UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CHACO AUSTRAL
RECTA EN EL PLANO
9
PROFESORADO EN CIENCIAS QUIMICAS Y DEL AMBIENTE: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN FISICA: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN MATEMATICA: Álgebra Lineal y Geometría
FARMACIA: Matemática II
INGENIERIAS: QUIMICA, ALIMENTOS, INDUSTRIAL, SISTEMAS DE INFORMACIÓN: Álgebra Lineal y Geometría Analítica
LICENCIATURA EN BIOTECNOLOGÍA: Álgebra Lineal y Geometría
Página | 1
CAPITULO
9
INTRODUCCIÓN
Estudiaremos rectas y puntos en el plano cartesiano, identificando los puntos por pares
ordenados, las rectas por ecuaciones y empleando métodos algebraicos. Utilizaremos la idea
intuitiva de recta, así como las condiciones para determinar una recta que se conocen de
geometría elemental. En lo que sigue, se supondrá que se ha fijado un sistema de coordenadas
cartesianas (O,x,y) en el plano.
ECUACIONES DE UNA RECTA EN EL PLANO
Ecuación vectorial
Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario conocer un punto de la recta y
un vector (no nulo) de igual dirección que la recta, o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la
ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tuviésemos dos puntos A, B,
entonces el vector
AB
es un vector de posición. La ecuación de una recta es una expresión
analítica que permite identificar todos los puntos de la recta.
Sea entonces r la recta que contiene a P
0
y tiene dirección del vector no nulo
);(
21
vvv
.
Entonces un punto P genérico de la recta tendría como
vector posición
OP
. Es claro que
PPOPOP
00
, pero
como
PP
0
y
v
están en la misma dirección, existe un
número real
(llamado parámetro) tal que
vPP
.
0
Por lo tanto se deduce que P r
/
vOPOP
0
esta expresión se conoce como:
Ecuación vectorial de la recta.
Recta en el Plano
2
v
1
v
O
•
P(x,y)
P
0
(x
0
,y
0
)
v
x
y
r
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Ejemplo:
a) Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por P
0
(2,3) y tiene como vector de
dirección
)1,2(v
.
Dado que
vOPOP
0
)1,2()3,2(
OP
)1,2()3,2(),(
yx
b) Calcular la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P(-2,3) y Q(1,4).
Para determinar la ecuación vectorial necesitamos un punto y un vector de dirección, el punto
lo tenemos y un vector de dirección se puede determinar a partir de dos puntos de la recta.
),1,3()34),2(1(
PQ
luego la ecuación vectorial es:
vOPOP
0
)1,3()3,2(
OP
)1,3()3,2(),(
yx
Ecuación Paramétrica
Partiendo de la ecuación vectorial:
vOPOP
0
Escribiendo en función de sus
componentes y desarrollando la igualdad se tiene:
2100
,,, vvyxyx
Igualando componentes se tiene la ecuación paramétrica de la
recta en el plano:
20
10
vyy
vxx
Ecuación Paramétrica, donde v
1
y v
2
son ambos no nulos (pues
0
v
).
Un punto P(x,y)
r
sus coordenadas satisfacen ambas ecuaciones para algún valor real del
parámetro
. Variando
se obtienen las coordenadas de los puntos de r.
Podemos afirmar entonces que: Cada recta del plano es representada por un par de ecuaciones
paramétricas.
Invirtiendo el razonamiento hecho, puede comprobarse que también vale la recíproca de esa
afirmación, es decir que: Cada par de ecuaciones (con v
1
y v
2
ambos no nulos) representan las
ecuaciones paramétricas de una recta, cuya dirección es la del vector
v
de componentes
(v
1
, v
2)
que contiene al punto P
0
(x
0
, y
0
).
Ejemplo:
a) Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta r que es paralela al vector
v
= (1,-3) y
contiene al punto P
0
(-2,4).
Partiendo de la ecuación vectorial
vOPOP
0
, se tiene: (x, y) = (-2,4) +
(1,-3)
(x, y) = (-2+
, 4-3
)
Igualando componentes se tiene:
34
2
y
x
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b) Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos P(1,-1) y Q(0,-3).
Como tenemos dos puntos podemos determinar un vector de dirección de la
recta
2,1)1(3,10 PQ
. Ahora basta con sustituir en la fórmula de la ecuación
paramétrica las coordenadas de un punto, por ejemplo, P y las del vector de dirección que
hemos calculado.
21
1
y
x
Caso Particular:
Si la recta pasa por el origen de coordenadas su ecuación será:
2
1
vy
vx
pues x
0
= y
0
= 0
Ecuación cartesiana de una recta
A partir de las ecuaciones paramétricas
20
10
vyy
vxx
, siempre se puede obtener una
ecuación cartesiana de la recta r, eliminando el parámetro
entre ambas ecuaciones.
20
10
vyy
vxx
1
2
v
v
En estas ecuaciones tenemos tres incógnitas.
Eliminaremos por reducción el parámetro
. Para ello multiplicamos la primera por v
2
y la
segunda por – v
1.
v
2
x = v
2
x
0
+
v
1
v
2
−v
1
y =− v
1
y
0
−
v
1
v
2
Sumando miembro a miembro
v
2
x −v
1
y = v
2
x
0
+
v
1
v
2
−v
1
y
0
−
v
1
v
2
o bien : v
2
x −v
1
y – (v
2
x
0
−v
1
y
0
) = 0 Ecuación Cartesiana de la recta
Si llamamos “a” al coeficiente de x, “b” al coeficiente de y, “c” al termino independiente se
tendrá la: Ecuación Cartesiana de la recta en la forma: ax+ by + c = 0 con a y b
0.
Conclusión:
Cada recta del plano tiene una ecuación cartesiana de la forma ax +by +c = 0 es decir una
ecuación en “x” e “y”. La afirmación recíproca también vale, o sea: cada ecuación de la
forma ax+by+ c = 0 es la ecuación de una recta en el plano cartesiano.
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Esta ecuación ax+by+c = 0 se suele llamar: Ecuación de la recta en forma Implícita.
Casos Particulares
Sea r la recta de ecuación ax + by + c = 0. Nos proponemos ver que ubicación tiene la recta r
en casos particulares en que son nulos algunos coeficientes, teniendo presente que no cabe la
posibilidad a = b = 0.
1) Si a = 0 y b 0, resulta by + c = 0, o sea 1) Si a = 0 y b 0, resulta by + c = 0, o sea
h
b
c
y
Es decir que es este caso la ecuación es la de una recta paralela al eje x, ya que todos los
puntos de la misma tienen la misma ordenada h.
Ejemplo:
y = 2
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 2 4
x
2) Si b = 0 y a 0, resulta ax + c = 0, o sea
k
a
c
x
Es decir que es este caso la ecuación es la de una recta paralela al eje y, ya que todos los
puntos de la misma tienen la misma abscisa k.
Ejemplo:
x =3
-4
-2
0
2
4
y
-2 -1 1 2 3 4 5
x
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3) Si c = 0, resulta ax + by = 0, es decir que el origen pertenece a la recta pues el (0,0)
satisface la ecuación
x
b
a
y
Ejemplo:
y = 3x
-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4
x
Si c 0, la recta no pasa por el origen.
Si b = 0 y c = 0 entonces x = 0 Ecuación del eje y
Si a = 0 y c = 0 entonces y = 0 Ecuación del eje x
Concluimos entonces que si en la ecuación ax+by+c = 0, falta una de las variables por ser
nulo su coeficiente, entonces la recta es paralela o coincidente con el eje de la variable que
falta, según que el término independiente sea cero o distinto de cero, respectivamente. Por
otra parte, si el término independiente es cero la recta contiene al origen.
Forma Explícita de la ecuación de una recta
Si en la ecuación ax+by+c = 0 el coeficiente “b” es no nulo, es decir que la recta no es
paralela al eje y, entonces la ecuación puede transformarse en una equivalente del tipo
ax+by+c = 0 dividiendo por b
bb
c
y
b
b
x
b
a 0
0
b
c
yx
b
a
b
c
x
b
a
y
,
llamando
m
b
a
y
q
b
c
, obtenemos:
y= mx+q Ecuación Explícita de la Recta
Nota: Rectas paralelas la eje y, o sea verticales no pueden representarse por ecuaciones de este
tipo.
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m>0
y
x
x
m<0
y
x
x
m=0
y
x
x
Carece de
pendiente
y
x
x
Significado Geométrico de “m” y “q”
Por v
2
x – v
1
x – ( v
2
x
0
– v
1
y
0
) = 0 , resulta
tg
v
v
v
v
b
a
m
1
2
1
2
Siendo el ángulo que forma la recta con el
semieje positivo de las x que es el mismo que
forma el vector
v
.
Luego m = tg Coeficiente Angular o Pendiente
y es el valor de la tangente trigonométrica del
ángulo que forma el semieje positivo de las x con
la recta.
Al punto de la recta que tiene abscisa nula le
corresponde como ordenada el valor de q por esta
razón q se llama Ordenada al Origen de la recta.
Si r es paralelo al eje x (horizontal) entonces
= 0°
Si r es paralelo al eje y entonces la recta carece de pendiente
Si r no es paralelo al eje x se presentan dos casos m > 0 y m < 0
Representación de la Recta dada en su Forma Explícita
Sea representar
3
3
2
xy
Se representa el punto de intersección
de la recta con el eje y, teniendo en
cuenta la ordenada al origen 3.
Tomando como origen ese punto se
construye el vector cuyas componentes
son el denominador y el numerador del
coeficiente angular, este vector queda
contenido en la recta.
x
y
r
(0,q)
v
v
1
v
2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-4 -2 2 4
x
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Forma Segmentaria de la ecuación de una recta
Si en la ecuación ax+by+c = 0 todos los coeficientes son distintos de cero, la recta que
representa no contiene al origen ni es paralela a ninguno de los ejes, y en ese caso puede
llevarse a la forma: ax+by+c = 0 con a 0, b 0, c 0,
ax+by = − c si dividimos la ecuación por c se
tiene:
c
c
y
c
b
x
c
a
o bien
b
c
y
a
c
x
c
c
Llamando k =
a
c
, h =
b
c
tenemos:
1
h
y
k
x
Ecuación Segmentaria
Es inmediato verificar que los puntos k y h de intersección de la recta con los ejes x e y tienen
coordenadas (k,0) y (0,h) respectivamente.
Es decir
k
y
h
son las longitudes de los segmentos
OK
y
OH
respectivamente. Por esta
razón la ecuación se denomina Ecuación Segmentaria.
Nota: No pueden representarse por ecuaciones de este tipo rectas que pasen por el origen ni
paralelas a los ejes coordenados.
Ecuación Normal de una recta
Otra forma de determinar una recta en el plano es dar un punto que le pertenece y un vector
perpendicular a la misma. Sea r la recta que contiene al punto P
0
(x
0
, y
0
) y es perpendicular al
vector no nulo
),( ban
.
Entonces r es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) tales que
PP
0
es perpendicular a
n
o
es el vector nulo ( o sea P coincide con P
0
), condición que puede expresarse equivalentemente
en términos del producto escalar por la ecuación llamada:
0
0
•
nPP
Ecuación vectorial
Si expresamos
PP
0
y
n
por sus componentes tenemos:
(x-x
0
, y-y
0
)
•
(a, b) = 0, obtenemos:
a(x-x
0
) + b(y-y
0
) = 0 Ecuación de r que contiene al punto P
0
n
,
y
x
H(0,h)
K(k,0)
0
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Obtenemos la ecuación de una recta que contiene al
punto P
0
(x
0
, y
0
) y tiene como vector perpendicular a
n
= (a, b).
Desarrollando ax
ax
0
+by – by
0
= 0
y llamando c = (ax
0
+by
0
)
reemplazando: ax + by (ax
0
+ by
0
) = 0
tenemos la ecuación:
ax + by + c = 0 Ecuación Implícita
pero ahora deducida de una forma que nos permite
tener una interpretación geométrica inmediata de los
coeficientes a, b y c.
En efecto, en la ecuación ax + by + c = 0 tenemos
que “a” y “b” son componentes de un vector
n
normal a la recta, mientras que el término
independiente “c” puede interpretarse como el producto escalar
nOP
•
0
, es decir que si P
0
≠ 0, tenemos:
c=
nOP
•
0
=
cos..
0
nOP
o sea
c
=
cos..
0
nOP
,
y como
cos.
0
OP
, representa la distancia entre O y H, siendo H el punto de intersección de r
con la perpendicular a r trazado por O. Entonces concluimos que “c” es igual al producto del
módulo de
n
por la distancia del origen a la recta r.
Si
n
no es un versor, dividiendo ambos miembros de: ax +by+ c =0 por
22
ban
se la
lleva a la ecuación equivalente:
0
222222
ba
c
y
ba
b
x
ba
a
, Ecuación Normal o Ecuación Normalizada
O bien: a’ x +b’ y + d = 0
donde
22
´
ba
a
a
,
22
´
ba
b
b
,
22
´
ba
c
d
,
es decir que los coeficientes a´ y b´ de x e y representan componentes de un versor normal a
la recta r, son los cosenos directores (ver anexo) de
n
, y en consecuencia
d
es la distancia
del origen a la recta.
Ejercicio:
Determinar las distintas formas equivalentes de representar la recta r determinada por los
puntos A(-2,2) y B(2,5).
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Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas
Dadas dos rectas por sus ecuaciones implícitas:
r
1
a
1
x +b
1
y +c
1
= 0
r
2
a
2
x +b
2
y +c
2
= 0
nos proponemos encontrar las condiciones necesarias y suficientes entre los coeficientes de
ambas ecuaciones para que las rectas sean paralelas y para que sean perpendiculares. Los
vectores
),(
111
ban
y
),(
222
ban
son normales respectivamente a las rectas r
1
y r
2.
Dos rectas son paralelas si y solo si los vectores normales a cada uno de ellas son colineales y
teniendo presente las condiciones de colinealidad entre vectores, es inmediato que r
1
y r
2
son
paralelos si y solo si existe un número
distinto de cero tal que:
2
1
21
.
a
a
aa
y
2
1
21
.
b
b
bb
, y no habiendo coeficientes nulos, estas
condiciones son equivalentes a:
2
1
2
1
b
b
a
a
Condición necesaria y suficiente de paralelismo entre las rectas r
1
y r
2.
Si se cumple que:
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
, las rectas son coincidentes.
Ejemplo:
Las rectas r
1
3 x -2 y -1
= 0 y r
2
6 x -4 y +3
= 0, son paralelas y no coincidentes.
Si las rectas están dadas por sus ecuaciones explícitas:
r
1
y =m
1
x+q
1
r
2
y =m
2
x+q
2
Es inmediato, que la condición necesaria y suficiente de paralelismo es m
1
= m
2
, que otra
parte resulta obvio de la interpretación geométrica de los coeficientes m
1
y m
2
, como
pendientes de cada una de las rectas.
Para deducir condiciones de perpendicularidad, se debe tener en cuenta que r
1
y r
2
serán
perpendiculares si y solo sí lo son sus vectores normales
1
n
y
2
n
, por lo tanto de la condición
de perpendicularidad entre vectores concluimos que la condición necesaria y suficiente de
perpendicularidad entre las rectas r
1
y r
2
es:
;0
2121
• nnnn
0..
2121
bbaa
Ejemplo:
Las rectas r
1
3 x -2 y +1
= 0 y r
2
2x +3 y -4
= 0, son perpendiculares.
Si las rectas están dadas por sus ecuaciones explícitas, la condición de perpendicularidad es
términos de las pendientes es:
1
2
1
m
m
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Ángulos entre dos rectas dadas por sus ecuaciones paramétricas y ecuaciones generales
Dos rectas incluidas en un mismo plano pueden ser
paralelas, en ese caso el ángulo que forma es nulo.
Si las rectas se cortan, forman dos pares de ángulos
opuestos y dos pares de ángulos suplementarios.
Dadas las rectas r
1
de igual dirección que
),(
21
uuu
y r
2
de igual dirección que
),(
21
vvv
.
Uno de los ángulos determinado por esas rectas será
el mismo que el determinado por los vectores
u
y
v
y el otro será el suplementario.
Luego si las rectas r
1
y r
2
están dadas en Forma
Paramétrica uno de los ángulos estará dado por la
expresión del ángulo de dos vectores:
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
21
.
..
),cos(),cos(
vvuu
vuvu
vurr
Si en cambio las rectas están dadas por su Ecuación General
r
1
a
1
x +b
1
y +c
1
= 0
),(
11
abu
r
2
a
2
x +b
2
y +c
2
= 0
),(
22
abv
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
21
.
..
),cos(),cos(
baba
aabb
vurr
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
21
.
..
),cos(
baba
bbaa
rr
Nota: Si las rectas r
1
y r
2
son perpendiculares resulta
0
90cos
= 0.
Luego debe ser: a
1
.a
2
+ b
1
.b
2
= 0
Si en cambio las rectas están dadas por su Ecuación Explícita
r
1
y =m
1
x+q
1
r
2
y =m
2
x+q
2
Considerando
21
y aplicando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos
ángulos se tiene:
21
21
21
.1
tgtg
tgtg
tgtg
Como
11
mtg
y
22
mtg
, resulta:
21
21
.1 mm
mm
tg
2
1
x
y
x
r
1
r
2
d
O
o
u
v
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Nota:
Si las rectas r
1
y r
2
son paralelas
21
0
00 mmtg
Si las rectas r
1
y r
2
son perpendiculares resulta
0
90tg
, no está definida, por lo que
21
.1 mm
= 0
2
1
1
m
m
Ejercicio:
Calcular el ángulo que forman las rectas r
1
y r
2
de ecuaciones:
r
1
x + 2y
1= 0 r
2
3x + y
4 = 0
Ecuación del haz de rectas
La ecuación y = mx + q (1) es la ecuación de cualquier recta del plano. Si P
1
(x
1
, y
1
) es el
punto de la recta cuya ecuación es y = mx + q, sus coordenadas deben verificar dicha
ecuación, o sea:
y
1
= mx
1
+ q Despejando q
q = y
1
mx
1
Reemplazando en (1)
y = mx
+ y
1
mx
1
Ordenando
y
y
1
= m(x
x
1
) Ecuación del haz de rectas que pasan por P
1
Ecuación de la recta determinada por dos puntos
Dados los puntos P
1
(x
1
, y
1
) y P
2
(x
2
, y
2
) siendo
x
1
x
2
.
Como la recta pasa por el punto P
1
y tiene
pendiente m
1
, la ecuación de la recta esta dada
por y
y
1
= m(x
x
1
) (1)
Ahora como el punto P
2
(x
2
, y
2
) pertenece a la
recta, sus coordenadas satisfacen la ecuación,
esto es:
y
2
y
1
= m(x
2
x
1
), de donde
12
12
xx
yy
m
sustituyendo en (1)
1
12
12
1
. xx
xx
yy
yy
Ecuación de la recta determinada por dos Puntos
•
•
P
1
(x
1,
y
1
)
P
2
(x
2,
y
2
)
x
y
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CHACO AUSTRAL
RECTA EN EL PLANO
9
PROFESORADO EN CIENCIAS QUIMICAS Y DEL AMBIENTE: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN FISICA: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN MATEMATICA: Álgebra Lineal y Geometría
FARMACIA: Matemática II
INGENIERIAS: QUIMICA, ALIMENTOS, INDUSTRIAL, SISTEMAS DE INFORMACIÓN: Álgebra Lineal y Geometría Analítica
LICENCIATURA EN BIOTECNOLOGÍA: Álgebra Lineal y Geometría
Página | 12
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Dada una recta r por su ecuación general:
ax + by + c = 0 y un punto P
0
(x
0
,y
0
), deduciremos una
fórmula que proporcione la distancia entre P
0
y la
recta r en términos de los coeficientes a, b y c y las
coordenadas de P
0
.
Deducimos que la distancia entre el punto P
0
y la
recta r es igual al valor absoluto de la proyección del
vector
01
PP
sobre la dirección del vector
n
perpendicular a la recta r, donde P
1
es un punto
arbitrariamente elegido sobre la recta r.
El valor de tal proyección puede expresarse en
términos del producto escalar, sabiendo que:
n/PP oyn n PP
11
00
Pr.•
llamando con “d” a la distancia de P
0
a r y sabiendo que:
ban ,
101001
, yyxxPP
22
1100
22
1010
ba
byaxbyax
ba
yybxxa
n
n PP
d
0
1
•
,
y teniendo en cuenta que P
1
es un punto de la recta r resulta: ax
1
+ by
1
=
c, reemplazando:
22
0
0
ba
cbyax
d
Observamos que para hallar la distancia de un punto a una recta, en la ecuación normalizada
de la recta, se ha reemplazado x e y por las coordenadas del punto dado.
El valor absoluto del número que resulta de realizar las operaciones da la distancia.
Ejercicio:
Hallar la distancia del punto P(-1,4) a la recta de ecuación 4x
3y
9 = 0.
Nota: Si el número que da la distancia considerando su signo es positivo, el punto P, se
encuentra en el semiplano que determina la recta indicado por el sentido del vector normal. Si
es negativo como en el ejemplo dado, en el semiplano contrario.
Caso Particular
Si el punto P
0
(0,0), la distancia es:
22
ba
c
d
r
y
x
P
0
(x
0
,y
0
)
d
P
1
(x
1
, y
1
)
),( ban
O
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Anexo:
Coeficientes directores y cosenos directores
Las componentes del vector
v
, es decir v
1
y v
2
se
llaman coeficientes directores de la recta r.
Estos no son los únicos pues también son
coeficientes directores las componentes de
cualquier vector de la misma dirección de
v
, es
decir de la forma
21
, vv
.
Como caso particular tenemos aquel vector de igual
dirección de
v
y de módulo 1, en este caso los
coeficientes, o de sus componentes se llaman
cosenos directores de la recta.
Esto concuerda con lo visto sobre cosenos
directores de un vector.
Si
1v
es
1
1
cos v
v
v
,
2
2
cos v
v
v
, v
1
y v
2
son cosenos directores.
Intersección de rectas
Dadas las rectas r
1
y r
2
mediante sus ecuaciones cartesianas, para hallar el punto de
intersección se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas:
r
1
a
1
x +b
1
y +c
1
= 0
r
2
a
2
x +b
2
y +c
2
= 0
Debemos determinar r
1
r
2
, es decir el conjunto de puntos cuyas coordenadas verifiquen
ambas ecuaciones. En consecuencia, el problema consiste en resolver el sistema:
222
111
cybxa
cybxa
Como es un sistema lineal con dos ecuaciones con dos incógnitas puede ocurrir que el sistema
sea:
Compatible Determinado: solución única, en este caso las rectas tienen un único
punto de intersección.
Compatible Indeterminado: infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.
Incompatible: las rectas no tienen puntos en común, son paralelas.
v
x
y
r
v
1
v
2
14 Superficies Cuádricas.pdf
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