Volver a Modelación de Procesos Mediante Álgebra Lineal
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 1
TEMA 3 – ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
EJERCICIO 1 : Factoriza los siguientes polinomios:
a) 2x
4
−
−−
− 18x
2
b) x
4
−
−−
− x
3
−
−−
− x
2
−
−−
− x −
−−
− 2 c) x
3
−
−−
− 13x
2
+
++
+ 36x
d) 2x
3
−
−−
− 9x
2
−
−−
− 8x +
++
+ 15 e) x
5
+
++
+ x
4
−
−−
− 2x
3
e) x
3
−
−−
− 3x +
++
+ 2
Solución:
a) Sacamos factor común y tenemos en cuenta que a
2
− b
2
= (a + b) (a − b):
2x
4
− 18x
2
= 2x
2
(x
2
− 9) = 2x
2
(x
+ 3) (x − 3)
b) Utilizamos la regla de Ruffini:
1
−
1
−
1
−
1
−
2
−
1
−
1
2
−
1
2
1
−
2
1
−
2
0
2
2
0
2
1
0
1
0
x
4
− x
3
− x
2
− x − 2 = (x + 1) (x − 2) (x
2
+ 1) (El polinomio x
2
+ 1 no tiene raíces reales).
c) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación de segundo grado:
(
)
x x x x x x
x
x x x
x
− + = − +
=
± − ± ±
− + = → = = =
=
3 2 2
2
13 36 13 36
9
13 169 144 13 25 13 5
13 36 0
2 2 2
4
ƒ
‚
Por tanto: x
3
− 13x
2
+ 36 x = x (x
−
9) (x − 4)
d) Utilizamos la regla de Ruffini:
2
−
9
−
8
15
1
2
−
7
−
15
2
−
7
−
15
0
5
2/34/6x
5x
4
137
4
1697
4
120497
x015x7x2
2
−=−=
=
±
=
±
=
+±
=⇒=−−
2x
3
− 9x
2
− 8x + 15 = 2(x − 1) (x − 5) (x + 3/2)
e) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación:
x
5
+ x
4
− 2x
3
= x
3
(x
2
+ x − 2)
=
− ± + − ± − ±
+ − = → = = =
= −
2
1
1 1 8 1 9 1 3
2 0
2 2 2
2
x
x x x
x
ƒ
‚
Por tanto: x
5
+ x
4
− 2x
3
= x
3
(x − 1) (x + 2)
f) Utilizamos la regla de Ruffini:
1
0
−
3
2
1
1
1
−
2
1
1
−
2
0
1
1
2
2x
1x
2
31
2
91
2
811
x02xx
2
−=
=
±−
=
±−
=
+±−
=⇒=−+
x
3
− 3x + 2 = (x − 1)
2
(x + 2)
APLICACIONES DEL TEOREMA DEL RESTO
EJERCICIO 2 : Halla el valor de k para que la siguiente división sea exacta:
(
)
(
)
2
3 2 2
x kx x
+ − : +
+ − : ++ − : +
+ − : +
Solución: Llamamos P(x) = 3x
2
+ kx − 2.
Para que la división sea exacta, ha de ser P(−2) = 0; es decir: P(−2) = 12 − 2k − 2 = 10 − 2k = 0 → k = 5
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 2
FRACCIONES ALGEBRAICAS
EJERCICIO 3 : Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:
a)
23
345
3
96
xx
xxx
+
++
b)
xxx
xx
23
23
3
++
−
c)
xxx
xxx
23
2
23
23
+−
−−
d)
xxx
xxx
+−
−+−
23
23
2
133
e)
24
234
9
32
xx
xxx
−
−−
Solución:
a)
(
)
( )
(
)
( )
( )
xxxx
xx
xx
xx
xxx
xx
xxx
33
3
3
3
96
3
96
2
2
2
3
2
23
23
345
+=+=
+
+
=
+
++
=
+
++
b)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )
2
1
21
11
23
1
23
2
2
23
3
+
−
=
++
+−
=
++
−
=
++
−
x
x
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
xx
c)
(
)
( )
(
)
(
)
( )( )
1
1
12
12
23
2
23
2
2
2
23
23
−
+
=
−−
+−
=
+−
−−
=
+−
−−
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
d)
(
)
( )
x
x
xx
x
xxx
xxx 1
1
1
2
133
2
3
23
23
−
=
−
−
=
+−
−+−
e)
(
)
( )
(
)
(
)
( )( )
3
1
33
13
9
32
9
32
2
2
22
22
24
234
+
+
=
+−
+−
=
−
−−
=
−
−−
x
x
xxx
xxx
xx
xxx
xx
xxx
EJERCICIO 4 : Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:
a)
+−−
−
⋅
−
−
+
−
16
1
3
1
12
2
3
xx
xx
x
x
x
x
b)
4
1
2
13
2
2
2
−
−
+
−
+
−
x
x
x
x
x
c)
(
)
( )
22
2
1
3
1
1
2
1
+
−
−
⋅
−
x
x
x
x
d)
( )
1
1
1
2
1
1
22
−
+
−
+
−
x
x
x
e)
−
+
⋅
+
−
11
23
2
x
xx
x
x
x
Solución:
a)
( )( ) ( )
( )( )
=
+−−
−
⋅
−+
+−−−
=
+−−
−
⋅
−
−
+
−
1x6x
xx
1x1x
1xx31x1x2
1x6x
xx
1x
x3
1x
1x2
2
3
2
3
( )( )
(
)
(
)
( )( )
(
)
(
)
x
1x6x
1x1xx
1x1x
1x6x
1x6x
1x1xx
1x1x
x3x31xx2x2
2
2
2
22
=
+−−
+−
⋅
−+
+−−
=
+−−
+−
⋅
−+
−−+−−
b)
( )
( )( )
4
x
3x11x
4
x
12xx6x3x4x2
4
x
1
4
x
2x1x3
4
x
2xx2
4
x
1
2x
1x3
2x
x2
2
2
2
22
2222
−
−+−
=
−
−−++−+
=
−
−
−
−−
−
−
+
=
−
−
+
−
+
−
c)
(
)
( )
(
)
( )( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
22
2
22
2
1x2
1x6x
1x2
x61x
1x
x3
1x2
1x
1x
x3
1x1x2
1x
1x
x3
1x
1
2
1x
+
−−
=
+
−−
=
+
−
+
−
=
+
−
+−
−
=
+
−
−
⋅
−
d)
( ) ( )
( ) ( )( )
(
)
(
)
( ) ( )
=
+−
−+−++
=
+−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
1x1x
1x1x21x
1x1x
1
1x
2
1x
1
1x
1
1x
2
1x
1
2
2
222
( ) ( ) ( ) ( )
1x1x
2x2x2
1x1x
1x2x21x
2
2
2
2
+−
−+
=
+−
−+−++
e)
(
)
( ) ( )
(
)
1x
3x3x2
1x
1xx
1xx
x23x3
1x
xx
1xx
x21x3
1x
xx
1x
x2
x
3
22222
−
++−
=
−
+
⋅
+
−+
=
−
+
⋅
+
−+
=
−
+
⋅
+
−
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
EJERCICIO 5 : Resuelve las siguientes ecuaciones:
3
43
3
44
1)
2
2
+
−=−
− x
xx
xx
028112)
24
=+− xx
3
4
33
4
15
3)
2
2
+
+−
=+
xx
x
0100214)
24
=−− xx
( )
(
)
3
1
54 5)
−
=−+
xx
xx
049486)
24
=−− xx
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 3
121637) −=+ xx
358) =−+ xx
3
14
22
4
9) =
−
+
+ x
x
x
x
6
11
4
23
10) =
+
+
xx
4
5
1
2
1
2
11) =
+
−
+
− x
x
x
124412) +=+ xx
2
11
1
412
13) =
−
+
−
xx
x
14
)
099
234
=−−+ xxxx
15)
012112
23
=+−− xxx
16)
044
234
=−−+ xxxx
17
)
0652
23
=+−− xxx
18)
044
23
=−−+ xxx
2
7
2
1
22 19)
1
=++
−
x
xx
( )
xloglogxlog =+− 43 20)
2
0363721)
24
=+− xx
(
)
(
)
2212 22) lnxlnxln =−+
124523) +=+ xx
0
9
8
33 24)
12
=+−
+xx
22
6
3
3
1
4
5
25)
xx
=−
(
)
(
)
1231 26) =−−+ xlogxlog
xx 2111327) =+−
042322 28)
11
=+⋅−+
+− xxx
x
x
x
x 1
6
16
1
29)
+
=−
+
3
1
3
3
30)
1
1
2
=
+
+−
x
xx
032231)
xx1
=−+
−
xx
37132) −=−
052233)
2
=−+
+ xx
Solución:
3
4x3
xx
3
x4x4
1)
2
2
+
−=−
−
;
3
43
3
3
3
3
3
44
22
+
−=−
− xxxxx
;
4x3x3x3x4x4
22
−−=−−
04x4x
2
=+−
;
2
2
4
2
16164
==
−±
=x
; Solución: x = 2
028x11x 2)
24
=+−
242
zxzx :Cambio =→=
028z11z
2
=+−
±=→=
±=→=
→
±
=
±
=
−±
=
24
77
2
311
2
911
2
11212111
xz
xz
z
2 2 7 7 :soluciones Cuatro
4321
=−==−= x,x,x,x
3
4
3xx3
4
15
x 3)
2
2
+
+−
=+
;
4
12
4
33
4
15
4
4
22
+
+−
=+
xxx
;
1233154
22
++−=+ xxx
0xx
2
=+
;
( )
−=→=+
=
→=+
101
0
01
xx
x
xx
0100x21x 4)
24
=−−
242
:Cambio zxzx =→=
010021
2
=−− zz
−=
±=→=
→
±
=
±
=
+±
=
vale) (no 4
5 25
2
2921
2
84121
2
40044121
z
xz
z
Dos soluciones: x
1
= −5, x
2
= 5
( )
(
)
3
1xx
54xx 5)
−
=−+
;
3
54
2
2
xx
xx
−
=−+
;
xxxx −=−+
22
15123
015x13x2
2
=−+
;
−
=
−
=
=
→
±−
=
±−
=
+±−
=
2
15
4
30
1
4
1713
4
28913
4
12016913
x
x
x
049x48x)6
24
=−−
242
:Cambio zxzx =→=
04948
2
=−− zz
−=
±=→=
→
±
=
±
=
+±
=
vale) (no 1
749
2
5048
2
500248
2
196304248
z
xz
z
Dos soluciones: x
1
= −7, x
2
= 7
1x216x37) −=+
;
(
)
2
12163 −=+ xx
;
xxx 414163
2
−+=+
;
15740
2
−−= xx
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 4
−
=
−
=
=
→
±
=
±
=
+±
=
4
5
8
10
3
8
177
8
2897
8
240497
x
x
x
Comprobación:
vale. sí 35253 =→=→= xx
vale. no
4
5
2
7
2
7
4
49
4
5 −
=→
−
≠=→
−
= xx
Hay una solución: x = 3
3x5x8) =−+
;
xx +=+ 35
;
xxx 695
2
++=+
;
450
2
++= xx
−=
−=
→
±−
=
±−
=
−±−
=
4
1
2
35
2
95
2
16255
x
x
x
Comprobación:
vale sí 1312141 −=→=+=+→−= xx
vale no 43541414 −=→≠=+=+→−= xx
Hay una solución: x = −1
3
14
2x
x
2x
x4
9) =
−
+
+
;
(
)
( )( )
(
)
( )( )
(
)
(
)
( )( )
223
2214
223
23
223
212
−+
−+
=
−+
+
+
−+
−
xx
xx
xx
xx
xx
xx
(
)
414632412
222
−=++− xxxxx
;
56141815
22
−=− xxx
;
05618
2
=+− xx
=
=
→
±
=
±
=
−±
=
4
14
2
1018
2
10018
2
22432418
x
x
x
6
11
4x
2
x
3
10) =
+
+
;
(
)
( ) ( )
(
)
( )
46
411
46
12
46
418
+
+
=
+
+
+
+
xx
xx
xx
x
xx
x
;
xxxx 4411127218
2
+=++
;
7214110
2
−+= xx
−
=
−
=
=
→
±−
=
±−
=
+±−
=
11
36
22
72
2
22
5814
22
336414
22
316819614
x
x
x
4
5
1
x
2x
1
x
2
11) =
+
−
+
−
;
(
)
( )( )
(
)
(
)
( )( )
(
)
(
)
( )( )
114
115
114
214
114
18
+−
+−
=
+−
−−
+
+−
+
xx
xx
xx
xx
xx
x
;
(
)
(
)
1523488
22
−=+−++ xxxx
55812488
22
−=+−++ xxxx
;
2140
2
−+= xx
;
−=
=
→
±−
=
±−
=
+±−
=
7
3
2
104
2
1004
2
84164
x
x
x
12x44x12) +=+
;
(
)
1244
2
+=+ xx
;
124816
2
+=++ xxx
;
044
2
=++ xx
;
Comprobación:
válida es sí422 →=→−=x
2
11
1
x
4
x
1x2
13) =
−
+
−
;
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
( )
12
111
12
8
12
1122
−
−
=
−
+
−
−−
xx
xx
xx
x
xx
xx
;
(
)
xxxxx 111181322
22
−=++−
xxxxx 11118264
22
−=++−
;
21370
2
−−= xx
;
−
=
−
=
=
→
±
=
±
=
+±
=
7
1
14
2
2
14
1513
14
22513
14
5616913
x
x
x
14) Sacamos factor común:
(
)
09999
23234
=−−+=−−+ xxxxxxxx
: 9x9xx osFactorizam
23
−−+
x
2
– 9 = 0 ⇒ x = ± 3
2
2
4
2
16164
x −=
−
=
−±−
=
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 5
( )( )( )
−=→=+
=→=−
−=→=+
=
→=+−+=−−+
303
303
101
0
033199
234
xx
xx
xx
x
xxxxxxxx
Por tanto, las soluciones de la ecuación son:
3310
4321
−==−== x,x,x,x
15) Factorizamos:
( )( )( )
−=→=+
=→=−
=→=−
→=+−−=+−−
303
404
101
034112112
23
xx
xx
xx
xxxxxx
Por tanto, las soluciones de la ecuación son:
341
321
−=== x,x,x
16) Sacamos factor común:
(
)
04444
23234
=−−+=−−+ xxxxxxxx
:44 osFactorizam
23
−−+ xxx
( )( )( )
−=→=+
=→=−
−=→=+
=
→=+−+=−−+
202
202
101
0
022144
234
xx
xx
xx
x
xxxxxxxx
Por tanto las soluciones de la ecuación son:
2x,2x,1x,0x
4321
−==−==
17) Factorizamos:
( )( )( )
−=→=+
=→=−
=→=−
→=+−−=+−−
202
303
101
0231652
23
xx
xx
xx
xxxxxx
Por tanto, las soluciones de la ecuación son:
2x,3x,1x
321
−===
18) Factorizamos:
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 6
( )( )( )
−=→=+
−=→=+
=→=−
→=++−=−−+
404
101
101
041144
23
xx
xx
xx
xxxxxx
Por tanto, las soluciones de la ecuación son:
411
321
−=−== x,x,x
2
7
2
1
22 19)
x
x1x
=++
−
;
2
7
2
1
2
2
2
=++
x
x
x
Hacemos el cambio de variable: 2
x
= y :
2
71
2
=++
y
y
y
;
0273722
222
=+−→=++ yyyyy
==
=
→
±
=
±
=
−±
=
3
1
6
2
2
6
57
6
257
6
24497
y
y
y
1222 =→=→=• xy
x
581
2
3
3
3
1
3
1
2
3
1
22
,
log
log
loglogxy
x
−=−=−==→=→=•
Hay dos soluciones: x = 1; x
2
= −1,58
20) log (x
−
3)
2
+ log 4 = log x ; log [4(x − 3)
2
] = log x ;
4(x − 3)
2
= x → 4(x
2
− 6x + 9) = x
4x
2
− 24x + 36 = x → 4x
2
− 25 x 6 + 36 = 0 ;
==
=
→
±
=
±
=
−±
=
4
9
8
18
4
8
725
8
4925
8
57662525
x
x
x
4
9
;4 :soluciones dosHay
21
== xx
2
036x37x1)
24
=+−
;
036z37zzxzx :Cambio
2242
=+−⇒=→=
=
=
→
±
=
±
=
−±
=
1
36
2
3537
2
122537
2
144136937
z
z
z
1111
6363636
2
2
±=→±=→=→=
±=→±=→=→=
xxxz
xxxz
Hay cuatro soluciones: x
1
= −6, x
2
= −1, x
3
= 1, x
4
= 6
2
(
)
(
)
2lnx2ln1xln2 2) =−+
;
(
)
(
)
221
2
lnxlnxln =−+
;
(
)
(
)
2
2
1
2
2
1
22
=
+
→=
+
x
x
ln
x
x
ln
(
)
01241241
22
2
=+−→=++→=+ xxxxxxx
;
1
2
2
2
442
==
−±
=x
; Hay una única sol: x = 1
2
( )
3xx401x4x44x51x24x51x24x53)
22
2
−−=
⇒
++=+
⇒
+=+
⇒
+=+
−
=
−
=
=
→
±
=
±
=
+±
=
4
3
8
6
1
8
71
8
491
8
4811
x
x
x
Comprobación:
válida Es12391 →+==→=x
válida es No
2
1
1
2
3
2
1
4
1
4
3
→
−
=+
−
≠=→
−
=x
Hay una solución: x = 1
2
0
9
8
33 4)
1xx2
=+−
+
;
( )
0
9
8
333
2
=+⋅−
xx
:3 cambio el Hacemos y
x
= 08y27y90
9
8
y3y
22
=+−→=+−
==
==
→
±
=
±
=
−±
=
3
1
18
6
3
8
18
48
18
2127
18
44127
18
28872927
y
y
y
89,01
3log
8log
18log
3
8
log
3
8
3
3
8
33
=−=−==→=→=• xy
x
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 7
1
3
1
3
3
1
−=→=→=• xy
x
Hay dos soluciones: x
1
= −1; x
2
= 0,89
2
222
22
2
222
x49x46156x415
x
12
6
x
12
x4
x
12
15
x
6
3
3
1
x
4
5
5) =⇒=−⇒=−⇒=−⇒=−
−
=
=
→±=→=
2
3
2
3
4
9
4
9
2
x
x
xx
2
3
;
2
3
:soluciones dosHay
21
=
−
= xx
2
(
)
(
)
12x3log1xlog 6) =−−+
;
( )
2310110
23
1
1
23
1
−=+→=
−
+
→=
−
+
xx
x
x
x
x
log
29
21
292120301 =→=→−=+ xxxx
(
)
( ) ( )
130x53x40121x44x49x9
121x44x41x911x21x311x21x311x21x3x2111x327)
22
2
2
2
+−=⇒+−=−
+−=−⇒−=−⇒−=−−=−⇒=+−
==
=
→
±
=
±
=
−±
=
4
13
8
26
10
8
2753
8
72953
8
0802809253
x
x
x
Comprobación:
válida Es10220119119310 →⋅==+=+→=x
válida es No
2
13
4
13
2
2
31
11
2
9
11
4
9
3
4
13
→=⋅≠=+=+→=x
Hay una solución: x = 10
2
042322 8)
x1x1x
=+⋅−+
+−
;
042322
2
2
=+⋅−⋅+
xx
x
; Hacemos el cambio: 2
x
= y
0432
2
=+−+ yy
y
;
8080864 =→=+−→=+−+ yyyyy
;
382 =→= x
x
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
03x14x806x28x1606x28x166x12x6x16x16x6
1x2x6x16x16x6
1xx6
1x6
1xx6
1xx16
1xx6
x6
x
1x
6
16
1x
x
29)
222222
222
2
2
=++→=++⇒=−−−⇒++=−−
++=−−⇒
+
+
=
+
+
−
+
⇒
+
=−
+
−
=
−
=
−
=
−
=
→
±−
=
±−
=
−±−
=
2
3
16
24
4
1
16
4
16
1014
16
10014
16
9619614
x
x
x
2
3
;
4
1
:soluciones dosHay
21
−
=
−
= xx
( )
11x1xx
1x
1xx
33
3
1
3
3
30)
2
2
−+−+−
+
+−
=→=
;
012111
22
=+−→−=−−+−
xxxxx
:
1
2
2
2
442
==
−±
=
x
Hay una única solución: x = 1
032
2
2
)31
x
x
1
=−+
⇒
Así,.2 :Cambio z
x
=
03
2
=−+
z
z
032
2
=−+
zz 023
2
=+−
zz
=→=→=
=→=→=
±
=
−±
=
0121
1222
2
13
2
893
xz
xz
z
x
x
32)
( )
−=
=
+±−
=→=−+→−=−+→−=−
3x
2x
2
2411
x06xxx37x2x1x37x1
222
vale)(no
33)
0x1205250522405222
xxxxx2x
=
⇒
=
⇒
=−⋅
⇒
=−+⋅
⇒
=−+⋅
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 8
SISTEMAS DE ECUACIONES
EJERCICIO 6 : Halla la solución de los siguientes sistemas, analítica y gráficamente:
a)
=+
=+
4
22
3
23
y
x
y
x
b)
+=
=−−
xxy
xy
3
024
2
c)
=−+
−=
06
2
2
xy
xxy
d)
=+
=+
−
73
2
23
1
yx
yx
e)
=+−
−=
062
3
2
xy
xxy
Solución:
a)
• Resolvemos el sistema analíticamente:
xy
yx
yx
yx
yx
yx
yx
−=
=+
=+
=+
=+
=+
=+
8
8
1832
2
8
22
6
18
6
3
6
2
4
22
3
23
2x +3(8−x) = 18; 2x + 24 −3x = 18; −x = −6 ; x = 6 → y = 8 − 6 = 2 ; Solución: x = 6; y = 2
• Interpretación gráfica:
−=→=+
+
−
=−=
−
=→=+
xy
yx
xx
x
y
yx
84
22
6
3
2
3
2
6
3
218
3
23
Estas dos rectas se cortan en el punto (6, 2).
b)
• Lo resolvemos analíticamente:
2xx0;x3x2x4
2x4y
x3xy
02x4y
22
2
−−=+=+
+=
+=
=−−
−=→−=
=→=
→
±
=
±
=
+±
=
21
102
2
31
2
91
2
811
yx
yx
x
−=
−=
=
=
2y
1x
y
10y
2x
:
2
2
1
1
Solución
• Interpretación gráfica:
2). 1,( y 10) (2, puntos los en cortan se parábola la y recta La
3
24
2
−−
+=
+=
xxy
xy
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 9
c)
• Resolvemos analíticamente el sistema:
06;062
2
06
2
22
2
2
=−−=−+−
−=
=−+
−=
xxxxx
xxy
xy
xxy
=→−=
=→=
→
±
=
±
=
+±
=
82
33
2
51
2
251
2
2411
yx
yx
x
=
−=
=
=
8y
2x
y
3y
3x
:
2
2
1
1
Solución
• Interpretación gráfica:
8). 2,( y 3) (3, puntos los en cortan se recta la y parábola La
6
2
2
−
−=
−=
xy
xxy
d)
• Resolvemos analíticamente el sistema:
=+
=+−
=+
=+
−
=+
=+
−
73
12322
73
6
12
6
3
6
22
73
2
23
1
yx
yx
yx
yx
yx
yx
( )
143732;37
73
1432
=−+−=
=+
=+
xxxy
yx
yx
437137;1;77;211492;149212 =−=⋅−==−=−−=−=−+ yxxxxxx
Solución: x = 1; y = 4
• Interpretación gráfica:
4).(1, punto el en cortan se rectas dos Estas
3773
3
214
1432
−=→=+
−
=→=+
xyyx
x
yyx
e)
• Lo resolvemos analíticamente:
065;0623
3
062
3
22
2
2
=+−=+−−
−=
=+−
−=
xxxxx
xxy
xy
xxy
−=→=
=→=
→
±
=
±
=
−±
=
22
03
2
15
2
15
2
24255
yx
yx
x
−=
=
=
=
2
2
y
0
3
:
2
2
1
1
y
x
y
x
Solución
• Interpretación gráfica:
2) 2,( y 0) 3,( puntos los en cortan se recta la y parábola La
62
3
2
−
−=
−=
xy
xxy
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 10
EJERCICIO 7 : Halla las soluciones de estos sistemas:
a)
−=++
+=
xyyx
xy
4
13
b)
=−
=−
32
0
3
yx
y
x
x
c)
=+
=+
4
3
32
yx
yx
d)
−=−
=+
3
62
yx
yx
e)
=+
=
+
2
511
5
21
yx
yx
f)
−=−
=+
22
12
ylogxlog
ylogxlog
g)
=+
=
+
6
322
lnylnxln
yx
h)
=
=−
+
82
02
2xy
ylogxlog
i)
( )
=+
=−
1
2
2
yxlog
xy
j)
=−
=+
+
2
822
1
logxlogylog
yx
k)
=−
=−
1
9
ylogxlog
yx
l)
−=
−=−
2
3
22
xy
xy
m)
−=+
−=+
13
213
yx
yx
n)
=−
=−
12
6
111
yx
yx
ñ)
=+
=−
622
02
yx
yx
=+
−=−
6
511
12o)
yx
yx
=
=+
6
13p)
22
xy
yx
+−=
−=
12
5q)
2
yyx
xy
Solución:
a)
xxxx
xy
xyyx
xy
−+=+++
+=
−=++
+=
13413
13
4
13
(
)
2
1254;1254 +=++=+ xxxx
1;44;41454
222
==++=+ xxxxx
;
=→=
→−=
→±=
41
válida no1
1
yx
x
x
Hay una solución: x = 1; y = 4
b)
9xx6;3
3
x
x2
3
x
y
3yx2
0xy3
3yx2
0
y
x
x
3
2
2
2
2
=−=−
=
=−
=−
=−
=−
33
2
6
2
36366
;960
2
=→==
−±
=+−= yxxx
Solución: x = 3; y = 3
c)
( )
( ) ( )
( )
( )
xx
xx
xx
x
xx
x
xy
xx
yx
yx
−
−
=
−
+
−
−
−=
=
−
+
=+
=+
4
43
4
3
4
42
4
3
4
32
4
3
32
;
08113;312328
22
=+−−=+− xxxxxx
=→=
=→==
→
±
=
±
=
−±
=
31
3
4
3
8
6
16
6
511
6
2511
6
9612111
yx
yx
x
=
=
=
=
3
1
y
3
4
3
8
:solucionesdosHay
2
2
1
1
y
x
y
x
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 11
d)
xx
xx
yx
xy
yx
yx
=−
+=−
=+
−=
−=−
=+
23
326
3
26
3
62
( )
(
)
09134;1249;23
22
2
2
=+−=−+=− xxxxxxx
=→=
→==
→
±
=
±
=
−±
=
41
válida no
4
9
8
18
8
513
8
2513
8
14416913
yx
x
x
=≠−=⋅−=
2
3
4
9
2
3
4
9
23 que puesto válida, es no
4
9
solución La x
La única solución del sistema es x = 1, y = 4.
e)
( )
x
yxyxy
yx
xyxy
yx
yx
yx
1
155
225
522
25
2
511
5
21
=→=→=
+=
=+
+=
=+
=
+
2520;225;
2
25
22
+−=+=+= xxxx
x
x
=→==
=→=
→
±
=
±
=
−±
=
2
2
1
4
2
2
1
2
4
35
4
95
4
16255
yx
yx
x
=
=
=
=
2
2
1
y
2
1
2
:soluciones dosHay
2
2
1
1
y
x
y
x
f)
(
)
−=−
=+
=−
=+
22
222
22
12
ylogxlog
ylogxlog
ylogxlog
ylogxlog
1005
22
224
=→=→=
−=−
=+
xxlogxlog
ylogxlog
ylogxlog
Sustituyendo en la primera ecuación este valor, queda:
10112 =→=→=+ yylogylogxlog
Por tanto, la solución es x = 1, y = 10.
g)
( )
( )
65
5
6
5
6
22
6
322
5
=−
−=
=
=+
=
=
=+
=
++
xx
xy
xy
yx
lnxylnlnylnxln
yxyx
=
−±
=→+−=→=−
2
24255
65065
22
xxxxx
=−=→=
=−=→=
→
±
=
±
325y2x
235y3x
2
15
2
15
Hay dos soluciones: x
1
= 3, y
1
= 2 ; x
2
= 2, y
2
= 3
h)
=+
=
=
=
=
=−
+
+
32
22
82
02
2
32
2
2
xy
yx
ylogxlog
ylogxlog
xy
xy
03223
23
22
2
=−+→−=
−=
=
xxxx
xy
yx
−=
=→=
→
±−
=
±−
=
+±−
=
válida) (no 3
11
2
42
2
162
2
1242
x
yx
x
Hay una única solución: x = 1, y = 1
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 12
i)
( )
( )
10212
2
1
2
22
2
2
=+−→=+−
=−
=+
=−
yyyylog
xy
yxlog
xy
−=
=
→
±−
=
±
=
+±−
=→=−+
4
3
2
71
2
491
2
4811
012
2
y
y
yyy
7293 =−=→=• xy
142164 =−=→−=• xy
Hay dos soluciones: x
1
= 7, y
1
= 3 ; x
2
= 14, y
2
= −4
j)
x2y
2
x
y
822
2log
x
y
log
822
2logxlogylog
822
y1xy1x
y1x
=
=
=+
=
=+
=−
=+
++
+
(
)
8222822
2
21
=+⋅→=+
+ xxxx
;
082822 :Cambio
22
=−+→=+→= zzzzz
x
−=
=
→
±−
=
±−
=
+±−
=
4
2
2
62
2
362
2
3242
z
z
z
21222 =→=→=→=• yxz
x
vale No424 →−=→−=•
x
z
El sistema tiene una única solución: x = 1, y = 2
k)
=
+=
=
+=
=
+=
=−
=−
yx
yx
y
x
yx
y
x
log
yx
ylogxlog
yx
10
9
10
9
1
9
1
9
10199109 =→=→=→=+ xyyyy
1;10 :solución unaHay == yx
l)
3
2
2
3
2
3
2
2
22
22
−=−
−
−
=
−=−
−=
−=−
x
x
x
y
xy
xy
xy
;
430343
4
24242
2
−−=→−=−→−=− xxxxx
x
043 :Cambio
22
=−−→= zzzx
→−=
±=±=→=→=
→
±
=
±
=
+±
=
vale no1
2444
2
53
2
253
2
1693
2
z
xxz
z
12
12
=→−=•
−
=
→
=
•
yx
yx
1;2
1;2 :soluciones dosHay
22
11
=−=
−==
yx
yx
m)
23113
31
213
13
213
−−−=+
−−=
−=+
−=+
−=+
xx
xy
yx
yx
yx
11
3
33
13313 −−=+→
−
−
=+→−−=+ xx
x
xxx
(
)
xxxxxxx +=→++=+→−−=+
22
2
012111
⇒
( )
=→−=
→=
→=+
21
válida no0
01
yx
x
xx
Hay una única solución: x = −1; y = 2
n)
( ) ( )
126126
12
66
12
6
111
−=−−
=−
=−
=−
=−
xxxx
yx
xyxy
yx
yx
⇒
672026612
22
+−=→−=−− xxxxxx
=→==
=→=
→
±
=
±
=
−±
=
2
2
3
4
6
32
4
17
4
17
4
48497
yx
yx
x
2y;
2
3
x ; 3y;2x :soluciones dosHay
2211
====
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 13
ñ)
( )
622
622
2
622
02
2
2
=+
=+
=
=+
=−
yy
yyyx
yxyx
Hacemos el cambio: 2
y
= z
−=
=
→
±−
=
±−
=
+±−
=→=−+
3
2
2
51
2
251
2
2411
06
2
z
z
zzz
21222 =→=→=→=• xyz
y
válida no323 →−=→−=•
y
z
Hay una solución: x = 2; y = 1
y21x) +−=o
⇒
( )
( ) ( )
0623101051266
2152166566
56
6
511
22
=+−⇒+−=+−
+−=+−+⇒=+
=+⇒=+
yyyyyy
yyyyxyxy
xyxy
yx
−
=→==
=→=
±
=
−±
=
5
2
10
3
20
6
32
20
1723
20
24052923
xy
xy
y
036x13xx1336x13
x
36
x
x
6
y
2424
2
2
=+−→=+→=+→=p)
03613:Así. :Cambio
22
=+−= zzzx
⇒
±=→=
±=→=
±
=
±
=
−±
=
24
39
2
513
2
2513
2
14416913
xz
xz
z
=
=
−=
−=
=
=
−=
−=
3
2
3
2
2
3
2
3
:
4
4
3
3
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
Soluciones
(
)
(
)
1x52x5x
2
+−−−=q)
⇒
12101025 ++−−+= xxxx
⇒
3,42168 ==
⇒
=
⇒
=
yxxx
SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS
EJERCICIO 8 : Obtén, mediante el método de Gauss, la solución de los siguientes sistemas de
ecuaciones:
a)
−=++
=−−
=++
25
822
723
zyx
zyx
zyx
b)
=−+
−=+−
−=−+
4
832
623
zyx
zyx
zyx
c)
=++
=−+
−=+−−
62
623
42
zyx
zyx
zyx
d)
=+−
=−+
=+−
132
32
222
zyx
zyx
zyx
e)
−=+−
−=+−
=−+
32
73
622
zyx
zyx
zyx
f)
=−+
=+−
=−+
42
1322
2
zyx
zyx
zyx
g)
=+−
=−+
=+−
62
73
62
zyx
zyx
zyx
h)
=+−
−=−+
=+−
922
53
72
zyx
zyx
zyx
i)
−=−−
=−−
=++
1
13
62
zyx
zyx
zyx
Solución:
a)
0
1
3
0237
1
3
29
3
932
155
723
13
12
1
25
822
723
=
−=
=
→
=−−=
−=
+−
=
=
→
−=+−
=
=++
→
−
+
−=++
=−−
=++
z
y
x
yxz
x
y
x
yx
x
zyx
ªª
ªª
ª
zyx
zyx
zyx
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 14
b)
→
=−
−=+
=−+
→
−
−=+−
−=+
=−+
→
−
+
=−+
−=+−
=−+
0x7
2zx5
6z2yx3
ª2ª3
ª2
ª1
2zx2
2zx5
6z2yx3
ª1ª3
ª1ª2
ª1
4zyx
8z3yx2
6z2yx3
2z
2y
0x
2z2x36y
2x52z
0x
−=
=
=
=+−=
−=−−=
=
→
c)
1z,1y,3x
14zx2y
3z2x
1z
2z2
2zx
4zyx2
ª1ª3
ª1ª2
ª1
6zyx2
6z2yx3
4zyx2
=−==
−=++−=
=+=
=
=
=−
−=+−+−
→
+
+
=++
=−+
−=+−−
:Solución
d)
→
−
−
−=+−
−=+−
=−+
→
⋅−
⋅−
=+−
=+−
=−+
→
=+−
=−+
=+−
5)(:ª3
ª3ª2
ª1
5z5y5
4z4y5
2zy2x
ª12ª3
ª12ª2
ª1
1z3yx2
2z2yx2
3zy2x
ª3
ª1
ª2
1z3yx2
3zy2x
2z2yx2
1z
0y
2x
2zy23x
0z1y
1z
1zy
1z
3zy2x
−=
=
=
=+−=
=+=
−=
→
=−
=−
=−+
→
e)
( )
→
−
−
−=+−
−=+−
=−+
→
⋅−
−
−=+−
−=+−
=−+
5:3
32
1
1555
1335
622
123
12
1
32
73
622
ª
ªª
ª
zy
zy
zyx
ªª
ªª
ª
zyx
zyx
zyx
120 :
0246226
2133
1
2
2
3
22
622
−===
=−−=+−=
=−=+=
−=
−
=
→
=−
=−
=−+
→ z,y,xSolución
zyx
zy
z
zy
z
zyx
f)
→
=
−=+−
=−+
→
−
⋅−
=−+
=+−
=−+
2
354
2
13
122
1
42
1322
2
y
zy
zyx
ªª
ªª
ª
zyx
zyx
zyx
11222
1
5
83
5
43
2
=+−=+−=
=
+−
=
+−
=
=
zyx
y
z
y
121 : === z,y,xSolución
g)
→⋅−
=+
−=−
=+−
→
−
⋅−
=+−
=−+
=+−
ª
ªª
ª
zy
zy
zyx
ªª
ªª
ª
zyx
zyx
zyx
3
372
1
0
1147
62
13
132
1
62
73
62
Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato 15
h)
→⋅−
−=−
−=−
=+−
→
⋅−
−
=+−
−=−+
=+−
ª
ªª
ª
zy
zy
zyx
ªª
ªª
ª
zyx
zyx
zyx
3
322
1
52
1252
72
123
12
1
922
53
72
212 :
241727
14525
2
52
2
72
=−==
=−−=−+=
−=+−=+−=
=
→
−=−
−=−
=+−
→ z,y,xSolución
zyx
zy
z
zy
z
zyx
i)
→⋅−
−=−−
−=−−
=++
→
−
−
−=−−
=−−
=++
ª
ªª
ª
zy
zy
zyx
ªª
ªª
ª
zyx
zyx
zyx
3
322
1
732
534
62
13
12
1
1
13
62
311 :
161626
1
2
97
2
37
3
3
9
732
93
62
=−==
=−+=−−=
−=
−
+−
=
−
+−
=
==
→
−=−−
=
=++
→ z,y,xSolución
zyx
z
y
z
zy
z
zyx
INECUACIONES
EJERCICIO 9 : Resuelve:
2
1
2
3
12
a)
+
−<−
− x
x
x
6
x3
2
3
1x
b)
−
+≥
−
6
1
3
1
2
4
c) ≤
+
−
− xx
03d)
2
≤+ xx
(
)
2
3
1
3
32
e) −>
+
−
−
x
x
x
f)
.
7
Resuelve 0
3
x
x
+
++
+
≥
≥≥
≥
−
−−
−
g)
2
2 5 2 16
x x x+ ≤ − −
+ ≤ − −+ ≤ − −
+ ≤ − − h)
2
2
0
x
x
+
++
+
≤
≤≤
≤
i)
2
3 6 8 2
x x x
+ − > −
+ − > −+ − > −
+ − > −
Solución:
(
)
(
)
1x3x6121x22) +−<−−a
⇒
3361224 −−<−− xxx
⇒
(
)
11,intervalo11x ∞−→<
(
)
x3121x2)b −+≥−
⇒
x3122x2 −+≥−
⇒
17x3
≥
⇒
∞+→≥ ,
3
17
Intervalo
3
17
x
(
)
(
)
11x24x3 ≤+−−c)
⇒
122123 ≤−−− xx
⇒
(
]
15, Intervalo15x −∞→≤
.
d) x
2
+ 3x = 0
⇒
x(x + 3 ) = 0
⇒
x = 0 ; x = -3
-3 0
Solución: x
∈
(-
∞
,-3] U [0,+
∞
)
(
)
(
)
(
)
2x31x3x2 −>+−−e)
⇒
6x31x6x2
−
>
−
−
−
⇒
x21
>
−
⇒
−
∞−→
−
<
2
1
, Intervalo
2
1
x
f) Igualamos por separado numerador y denominador a cero
x + 7 = 0
⇒
x = -7 (pintado)
3 – x = 0
⇒
x = 3 (sin pintar)
- 7 3
Solución: x
∈
[−
7, 3
)
.

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