Algebra Lineal
*
Jos´e de Jes´us
´
Angel
´
Angel
Working draft: M´exico, D.F., a 17 de noviembre de 2010.
Un resumen de los principales temas tratados en un curso de
´
Algebra
Lineal.
Contenido
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 3
1.1. Conceptos b´asicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. M´etodo de eliminaci´on de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. M´etodo de eliminaci´on de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4. Sistemas Homog´eneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Soluciones de SEL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Teor´ıa matricial y determinantes. 5
2.1. Matrices, sus operaciones y propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1. Suma de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2. Multiplicaci´on por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3. Multiplicaci´on de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Matrices especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1. Matriz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2. Matriz Transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.3. Matriz Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Matriz inversa y su determinaci´on mediante operaciones Elementales. . . 8
2.4. Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales por matriz inversa. . . . . . . 9
2.5. Determinantes y sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
*
Notas de Curso
1
Contenido 2
2.6. C´alculo de la matriz inversa por medio de determinantes. . . . . . . . . . 11
2.7. Regla de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Espacios vectoriales. 12
3.1. Definici´on de espacio vectorial y ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2. Espacio R
n
y representaci´on gr´afica para n = 2 y 3. . . . . . . . . . . . . 13
3.3. Subespacios vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4. Combinaci´on lineal y espacio generado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5. Independencia lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.6. Bases y dimensi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. Producto interno. 14
4.1. Definici´on, propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2. Ortogonalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3. Norma y sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4. Bases ortogonales y ortonormales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.5. Proyecciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5. Transformaciones lineales. 17
5.1. Definici´on, propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2. Recorrido y n´ucleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3. Representaci´on matricial de una transformaci´on lineal. . . . . . . . . . . . 18
5.4. Vector de coordenadas y cambio de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.5. Transformaciones lineales inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.6. Vectores y valores propios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.7. Diagonalizaci´on de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 3
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales.
1.1. Conceptos b´asicos.
Un sistema de m ecuaciones con n inc´ognitas es el siguiente arreglo:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
+ · · · + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ a
23
x
3
+ · · · + a
2n
x
n
= b
2
a
31
x
1
+ a
32
x
2
+ a
33
x
3
+ · · · + a
3n
x
n
= b
3
.
.
.
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ a
m3
x
3
+ · · · + a
mn
x
n
= b
m
Donde las constantes a
11
, .., a
1n
, a
12
, ...a
2n
, .., a
m1
, .., a
mn
, b
1
, .., b
m
∈ R, y las inc´ognitas
x
1
, .., x
n
representan tambi´en n´umeros reales generalmente.
Definici´on 1 Una soluci´on de un sistema de ecuaciones, es un conjunto de valores que
toman las inc´ognitas x
1
, .., x
n
y dan como re sul tad o todas las igualdades del sistema de
ecuaciones verdaderas.
Operaciones elementales sobre los sistemas de ecuaciones:
1. I ntercambio de dos ecuaciones.
2. Multiplic ar una e cuaci´on por una constante diferente de cero.
3. Sumar un m´ultiplo de una ecuaci´on a otra ecuaci´on.
Proposici´on 1 Un sistema de ecuaciones B, que se obtiene de otro A, por medio de
operaciones elementales tienen el mismo conjunto de soluciones.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 4
1.2. M´etodo de eliminaci´on de Gauss.
M´etodo 1 El m´etodo de Gauss consis te en transformar un sistema de ecua-
ciones A, a otro B, por medio de operaciones elementales, de tal forma que B
queda en una forma triangular y por lo tanto puede ser resuelto con despejes
sucesivos simples.
a
′
11
x
1
+ a
′
12
x
2
+ a
′
13
x
3
+ · · · + a
′
1n
x
n
= b
′
1
a
′
22
x
2
+ a
′
23
x
3
+ · · · + a
′
2n
x
n
= b
′
2
a
′
33
x
3
+ · · · + a
′
3n
x
n
= b
′
3
.
.
.
a
′
mn
x
m
= b
′
m
1.3. M´etodo de eliminaci´on de Gauss-Jordan.
M´etodo 2 El m´etodo de Gauss-Jordan consiste en transformar un sistema de
ecuaciones A, a otro B, por medio de operaciones elementales, de tal forma
que B queda en la siguiente forma diagonal y por lo tanto la soluci´on q ueda de
manera directa.
a
′
11
x
1
= b
′
1
a
′
22
x
2
= b
′
2
a
′
33
x
3
= b
′
3
.
.
.
a
′
mn
x
m
= b
′
m
1.4. Sistemas Homog´eneos.
Son de especial inter´es los sistemas de ecuaciones donde b
1
= · · · = b
n
= 0. A estos
sistemas les llamaremos sistemas homog´eneos.
2. Teor´ıa matricial y determinantes. 5
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
+ · · · + a
1n
x
n
= 0
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ a
23
x
3
+ · · · + a
2n
x
n
= 0
a
31
x
1
+ a
32
x
2
+ a
33
x
3
+ · · · + a
3n
x
n
= 0
.
.
.
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ a
m3
x
3
+ · · · + a
mn
x
n
= 0
Los sistemas homog´eneos siempre tienen al menos una soluci´on, la soluci´on trivial.
1.5. Soluciones de SEL.
Los sistemas de ecuaciones lineales, siempre o tienen una ´unica soluci´on, o tienen una
infinidad de soluciones (caso de consistencia), o no tienen soluci´on (caso de inconsisten-
cia).
Despu´es de aplicar la reducci´on de Gauss:
1. Si hay el mismo n´umero de ec uaciones que de variables, entonces el sistema tiene
una ´unica soluci´on.
2. Si hay m´as variables que ecuaciones, entonces hay una infinidad de soluciones.
3. Si obtenemos una contradicci´on, entonces no hay soluci´on.
2. Teor´ıa matricial y determinantes.
Definici´on 2 Una matriz es una funci´on A de [1, .., n] × [1, .., m], al conjunto de los
n´umeros reales R.
Una matriz A se representa con todos sus valores de manera usual como:
A =
a
11
a
12
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
· · · a
mn
2. Teor´ıa matricial y determinantes. 6
2.1. Matrices, sus operaciones y propiedades.
2.1.1. Suma de Matrices
La suma de matrices A = (a
ij
) y B = (b
ij
) con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, esta definida
como:
A + B = (c
ij
), c
ij
= a
ij
+ b
ij
, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
La suma de matrices esta definida para dos matrices del mismo orden, es decir podemos
sumar una matriz n × m por otra n × m.
2.1.2. Multiplicaci´on por un escalar
La multiplicaci´on de una matriz A = (a
ij
) por un escalar r con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
esta definida como:
rA = (c
ij
), c
ij
= ra
ij
, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
2.1.3. Multiplicaci´on de Matrices
La multiplicaci´on de matrices A = (a
ij
) m × p por B = (b
ij
) p × n.
A =
a
11
a
12
· · · a
1p
a
21
a
22
· · · a
2p
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
· · · a
mp
B =
a
11
a
12
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
p1
a
p2
· · · a
pn
Tiene como resultado una matriz C = (c
ij
) m × n , y
esta definida como:
AB = (c
ij
), c
ij
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+ a
i3
b
3j
+ · · · + a
ip
+ b
pj
, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
c
ij
=
p
X
k=i
(a
ik
b
kj
), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
2. Teor´ıa matricial y determinantes. 7
Nota 1 El producto de matrices no es conmutativo, y solo esta definido para matrices
n × m por otra matriz m × k y da como resultado una matriz n × k.
2.2. Matrices especiales.
2.2.1. Matriz Cuadrada
Una matriz es cuadrada si tiene el mismo n´umero de filas que de columnas, A = (a
ij
)
con 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n,
definida como:
A =
a
11
a
12
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
· · · a
nn
2.2.2. Matriz Transpuesta
La matriz transpuesta de A = (a
ij
) 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, es la matriz A
T
= (a
ji
),
cambia solo las filas por columnas y las columnas por filas.
Si,
A =
a
11
a
12
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
· · · a
mn
Entonces:
A
T
=
a
11
a
21
· · · a
n1
a
12
a
22
· · · a
n2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1m
a
2m
· · · a
nm
2.2.3. Matriz Identidad
Una matriz cuadrada I = (a
ij
), se llama identidad si a
ij
= 1 para i = j, y a
ij
= 0
para i 6= j.
2. Teor´ıa matricial y determinantes. 8
A =
1 0 0 · · · 0
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 · · · 1
2.3. Matriz inversa y su determinaci´on mediante operaciones E lemen-
tales.
Una matriz cuadrada A = (a
ij
), se ll ama invertible (no singular), si existe otra matriz
(llamada inversa A
−1
) tal que A · A
−1
= I.
Algunas propiedades:
1. (A
−1
)
−1
= A.
2. (AB)
−1
= B
−1
A
−1
.
3. (A
T
)
−1
= (A
−1
)
T
.
M´etodo para obtener la matriz inversa de A:
1. Formar la matriz (A|I) que significa adjuntar la matriz identidad a A.
2. Apli car operaciones elementales a las filas de A, hasta obtener la matriz identidad,
(las mismas operaciones elementales hay que realizarlas a las filas de I adjunta.)
3. E ntonces la matriz resultante en lugar de I adjunta es la inversa.
Nota 2 Es muy importante saber antes si la matriz inversa existe.
2. Teor´ıa matricial y determinantes. 9
2.4. Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales por matriz inversa.
Obs´ervese que un sistema de ecuaciones homog´eneo puede ser puesto en t´erminos de
matrices.
Si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
+ · · · + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ a
23
x
3
+ · · · + a
2n
x
n
= b
2
a
31
x
1
+ a
32
x
2
+ a
33
x
3
+ · · · + a
3n
x
n
= b
3
.
.
.
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ a
m3
x
3
+ · · · + a
mn
x
n
= b
m
Entonces puede ser escrito de manera matricial como:
a
11
a
12
a
13
· · · a
1n
a
21
a
22
a
23
· · · a
2n
a
31
a
32
a
33
· · · a
3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
a
m3
· · · a
mn
x
1
x
2
x
3
.
.
.
x
n
=
b
1
b
2
b
3
.
.
.
b
m
Es decir:
Ax = b
Donde x =
x
1
x
2
x
3
.
.
.
x
n
, y b =
b
1
b
2
b
3
.
.
.
b
m
si la matriz A tiene inversa, entonces:
x = A
−1
b.
2. Teor´ıa matricial y determinantes. 10
2.5. Determinantes y sus propiedades.
Uno de los elementos m´as importantes de las matrices es el determinante. El determi-
nate de una matriz es una funci´on definida del conjunto de matrices cuadradas (n × n)
M
n
a los n´umeros reales R.
La definici´on de determinate es:
det(A) =
P
σ∈S
n
sig(σ)a
1σ(1)
a
2σ(2)
· · · a
nσ(n)
Donde S
n
es el conjunto de todas las permutaciones del conjunto {1, .., n}, sig(σ) es
el signo de la permutaci´on, y σ(i) es la imagen de i bajo sigma.
La f´ormula anterior nos dice que la definici´on de determinante es muy complicada ya
que el n´umero de t´erminos crece de manera como crece el factorial de n. Por ejemplo el
determinate de una matriz 4 × 4 tendr´a 4! = 24 t´erminos.
Propiedades del determinante.
1. det(A) = det(A
T
).
2. Si a una matriz A se cambian dos filas o dos columnas a (B), entonces det(B) =
det(A).
3. Si dos filas o dos columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0.
4. Si una fila o columna de A son ceros, entonces det(A) = 0.
5. Si a una matriz A se multiplica por una constante(B = cA), entonces det(B) =
c · det(A).
6. Si a una matriz B se obtiene de sumar un m´ultiplo una fila o columna de una
matriz A, det(B) = det(A).
7. E l determinante de una matriz A triangular es det(A) =
Q
n
i=1
a
ii
, el producto de
la diagonal.
8. det(AB) = det(A)det(B).
2. Teor´ıa matricial y determinantes. 11
9. A tiene inversa, es equivalente a det(A) 6= 0, y es equivalente a que el sistema
Ax = 0 tiene soluci´on ´unica .
10. det(A
−1
) =
1
det(A)
.
2.6. C´alculo de la matriz inversa por medio de determinantes.
Sea A una matriz cuadrada,
A =
a
11
a
12
a
13
· · · a
1n
a
21
a
22
a
23
· · · a
2n
a
31
a
32
a
33
· · · a
3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
n3
· · · a
nn
entonces definimos a la matriz adjunta adj(A) como:
adj(A) =
A
11
A
12
A
13
· · · A
1n
A
21
A
22
A
23
· · · A
2n
A
31
A
32
A
33
· · · A
3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
n1
A
n2
A
n3
· · · A
nn
donde
A
ij
= (−1)
i+j
det(M
ij
)
y M
ij
es el menor del elemento a
ij
, que es la matriz (n − 1) × (n − 1) q ue se obtiene
quitando de A la fila i-´esima y la columna j-´esima.
Entonces:
A
−1
=
1
det(A)
(adj(A)).
3. Espacios vectoriales. 12
2.7. Regla de Cramer.
Dado un sistema de ecuaciones lineales:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
+ · · · + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ a
23
x
3
+ · · · + a
2n
x
n
= b
2
a
31
x
1
+ a
32
x
2
+ a
33
x
3
+ · · · + a
3n
x
n
= b
3
.
.
.
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ a
m3
x
3
+ · · · + a
mn
x
n
= b
m
Entonces la regla de Cramer dice que:
x
i
=
det(A
i
)
det(A)
,
donde A
i
es la matriz que reemplaza a la columna i-´esima de A por los t´erminos
constantes.
Nota 3 El sistema de ecua cio nes lineales tiene soluci´on ´unica si y s´olo si el determinate
es diferente de cero.
3. Espacios vectoriales.
3.1. Definici´on de espacio vectorial y ejemplos.
Sea un campo K, por ejemplo los n´umeros racionales Q, los n´umeros reales R, o los
n´umeros complejos C.
Entonces:
Definici´on 3 Sea K un campo, un conjunto no vac´ıo V , se llama espacio vectorial,
donde los elementos de V se llaman vectores, y los de K escalares, si V tiene definida
una suma, con (V, +) es un grupo abeliano.
Adem´as se define un producto escalar kv ∈ V , donde k ∈ K, y v ∈ V , y se cumplen las
siguientes reglas:
3. Espacios vectoriales. 13
1. Para todo k ∈ K y todo u, v ∈ V , k(u + v) = ku + kv.
2. Para todo a, b ∈ K y todo u ∈ V , (a + b)(u) = au + bu.
3. Para todo a, b ∈ K y todo u ∈ V , (ab)(u) = a(bu).
4. Para el escalar 1 ∈ K, y todo u ∈ V , 1u = u.
Ejemplos:
1. K = R, V = R.
2. K = R, V = R
2
.
3. K = R, V = R
3
.
4. K = R, V = R
n
.
5. K = R, V = M
nm
.
3.2. Espacio R
n
y representaci´on gr´afica para n = 2 y 3.
Uno de los espacios vectoriales m´as usado es R
n
sobre los reales R.
Si n = 2, entonces tenemos al plano, si n = 3 tenemos al espacio.
3.3. Subespacios vectoriales.
Un conjunto W ⊂ V es un subespacio vectorial, si es espacio vectorial por si mismo.
Un conjunto no vac´ıo W es subespacio si:
1. W no es vac´ıo.
2. Si u, v ∈ W , entonces u + v ∈ W.
3. Si u ∈ W , y k ∈ K, entonces ku ∈ W.
4. Producto interno. 14
3.4. Combinaci´on lineal y espacio generado.
Definici´on 4 Sea V un espacio vectorial sobre K, y sean v
1
, v
2
, ..., v
n
∈ V , entonces
una combinaci´on lineal de estos vectores con los escalares a
1
, ..., a
n
es: a
1
v
1
+ a
2
v
2
+
· · · + a
n
v
n
∈ V.
Definici´on 5 Sea S un subconjunto no vac´ıo de V , entonces el subespacio vectorial de
todas las combinaciones lineales de vectores en S, es el espacio vectorial generado por S.
3.5. Independencia lineal.
Definici´on 6 Sea V un espacio vectorial, entonces se dice los los vectores
v
1
, v
2
, ..., v
n
∈ V , son linealmente dependientes sobre K si existen escalare s
a
1
, a
2
, ..., a
n
∈ K no todos cero, tal que: a
1
v
1
+ a
2
v
2
+ · · · a
n
v
n
= 0 En caso
contrario, los vectores se dicen linealmente independientes.
3.6. Bases y dimensi´on.
Definici´on 7 Un espacio vectorial V , tiene dimensi´on n si existen vectores
linealmente independientes e
1
, e
2
, ..., e
n
∈ V , tal es que generan a V , de donde
al conjunto {e
1
, e
2
, ..., e
n
} se le llama una base de V .
4. Producto interno.
4.1. Definici´on, propiedades.
Sea V un espacio vectorial sobre un campo K (R, C). Una funci´on hu, vi 7→ k ∈ K. Se
llama producto interno si cumple las siguientes propiedades:
4. Producto interno. 15
1. hau
1
+ bu
2
, vi = ahu
1
, vi + bhu
2
, vi.
2. hu, vi =
hv, ui, (en caso de que K = C.)
3. hu, u i ≥ 0, y hu, ui = 0 si y s´olo si u = 0.
Un espacio vectorial que tiene definido un producto interno, se llama “Espacio con
producto interno”.
Definici´on 8 Sea V = R
n
un espacio vectorial, y u, v ∈ R
n
definimos el pro-
ducto interno usual como hu, vi = a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ · · · a
n
b
n
.
Desigualdad de Cauchy-Schwarz:
|hu, vi| ≤k u kk v k .
4.2. Ortogonalidad.
Definici´on 9 Sea V = R
n
un espacio vecto rial, y u, v ∈ R
n
, se dice que los
vectores u, v son ortogonales si hu, vi = 0.
4.3. Norma y sus propiedades.
Definici´on 10 Sea V = R
n
un espaci o vectorial, y u ∈ R
n
definimos la norma de u
como:
k u k=
p
hu, ui.
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