Práctica 3
16
PRÁCTICA 3
ESPACIOS VECTORIALES
Definición 1: Un espacio vectorial real es un conjunto V cuyos elementos se
llaman vectores, provisto de dos operaciones: suma (+) y producto por
escalares (.).
La suma, que a cada par de vectores (v, w) de V le asigna el vector v + w de V
y el producto por escalares, que a un número real λ y un vector v de V le
asigna un vector λ.v de V, verifican las siguientes propiedades:
i) (v + w) + s = v + (w + s) (asociatividad)
ii) v + w = w + v (conmutatividad)
iii) 0 + v = v + 0 = v para todo v
∈
V (existencia de elemento neutro)
iv) para todo v
∈
V existe otro vector al que llamaremos –v, que verifica
v + (–v) = (–v) + v = 0 (existencia de inverso aditivo)
v) para todo v
∈
V, 1.v = v
vi) si λ
∈
R, v
∈
V y w
∈
V, λ.(v + w) = λ.v + λ.w
(distributividad del producto por escalares respecto a la suma de V)
vii) si λ
∈
R, μ
∈
R y v
∈
V, (λ + μ ).v = λ.v + μ.v
(distributividad del producto por escalares respecto a la suma de R)
viii) si λ
∈
R, μ
∈
R y v
∈
V, (λ. μ ).v = λ.(μ.v)
SUBESPACIOS - GENERADORES
Definición 2: Un subconjunto S de un espacio vectorial es un subespacio si:
i) 0
∈
S
ii) Si v y w son dos vectores de S, la suma v + w
∈
S
iii) Si v
∈
S y λ es cualquier escalar en R, el producto λ.v
∈
S.
Práctica 3
17
Definición 3: Si V es un espacio vectorial real y v
1
, v
2
, …, v
r
son vectores de V,
un vector v de V que se escribe en la forma v = λ
1
.v
1
+ λ
2
.v
2
+ … + λ
r
.v
r
para
algún conjunto de escalares λ
1
, λ
2
, …, λ
r
en R, es una combinación lineal de
v
1
, v
2
,…, v
r
.
El conjunto de todas las combinaciones lineales de v
1
, v
2
, …, v
r
es un
subespacio de V. Se llama el subespacio generado por v
1
, v
2
, …, v
r
y se nota
< v
1
, v
2
,…, v
r
>.
Definición 4: En un espacio vectorial V, un conjunto C = {v
1
, v
2
, …, v
r
} es un
sistema de generadores de V si todo vector de V es combinación lineal de los
vectores de C.
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL – BASES
Definición 5: Un conjunto C = {v
1
, v
2
, …, v
r
} de vectores de un espacio vectorial
se llama linealmente dependiente si existe un conjunto de escalares
λ
1
, λ
2
, …, λ
r
en R, no todos nulos tales que λ
1
.v
1
+ λ
2
.v
2
+ … + λ
r
.v
r
= 0.
En caso contrario, el conjunto se dice linealmente independiente, es decir,
un conjunto C = {v
1
, v
2
, …, v
r
} es linealmente independiente si una
combinación lineal de ellos da cero solamente si los escalares son todos cero
( λ
1
.v
1
+ λ
2
.v
2
+ … + λ
r
.v
r
= 0
⇒
λ
1
= λ
2
= … = λ
r
= 0).
Definición 6: Un conjunto C = {v
1
, v
2
,…, v
r
} de vectores de un espacio vectorial
V es una base de V si es un conjunto de generadores linealmente
independiente.
Propiedad: Dos bases distintas de un mismo espacio vectorial tienen el mismo
número de elementos.
Definición 7: El número de elementos de cualquier base de un espacio vectorial
es la dimensión del espacio vectorial.
En R
n
el conjunto de n-uplas (1,0, … ,0); (0,1,0, … ,0); … (0,0, … ,0,1) es una
base, se llama base canónica de R
n
.
Práctica 3
18
1. Determinar si es posible escribir el vector v = (2,3,4) como combinación
lineal de los vectores dados:
a) (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) b) (1,3,2), (3,0,2)
c) (2,1,0), (1,3,2) d) (1,1,1), (6,9,12)
2. Hallar el valor de k para que el vector (1,5,k) sea combinación lineal de los
vectores (1,1,0) y (1,2,3).
3. Describir geométricamente el subespacio S y decidir en cada caso si los
vectores v y w pertenecen a S.
a) S = < (3,2)> v = (1,
2
3
) w = (6,1)
b) S = < (1,2,3)> v = (
1 2 3
, , )
5 5 5
w = (1,2,3)
c) S = < (1,2,3),
12
( , ,1)
33
> v = (2,4,6) w = (
39
,3, )
22
d) S = < (1,0,1), (1,0,1) > v = (0,0,2) w = (3,1,2)
e) S = < (1,1,2), (2,1,0) > v = (1,0,2) w = (3,0,2)
4. Si u = (1,2,1), v = (3,0,4) y S = < (1,0,1), (0,2,1) >, decidir si el
vector 2u + v
S.
5. Hallar todos los valores de
R para que (10,5,) no pertenezca al
subespacio < (1,1,1), (2,1,3) >.
6. Decidir si los siguientes conjuntos de vectores generan R
n
:
a) n = 2 {(3,2), (2,1)}
b) n = 2 {(3,1), (9,3)}
c) n = 3 {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)}
d) n = 3 {(1,1,1), (0,1,1), (2,1,5)}
e) n = 3 {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1), (1,2,1)}
Práctica 3
19
7. Determinar el valor de a para que el vector (1,1,2) pertenezca al
subespacio S = {(x
1
, x
2
, x
3
) / x
1
+ ax
2
x
3
= 0} .
8. Decidir si los siguientes conjuntos de vectores son o no linealmente
independientes.
a) {(2,1), (3,2)} b) {(2,3), (4,6)}
c) {(1,1,2), (1,0,1), (1,0,1)} d) {(1,1,2), (1,2,1), (0,1,1)}
9. Hallar todos los k
R para los cuales:
a) (1,1,1), (3,2,0), (4,1,k) son linealmente independientes
b) (4,1, k) es combinación lineal de (1,1,1) y (3,2,0).
10. Determinar cuáles de las siguientes sucesiones de vectores son base de
R
3
. Justificar.
a) (1,1,0), (0,1,1) b) (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0)
c) (1,1,0), (0,1,1), (1,1,1) d) (1,1,0), (0,1,1), (0,1,1)
e) (1,2,3), (0,0,1), (1,1,1) f) (1,0,1), (1,2,3), (0,0,1), (1,2,1)
11. Hallar base y dimensión de los siguientes subespacios
a) S = {x
R
3
/
1 2 3
13
12
x x x 0
2x x 0
x x 0
}
b) S = {x
R
3
/ x
1
+ 2x
2
x
3
= 0}
c) S = {x
R
4
/ x
1
+ 3x
2
x
4
= 0}
d) S = < (3,1,2), (2,1,1) >
Práctica 3
20
e) S = {x
R
4
/
1 2 3
34
4
x x x 0
x x 0
x0
}
f) S = < (1,2,1,1), (2,1,3,0), (3,3,4,1) >
12. Hallar dos bases distintas de cada subespacio S
a) S = {x
R
3
/ x
1
+ x
2
+ x
3
= 0, x
1
+ x
3
= 0}
b) S = {x
R
4
/ x
1
+ x
3
= 0, x
2
+ x
3
= 0}
c) S = < (1,1,1), (2,2,4), (2,0,1) >
d) S = < (1,3,0), (2,4,1) >
13. Decidir en cada caso si B es base del subespacio S
a) B = {(1,1,2), (0,1,3)} S = {x
R
3
/ x
1
+ 3x
2
+ x
3
= 0 }
b) B = {(0,1,1), (1,1,0)} S = < (1,3,2), (1,2,1), (1,6,5) >
c) B = {(2,1,1), (1,1,0)} S = < (2,1,1), (1,1,1) >
d) B = {(2,1,1), (3,2,2)} S = < (2,1,1), (1,1,1) >
14. a) Dado el subespacio S = {x
R
4
/ 2x
1
x
2
+ 3x
3
= 0}, hallar una base
de S que contenga al vector (0,3,1,0).
b) Dado el subespacio S = {x
R
3
/ x
1
x
2
+ 2x
3
= 0}, encontrar dos
bases distintas de S, tales que una de ellas contenga al vector
v = (4,2,1) y la otra contenga al vector w = (3,1,2).
15. Hallar a
R para que el vector (1,a,4) pertenezca al subespacio
S = < (1,0,2), (2,1,3) >.
16. Dados los cinco vectores (1,1,2), (2,1,1), (1,2,1), (1,2,1) y (1,2,0)
hallar dos bases distintas de R
3
formadas con los vectores dados.
Práctica 3
21
17. Determinar a y b para que B = {(1,1,0), (0,3,2)} sea una base del
subespacio S = {x
R
3
/ x
1
+ ax
2
bx
3
= 0}.
18. Dado el subespacio S = {x
R
3
/ x
1
+ x
2
x
3
= 0}, encontrar un vector
v
S tal que {(1,1,2), (2,2,1), v} sea linealmente independiente.
19. Si S = {x
R
3
/ x
1
x
2
+ x
3
= 0}, encontrar v
S, v ≠ 0, tal que
v
< (1,3,1), (0,2,1) >.
20. Determinar una base y la dimensión del subespacio
S = < (1,0,0,1), (1,0,0,1), (3,2,0,3), (2,0,0,2) >.
Encontrar un vector v
R
4
que no pertenezca a S.
21. Extender, si es posible, estas sucesiones de vectores a una base de R
3
a) (1,1,2) b) (2,1,0), (1,0,3) c) (1,1,3), (2,2,6)
22. Sean el subespacio S = {x
R
4
/
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
3x x x 2x 0
x x x 0
x x x 2x 0
},
y el vector v = (1,2,1,1). Hallar una base B de S tal que v
B y escribir el
vector v como combinación lineal de los vectores de B.
23. Si S = < (3,1,1,0), (1,2,1,3), (1,3,3,6) > y T = {x
R
4
/ x
2
+ x
3
+ x
4
= 0}
a) decidir si S
T b) determinar la dimensión de S
c) decidir si es posible extender una base de S a una base de T; en caso
afirmativo, hacerlo.
24. Sea S = {x
R
5
/ x
1
2x
3
+ x
5
= 0}. Determinar todos los valores de α y β
en R de modo que los vectores v
1
= (1,0,1,3,1), v
2
= (0,1,1,0,2) y
v
3
= (3,α,β,9,1) formen parte de una base del subespacio S.
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