Volver a Algebra A 62
Álgebra A
Universidad de Buenos Aires
Rector Alberto Edgardo Barbieri
Vicerrector Juan Pablo Más Vélez
Secretaría de Asuntos Académicos María Catalina Nosiglia
Subsecretaría de Innovación y
Calidad Académica Marilina Lipsman
PROGRAMA UBA XXI
Coordinadora General Claudia Lombardo
Vicecoordinadora Laura Basabe
Coordinación Desarrollo Pedagógico María Alejandra Codazzi
Camila Rodríguez
Marianela Renzi
Coordinación Producción Transmedia Liliana Castillo
Griselda Raffo
Ariel F. Guglielmo
Eudeba
Universidad de Buenos Aires
Primera edición: marzo de 2020
© 2020
Editorial Universitaria de Buenos Aires
Sociedad de Economía Mixta
Av. Rivadavia 1571/73 (1033) Ciudad de Buenos Aires
Tel: 4383-8025 / Fax: 4383-2202
www.eudeba.com.ar
Álgebra A / coordinación general de Claudia Lombardo.- 1a ed.-
Ciudad Autónoma de Buenos Aires : Eudeba, 2020.
Libro digital, PDF - (UBA XXI)
Archivo Digital: descarga
ISBN 978-950-23-2970-3
1. Álgebra. 2. Universidades Públicas. I. Lombardo, Claudia, coord.
CDD 512
A mi mujer Melina y mis hijos Agustín y Santiago, con la promesa que nunca estaré en el lado equivocado otra vez.
Nicolás.
A Ale y Tiara, por animarme a volar y cumplir mis sueños. A Analía por alentarme a asumir este proyecto.
Rosa María.
A todas las personas que me crucé y me sigo cruzando en este camino de aprender y enseñar matemáticas.
Ximena.
A Pasio por su ayuda con el lenguaje. A mis viejos y hermanos por todo lo demás.
Gerardo.
9
Introducción
Este libro es, probablemente, muy diferente a otros libros o apuntes de matemática que hayan leído: aquí encontrarán
un importante caudal de explicaciones de conceptos y ejemplos básicos incluidos para ayudarlos a entender las
ideas detrás de las definiciones y los objetos que estudiaremos. Muchos textos de matemática presentan las teorías
desde un punto de vista formal y abstracto (“la teoría es esta y así funciona”) en lugar de explicar el origen y las
implicaciones y aplicaciones de la misma, lo que clarifica completamente los conceptos que la conforman, de
manera que resulta casi natural su existencia. Asimismo, mucha de la teoría contenida en este libro tiene orígenes
(y aplicaciones) geométricas, y se ha hecho énfasis en resaltar estos hechos, dejando en un segundo plano la
“abstractización” de la teoría para dar lugar a un enfoque más visual e intuitivo.
El cuerpo del texto está separado en dos partes. En la primera donde se desarrollan aspectos más geométricos,
aunque no exentos de álgebra, mientras que en la segunda los aspectos son netamente algebraicos, lo cual no obsta a
que se los relacione con los de la primera parte. Al final de esa segunda parte encontrarán las resoluciones de los
experimentos.
Para los alumnos que no estén familiarizados con el formato de los libros de matemática, es sugerido que tomen el
curso virtual LECMat, disponible gratuitamente en el campus virtual de UBA XXI.
La siguiente lista muestra los distintos tipos de categorías que contiene el apunte:
1. Definiciones, Teoremas y Proposiciones.
2. Ejemplos.
3. Observaciones.
4. Experimentos.
5. Para pensar (representado por una lamparita).
6. Información complementaria (representada por una letra “i”).
Teniendo en cuenta estas disposiciones, el estudiante debe tener presente el siguiente orden de prioridades.
1. PRIORIDAD 1.
Definiciones, Teoremas, Proposiciones.
Ejemplos.
2. PRIORIDAD 2.
Observaciones.
Experimentos.
Texto en cursiva.
3. PRIORIDAD 3.
Para pensar.
Información complementaria.
Sugerimos que, en una primera lectura, el apunte sea leído en su totalidad. Para el alumno que desee, en lecturas
posteriores, utilizar el apunte, puede optar por leer solo las categorías de PRIORIDAD 1 ó de PRORIDAD 1 y 2,
según el grado de produndidad que desee encarar.
En próxima página encontrarán ejemplos de los distintos formatos y categorías del apunte.
10
Página ejemplo
El texto sin formato (estándar) es texto de lectura obligatoria. En él se introducirán objetos, se explicarán conceptos
y se resolverán problemas concretos necesarios para el desarrollo de la teoría.
Definición 1 Las definiciones, Proposiciones y Teoremas aparecen con una barra vertical naranja gruesa sobre
el margen izquierdo. Esto es indicativo de información esencial de la teoría.
Teorema 1 Los Teoremas, Proposiciones y Lemas aparecen con la barra vertical gruesa también.
Ejemplo 1
Los ejemplos aparecen en letra más pequeña y centrados en la página. Esto ayudará al estudiante a
indentificarlos rápidamente dentro del texto. En general, muestran como llevar a cabo cálculos introducidos en la teoría
y de qué manera escribir la solución de los ejercicios.
Observación 2
Las observaciones aparecen con una barra vertical naranja finita sobre el margen izquierdo.
Esta categoría contiene información y notas importantes que complementan la teoría.
Experimento 1
Los experimentos son “ejercicios guiados” que se dejan al estudiante para resolver. Esta es
la mejor manera de aprender los conceptos introducidos. Muchas veces, cuando se considera que el estudiante
tiene las herramientas para entender una definición o una cuenta por su lado, se lo deja planteado para que lo
descubra por su cuenta dentro de un experimento. Las resoluciones de los experimentos se encuentran al final
del libro.
Esta sección “Para pensar...” tiene por objetivo dejarle al estudiante una pregunta relacionada con la teoría
que acaba de aprender. Le será áltamente beneficioso tomarse un tiempo para pensar estas preguntas ya que le
ayudará a comprender en más profundida muchos de los conceptos desarrollados.
Esta sección “Información complementaria” tiene por objetivo complementar algunos de los conceptos
introducidos para una formación más integral del estudiante.
Contenidos
I
Parte 1
1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1 Conjuntos 19
1.1.1 ¿Qué es un conjunto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2 ¿Cómo describir un conjunto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.3 Subconjuntos del plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.4 Cómo construir conjuntos a partir de otros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Vectores de R
n
25
1.2.1 La noción de vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.2 Vectores en el espacio n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Producto escalar de vectores 32
1.3.1 Producto escalar, norma y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.2 Ángulo entre vectores y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1 Rectas 39
2.1.1 ¿Cómo describir una recta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2 La ecuación vectorial de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.3 Ecuación implícita de una recta en R
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.4 ¿Cómo hallar la ecuación vectorial a partir de la implícita? ¿y viceversa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Planos 47
2.2.1 La ecuación vectorial del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2 Ecuación implícita de un plano en R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.3 ¿Cómo hallar la ecuación vectorial a partir de la implícita, y viceversa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 La ecuación normal de un plano 52
2.3.1 La ecuación normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2 El producto vectorial de vectores de R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.3 Nuevo cálculo de la ecuación implícita a partir de la vectorial, y viceversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Intersección de subespacios de R
3
57
2.4.1 Intersección de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.2 Intersección de un plano y una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.3 Intersección de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5 Distancias y ángulos entre rectas y planos 65
2.5.1 Ángulos entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5.2 Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5.3 Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5.4 Distancia entre rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6 Proyecciones y simetrías 72
2.6.1 Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6.2 Proyección ortogonal de puntos sobre rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1 Subespacios de R
n
79
3.2 Combinación lineal 80
3.3 Dependencia lineal 81
3.4 Generadores, base y dimensión 83
3.4.1 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1 Curvas cónicas 89
4.1.1 ¿Qué es un cono? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.2 Corte del cono con distintos planos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 La circunferencia 92
4.2.1 La circunferencia como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3 La elipse 94
4.3.1 La elipse como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.2 La ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.3 Excentricidad de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4 La hipérbola 101
4.4.1 La hipérbola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.2 La ecuación de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.3 La excentricidad de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4.4 Asíntotas de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5 La parábola 105
4.5.1 La parábola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5.2 Ecuación canónica de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5.3 Excentricidad de la parábola (y del resto de las cónicas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
II
Parte 2
5 Ecuaciones lineales, matrices y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1 Sistemas de ecuaciones lineales 113
5.1.1 ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.2 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1.3 Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2 Matrices 121
5.2.1 ¿Qué es una matriz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2.2 ¿Cómo se relacionan las matrices con los sistemas lineales? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.3 Triangulación de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.4 ¿Cuáles son las operaciones que podemos hacer con las filas de una matr iz? . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3 Resolución y clasificación de sistemas de ecuaciones lineales 129
5.3.1 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.2 Clasificando sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3.3 Sistemas con parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4 La teoría de matrices 139
5.4.1 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.4.2 Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4.3 Matrices cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4.4 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.5 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4.6 Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.5 Determinantes 154
5.5.1 ¿Qué es el determinante? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.5.2 El determinante de una matriz de 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.5.3 El determinante de una matriz de 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.5.4 El determinante de una matriz de n × n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.5.5 Propiedades del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.5.6 Utilizando el determinante para clasificar sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.1 La transformación lineal 167
6.1.1 ¿Que caracteriza a una transformación lineal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.1.2 Forma funcional y matricial de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.1.3 Cómo construir transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.2 Imagen y núcleo 174
6.2.1 Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.2.2 Núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.2.3 Clasificación de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.3 Interpretación geométrica del efecto de una transformación lineal 179
6.3.1 La interpretación geométrica del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.4 Composición e inversa de transformaciones lineales 188
6.4.1 ¿Qué significa componer funciones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.4.2 Composición de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.4.3 Construyendo transformaciones lineales compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.4.4 Inversa de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.1 ¿Qué son los números complejos? 195
7.1.1 ¿Cómo surgen los números complejos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.1.2 ¿Cómo se define el conjunto de números complejos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2 El plano complejo 197
7.2.1 Representación en el plano y forma binómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.2.2 Transformaciones en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3 Ecuaciones cuadráticas 204
7.3.1 Raíces cuadradas complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.4 Formas polar y exponencial 206
7.4.1 El problema de la forma binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.4.2 La forma polar de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.4.3 La forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.5 Resolución de ecuaciones generales 211
7.5.1 Raíces n -ésimas de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.5.2 Raíces n -ésimas de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.5.3 Resolución de ecuaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.1 ¿Qué es un polinomio? 217
8.1.1 La visión algebraica de los polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.1.2 Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.2 División de polinomios 220
8.2.1 ¿A qué se le llama dividir dos polinomios? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.2.2 El algoritmo de división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.2.3 El Teorema del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.3 Raíces 224
8.3.1 ¿Qué son las raíces de un polinomio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.3.2 ¿Cómo encontrar raíces de un polinomio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.4 Factorización de polinomios 229
8.4.1 Polinomios irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9 Experimentos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
10
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

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