UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CHACO AUSTRAL
CONICAS: CIRCUNFERENCIA
10
PROFESORADO EN CIENCIAS QUIMICAS Y DEL AMBIENTE: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN FISICA: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN MATEMATICA: Álgebra Lineal y Geometría
FARMACIA: Matemática II
INGENIERIAS: QUIMICA, ALIMENTOS, INDUSTRIAL, SISTEMA DE INFORMACIÓN: Álgebra Lineal y Geometría Analítica
LICENCIATURA EN BIOTECNOLOGÍA: Álgebra Lineal y Geometría
Página | 1
CAPITULO
10
INTRODUCCIÓN: SECCIONES CÓNICAS
Reciben el nombre de secciones cónicas ciertas figuras planas que se obtienen como
intersección de de una superficie cónica, con un plano que no contiene al vértice.
Lamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que
gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que
denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un
plano.
Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas
curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
Estas figuras también reciben el nombre de curvas de segundo grado
pues son lugares geométricos cuyas ecuaciones de segundo grado con
dos variables del tipo:
ax
2
+bxy+cy
2
+dx+ey+f = 0
De acuerdo a las características de esta ecuación se obtienen las
distintas cónicas.
La circunferencia es la sección cónica que se obtiene al cortar el
cono circular recto con un plano perpendicular al eje del cono.
CIRCUNFERENCIA
Definición como lugar geométrico
Dados un plano , un punto O perteneciente al mismo y un número real y positivo r, se llama
circunferencia de centro O y radio r, al lugar geométrico de todos los puntos de dicho plano
cuya distancia a O es igual a r.
Notación:
C (O,r) = C = {P/PЄ dist(O,P) = r} o bien, en base al concepto de distancia:
C = {P/PЄ
rOP
}
La igualdad:
rOP
es la ecuación vectorial de la circunferencia.
Cónicas
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Ecuación en coordenadas cartesianas:
Determinaremos la ecuación de una circunferencia referida a un sistema de ejes cartesiano, es
decir, las condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir las coordenadas de un punto
para pertenecer a la circunferencia.
Consideremos a la circunferencia de centro C(h,k) y radio
r. Sea P(x,y) un punto cualquiera.
Por definición de distancia es:
22
)()( kyhxCP
Pero
CP
= r, luego:
rkyhx
22
o sea
2
22
rkyhx
(I) ecuación cartesiana
Si P(x,y) pertenece a la circunferencia, sus coordenadas satisfacen (I ) y recíprocamente.
Si el centro C coincide con el origen de coordenadas, la ecuación anterior se hace:
x
2
+ y
2
= r
2
y recibe el nombre de ecuación canónica de la circunferencia.
Si en la (I) desarrollamos los cuadrados y ordenamos términos:
22222
22 rkkyyhhxx
o bien:
022
22222
rkkyyhhxx
Si hacemos:
frkh
222
y reemplazamos obtenemos:
022
22
fkyhxyx
(II) Ecuación Cartesiana en su forma general
Podemos observar que resulta una ecuación de 2° grado en dos variables , donde falta el
término con “xy” (rectangular) y los coeficientes de los términos cuadráticos son iguales y se
puede hacer iguales a uno dividiendo convenientemente la ecuación.
Ahora bien, toda ecuación de la forma (II) donde falta el término rectangular los coeficientes
de x
2
e y
2
son iguales, no siempre representa una circunferencia, ya que si las condiciones
anteriores son necesarias, no resulta suficiente como lo demostraremos a continuacion:
Partiendo de la II:
0
22
feydxyx
, agrupando términos
feyydxx
22
, sumando en ambos miembros números convenientes
para completar en cada paréntesis trinomios cuadrados perfectos, resulta:
f
ede
eyy
d
dxx
4444
222
2
2
2
o sea:
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4
4
22
22
22
fede
y
d
x
Comparando con la (I) se tiene:
el centro y radio es:
fedry
ed
C 4
2
1
2
,
2
22
Para que corresponda a una circunferencia real, el radio debe ser un número positivo, es decir,
el radicando debe dar positivo, o sea:
d
2
+e
2
-4f >0
Esta es la tercera condición para que corresponda a la ecuación de una circunferencia. Si la
expresión anterior es igual a cero, la circunferencia se reduce a un punto.
Ejemplos:
1) Determinar la ecuación de la circunferencia de C(3,2) y r = 4
Solución:
Forma (I) (x+3)
2
+(y2)
2
= 16 pues: h = 3, k = 2
Forma (II) x
2
+y
2
+6x
y3 = 0 pues: h
2
+k
2
+r
2
= 9+416 = 3
2) Determinar el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia:
x
2
+y
2
+4x-10y+13=0
Solución:
2h = 4 →h = 2 2k = 10→k = 5 C(2,5)
Además: h
2
+k
2
r
2
= 13→ 4+2513 = r
2
Luego r
2
= 16 → r = 4
3) Determinar si la siguiente ecuación corresponda a una circunferencia:
x
2
+y
2
-4x+6y+14 = 0
Solución:
La condición es: d
2
+c
2
4f > 0→16+36- 4.14 = 16+36 56 56 = 4 no es mayor
que 0
Luego, la ecuación no corresponde a una circunferencia real.
4) ¿Qué ocurre con el centro de la circunferencia en las siguientes casos?
a) x
2
+y
2
-2hx+f = 0 b) x
2
+y
2
-2ky+f = 0
5) ¿Qué ocurre con la circunferencia cuya ecuación es del tipo?
x
2
+y
2
-2hx-2ky = 0
Observación: Teniendo en cuenta la definición de círculo, éste queda definido mediante una
inecuación de 2° grado con dos variables.
}/{),( rCPyPPrCCírculo
la inecuación que define un círculo será:
2
22
rkyhx
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ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS
Dado tres puntos no alineados, existe y es única una circunferencia que los contiene. Interesa
pues hallar la ecuación de la circunferencia cuando se conoce las coordenadas de los puntos.
Sean : P
1
(x
1
,y
1
), P
2
(x
2
,y
2
) y P
3
(x
3
,y
3
) no alineados. Si pertenecen a una misma circunferencia,
sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de esa circunferencia.
Luego:
022
022
022
33
2
3
2
3
22
2
2
2
2
11
2
1
2
1
fkyhxyx
fkyhxyx
fkyhxyx
Queda determinado un sistema lineal de tres ecuaciones con 3 incógnitas h, k y f. Resolviendo
este sistema se obtienen las coordenadas del centro (h,k) y conociendo f se obtiene el radio
con la relación: h
2
+ k
2
f = r
2
.
Ejercicio:
Encontrar la ecuación de la Circunferencia que pasa por los puntos: P
1
(2,1), P
2
(0,1) y
P
3
(0,-1) conociendo que la ecuación puede expresarse según:
INTERSECCION DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA
Dada una recta y una circunferencia incluídas en un plano, los puntos de intersección (si
existen) deben tener coordenadas que satisfacen ambas ecuaciones.
Luego:
),(),( yxCyxP
es la solución del sistema formado por la ecuación de la
circunferencia y de la recta.
20
1022
22
cbyax
fkyhxyx
Para resolver este sistema, en la ecuación de la recta se despeja x o y, ya que a y b no pueden
ser simultáneamente nulos. Supongamos que b≠o, despejamos y
3
b
cax
y
Reemplazamos “y” en la ecuación de la circunferencia por el valor
obtenido en (3)
022
2
2
f
b
cax
khx
b
cax
x
Se obtiene así una ecuación de 2° grado en “x”. Resolviendo esta ecuación se obtienen dos
valores para “x” que si son reales y distintos dan las absicisas de los puntos de intersección de
la recta con la circuferencia.
0
1
1
1
1
33
2
3
2
3
22
2
2
2
2
11
2
1
2
1
22
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
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Reemplazando estos valores en (3), se obtienen las coordenadas de esos puntos.
Puede ocurrir según la naturaleza de las raíces, que se obtengan: a) Dos raíces reales y
distintas, en ese caso la recta es secante. b) Si las raíces son reales e iguales la recta es
tangente. c) Si las raíces son números complejos, la recta es exterior, sin puntos comunes.
Ejercicio:
Hallar los puntos de intersección (si existen) entre la recta de ecuación:
x
2y
1 = 0 y la circunferencia: x
2
+y
2
8x+2y+12 = 0
INTERSECCIÓN DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dadas dos circunferencias incluídas en un plano, pueden ocurrir las siguientes posibilidades:
que tengan dos puntos comunes (secantes), un punto común (tangente) y ningún punto
común.
Sean las circunferencias C
1
y C
2
de ecuaciones:
x
2
+ y
2
2h
1
x
2k
1
y + f
1
= 0 (1)
x
2
+ y
2
2h
2
x
2k
2
y + f
2
= 0 (2)
Los puntos comunes a ambas circunferencias (si existen) son aquellas que sus coordenades
satisfacen ambas ecuaciones. Hallar esos puntos significa hallar las soluciones del sistema
formado por (1) y (2).
Para resolverlo, de acuerdo a lo estudiado en Algebra, se forma el sistema equivalente
tomando la (1) y reemplazando la (2) por la suma entre la (1) y la (2) multiplicada por -1. Esta
última resulta ser la ecuación correspondiente a una recta ya que es de que es de primer grado
con dos incógnitas.
x
2
+ y
2
2h
1
x
2k
1
y + f
1
= 0 (1)
2(h
2
h
1
)x + 2(k
2
k
1
)y + (f
1
f
2
) = 0 (3)
En consecuencia el problema se reduce en encontrar los puntos de intersección entre una
circunferencia y una recta, problema que ya ha sido resuelto.
Ejercicio:
Hallar los puntos de intersección entre las circunferencias C
1
y C
2
de ecuaciones:
2
22
1
22
01328
0964
Cyxyx
Cyxyx
Respuesta:{(4,3);(2,2)}
Notas:
1°) Si las circunferencias son concéntricas se cumple que h
1
= h
2
y k
1
= k
2
.
En este caso los coeficientes de x y de y en la ecuación de la recta (3) se anulan y las
circunferencias no tienen puntos comunes. Si además ocurre que f
1
= f
2
, las circunferencias
coinciden.
2°) La ecuación de la recta (3) que figura en el sistema anterior, es la ecuación del eje
radical de esa circunferencia.
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C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1
POTENCIA DE UN PUNTO-EJE RADICAL
Definición I
Se llama potencia de un punto P con respecto a una circunferencia, al producto constante de
las distancias de dicho punto a los puntos de intersección de toda secante a la circunferencia
que pasa por P.
2
......''. PTPBPBPAPAPPot
c
Constante
Se lee: potencia de P con respecto a la circunferencia de centro C
Definición II:
Se llama eje radical de dos circunferencias no concéntricas al lugar geométrico de los puntos
del plano que tienen igual potencia con respecto a esas circunferencias. Su ecuación como
hemos dicho esta por la ecuación (3):
2(h
2
h
1
)x + 2(k
2
k
1
)y + (f
1
f
2
) = 0
Geométricamente el eje radical esta determinado por los puntos de intersección de las
circunferencias si estas son secantes, por la recta tangente a ambas circunferencias en el punto
común si estas son tangentes, y si no tienen puntos comunes, procede de la siguiente forma:
Se traza una circunferencia auxiliar que sea secante con las dos dadas. Se determinan los ejes
radicales de las circunferencias dadas con la auxiliar. (El centro de esta última no debe
pertenecer a la recta determinada por los centros de las dadas). Por el punto de intersección de
ambos ejes se traza la recta perpendicular a la recta determinada por los centro de las
circunferencias dadas. Esa perpendicular resulta ser el eje radical de las dadas.
En todos los casos el eje radical es perpendicular a la recta determinada por los centros.
T
P
O
A
A´
B
B´
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y
x
C(h,k)
P
0
(x
0
, y
0
)
r
Ejercicio:
Dadas las circunferencias de ecuaciones
2
22
1
22
0612
0423
Cyxyx
Cyxyx
a) Hallar la ecuación del eje radical
b) Investigar si el eje radical corta a las circunferencias
c) Si la respuesta anterior es afirmativa, hallar la longitud de la cuerda común a esas
circunferencias
ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
a) Tangente por un punto perteneciente a la circunferencia
Sean: P
0
(x
0
,y
0
) perteneciente a la circunferencia C→x
2
+y
2
2hx
2ky+f = 0
Si r es la tangente a C por P
0
, debe ser
perpendicular al radio de la circunferencia
en ese punto.
En concecuencia,
0
CP
es un vector normal a
dicha tangente y sus componentes serán los
coeficientes de las variables x e y en la
ecuación de la tangente.
);(
000
kyhxCP
luego la recta r tendrá una ecuación de la
forma:
0)()(
00
cykyxhx
(i)
si P r sus coordenadas deben satisfacer la ecuación anterior, o sea:
0)()(
0000
cykyxhx
(ii)
Restando las igualdades (i) y (ii) y sacando factor común, resulta:
(x
0
h)(x
x
0
)+(y
0
k)(y
y
0
) = 0 que es la ecuación de la tangente a C por P
0
También se puede expresar:
0
0
0
0
xx
ky
hx
yy
En base a esta última expresión se puede obtener la ecuación de la Normal a la circunferencia
por P
0
que es perependicular a la tangente y pasa por el centro. Esa ecuación es:
0
0
0
0
xx
hx
ky
yy
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Ejemplo:
Determinar la ecuación de la tangente a la circunferencia
0125
22
yxyx
por el
punto P
0
(4,1).
Solución:
Verificando si P
0
pertenece a la circunferencia: 16+1-20+2+1=0. Se determinan h y k.
Si 2h = 5
2
5
h
, Si 2k = 2
1 k
. Luego
1,
2
5
C
.
Las componentes de
2,
2
3
11,
2
5
4CP
es el vector normal a la tangente.
Luego:
02
2
3
cyxr
, falta determinar c.
Si P
0
r debe ser:
01.24.
2
3
c
c = 6 2, c = 8
La ecuación de la recta tangente será:
082
2
3
yxr
o bien
01643 yx
Observación:
La ecuación de la tangente dada anteriormente puede expresarse en otra forma:
Sabemos que las coordenadas del punto P
0
(x
0
,y
0
) satisfacen la ecuación de la recta tangente y
de la circunferencia. O sea:
0
0000
yykyxxhx
Tangente
2
2
0
2
0
rkyhx
Circunferencia
Sumando y sacando factor común, se tiene:
2
000000
rkyyykyhxxxhx
cancelando
2
00
rkykyhxhx
o bien
2
00
rkykyhxhx
Se puede observar que esta ecuación se puede obtener en forma inmediata por analogía en la
ecuación de la circunferencia, ya que basta reemplazar un x y una y por x
0
e y
0
coordenadas
del punto de tangencia.
b) Tangente por un punto exterior a la circunferencia
Sea la circunferencia C→x
2
+y
2
2hx
2ky+f = 0 y el punto P
1
(x
1
,y
1
) no perteneciente a la
circunferencia.
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y
x
C (h,k)
P
0
(x
0
, y
0
)
r
P
1
(x
1
, y
1
)
P´
0
(x´
0
, y´
0
)
Determinar la tangente a la circunferencia que pasa por P, significa encontrar el punto de
tangencia que indicaremos con P
0
, conocido ese punto se determina P
1
P
0
que será la tangente
pedida.
Si P
0
pertenece a la recta tangente a la circunferencia debe satisfacer la ecuación obtenida
anteriormente:
2
00
rkykyhxhx
Como esa tangente debe pasar por P
1,
las
coordenadas de este punto satisfacen dicha
ecuación:
2
0101
rkykyhxhx
(1)
Además como P
0
Є C debe verificar la
ecuación de la circunferencia:
2
2
0
2
0
rkyhx
(2)
Se forma el sistema con (1) y (2)
2
0101
2
2
0
2
0
rkykyhxhx
rkyhx
(3)
La solución de este sistema que ya ha sido analizado nos da las coordenadas de P
0
, que
juntamente con P
1
, determinan la tangente pedida (en realidad son dos).
En efecto, el sistema anterior tiene dos soluciones si el punto P
1
es exterior a la circunferencia
y por lo tanto se obtienen las dos tangentes por el punto.en el caso de que el punto P
1
sea
exterior a la circunferencia el sistema no tiene solución.
Por lo tanto, de acuerdo a esto último, antes de hallar P
0
se debe probar si
rCP
1
ya que en
el caso de ser menor el punto es interior y por lo tanto carece de solución.
Ejemplo:
Determinar las ecuaciones de las tangentes (si existen) a la circunferencia de ecuación:
x
2
+y
2
+2x
19 = 0 por el punto P
1
(1,6).
Solución:
Hallamos las coordenadas de centro y el radio:
C (-1,0), r
2
= h
2
+ k
2
f o sea: r
2
=1+0+19 = 20
52r
La distancia de P
1
a C es :
rCP 102400611
22
1
Esto nos dice que el punto es exterior por lo tanto tiene solución.
Las ecuaciones correspondientes a las rectas tangentes son:
082
0112
yx
yx
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