a-δ) x x
-ξ
f(x)
-y -∞
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Veremos ahora una generalización del concepto de límite, expresado en los siguientes dos casos:
1) Límite finito para (x→±∞)
2) Limite infinito para (x→±∞)
1) LÍMITE FINITO, en un conjunto no acotado, para (x→±∞)
y
L+ξ
f(x)
Asíntota Horizontal
L
f(x) y=f(x)
L-ξ
-x -δ δ x
Por ejemplo:
para x→∞
Notamos que cuando la variable x tiende a mas, menos infinito la curva de la función tiende a
una recta llamada asíntota horizontal, de ecuación y=L
De acuerdo al gráfico se tiene
Por ejemplo
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Observamos que
2) LÍMITE INFINITO, para x que tiende a más, menos infinito, es un conjunto no
acotado.
a)
b)
c)
d)
a) ∞
__
__ f(x)
ξ ___
| | |
0 δ ∞
b)
| | |
0 δ ∞
__
__
ξ ___
∞
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c) ∞
__
__
ξ ___
| | |
-∞ δ 0
d) -- | | |
-∞ -δ 0
__
__ ξ
___
-∞
1) Teorema de las desigualdades
Sean las funciones f(x) y g(x) definidas en un mismo conjunto y “a” un punto de
acumulación del mismo conjunto
y
g(a)
L f(x)
M o g(x)
0 a
E´
(a)
Observando L>M → E´
(a)
/ se verifica que f(x) > g(x) x E´
(a)
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2) Teorema recíproco parcial del teorema anterior (enunciado)
Sean las funciones f(x) y g(x) definidas en un mismo conjunto y “a” un punto de
acumulación del mismo conjunto.
Si E´
(a)
/ se verifica que f(x) > g(x) x E´
(a)
→
Este teorema muestra que las desigualdades no cambian de sentido al pasar a límite
pero no debe excluirse la posibilidad de la igualdad de los límites.
Límites Notables
Son aquellos que se resuelven en forma particular
I.
: Consideramos una circunferencia de radio unitario.
Todo arco menor (π/2) es mayor que su seno y menor que su tangente.
Entonces
y
1 C
B
0 A D1 x
Invirtiendo la desigualdad,
Se tiene sen x < x < tg x
Por lo tanto cambia el sentido de las desigualdades.
Multiplicando por sen x, resulta:
Tomamos límite para x que tiende a cero y aplicamos el teorema recíproco
sen x
tg x
x
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Nos queda
Finalmente
II.
Por ejemplo:
III. NÚMERO “e”
Este límite indeterminado tiene como verdadero valor o límite, el
número irracional 2,718281 que se denomina número “e”. Entonces
Otra forma :
; cuando x→∞, t→0,
nos queda
Por ejemplo:
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