UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CHACO AUSTRAL
VECTORES
7
PROFESORADO EN CIENCIAS QUIMICAS Y DEL AMBIENTE: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN FISICA: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN MATEMATICA: Álgebra Lineal y Geometría
FARMACIA: Matemática II
INGENIERIAS: QUIMICA, ALIMENTOS, INDUSTRIAL:,SISTEMAS DE INFORMACIÓN: Álgebra Lineal y Geometría Analítica
LICENCIATURA EN BIOTECONOLGIA: Álgebra y Geometría Analítica
Página | 1
CAPÍTULO
7
INTRODUCCIÓN
En Matemática las cantidades correspondientes a ciertas magnitudes quedan determinadas por
un número real (escalar) que es su medida con respecto a una determinada unidad.
Ejemplo: la longitud de una varilla, el volumen de un determinado recipiente, etc. Tales
magnitudes se llaman escalares.
Existen otras cantidades que además de su medida requieren una dirección y un sentido, tales
como las fuerzas, los desplazamientos, las velocidades, etc. Tales magnitudes se llaman
vectoriales y sus cantidades se representan por flechas llamadas vectores.
En Matemática el estudio de los vectores tiene gran importancia por sus múltiples
aplicaciones, en especial a la Física. Este concepto es lo que estudiaremos en el presente
capítulo.
EXPRESION CANÓNICA DE UN VECTOR EN
2
y
3
.
Sabemos que la posición de un punto cualquiera de la recta, del plano o del espacio queda
determinada si se da un número real, un par de números reales o una terna de números reales,
respectivamente llamadas coordenadas.
Pero también puede determinarse la posición de dicho punto dando un vector cuyo extremo
sea el punto considerado.
A cada punto del espacio considerado le podemos asociar, entonces un vector con origen en
O y extremo en el punto y, recíprocamente, a cada vector con origen en O podemos asociarle
el punto de dicho espacio que corresponde a su extremo.
Queda establecida así una biyección entre los puntos del espacio considerado y los vectores
con origen en O.
Vectores
o
x x
o x x
y
y
(x,y)
o
x
y
z
z
y
x
(x,y,z)
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El vector que hacemos corresponder con un punto suele llamarse vector asociado al punto o
vector posición del punto y es la representación geométrica del vector.
VECTORES EN EL PLANO
Definición. Un vector
u
en el plano “xy” es un par ordenado de números reales (u
1
, u
2
). Los
números u
1
y u
2
se denomina componentes del vector.
Notación:
21
,uuu
Expresión analítica
Existen dos vectores especiales en
2
el (1,0)
que denotamos con el símbolo
i
y el vector
(0,1), que denotamos
j
. Estos vectores se
llaman vectores canónicos o versores.
Combinación Lineal
Dados n vectores de
2
:
n
vvvv
,........,,
321
, y n escalares ( números reales )
1
,
2
,
3
,…….,
n
, llamaremos combinación lineal de los vectores dados al vector dado por:
nn
vvvv
..........
332211
Si
vuw
.5.3
se dice que
w
es combinación lineal de
u
y
v
Propiedad
Los versores fundamentales gozan de la siguiente propiedad:
Todo vector de
2
se escribe de manera única como combinación lineal de los versores
fundamentales.
En efecto, sean los vectores:
222
111
,01,0..
0,0,1..
uuju
uuiu
Sumando miembro a miembro:
uuujuiu
2121
;..
,
O sea:
juiuu
..
21
u
es combinación lineal de
j, i
A ésta última expresión se llama expresión cartesiana o canónica del vector
u
.
Los versores fundamentales reciben el nombre de base canónica de
2
.
Módulo o Norma de un vector
Definición: Es la longitud del segmento orientado que lo representa.
Considerando el vector
u
representado por el vector
OP
por el Teorema de Pitágoras
podemos decir que el módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada positiva no nula de la
suma de los cuadrados de sus componentes.
2
2
2
1
uuu
, es claro que
00 siy 0
u uu
i
j
x
y
u
2
u
1
u
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Vector nulo: es aquel representado por el par ordenado (0,0). Su módulo es cero y no tiene
dirección.
Versor o vector unitario: es todo vector de módulo uno. En consecuencia todo versor define
una dirección y un sentido.
Ángulos Directores
La dirección de un vector en
2
también está determinada
por los ángulos
y
que forma con los semiejes
positivos x e y respectivamente.
La medida de cada uno de estos ángulos se encuentra entre
0 y
inclusive.
Cosenos Directores
Los cosenos directores de un vector son los de sus ángulos directores.
Los cosenos directores son: cos
y cos
, del gráfico como += 90º entonces cos = sen,
por lo tanto:
Propiedad: La suma de los cuadrados de los cosenos directores vale 1.
1coscos
cos
cos
22
2
2
2
2
2
2
1
2
u
u
u
u
Igualdad de vectores
Dos vectores dados en su expresión analítica
21
,uuu
y
21
,vvv
son iguales si y solo si: u
1
= v
1
y u
2
= v
2
Adición de vectores
Para sumar dos vectores en el plano se suman sus
componentes correspondientes, obteniéndose como resultado
un vector del plano.
Sean
21
,uuu
y
21
,vvv
2211
, vuvuvu
Geométricamente, la suma de dos vectores en el plano es la
diagonal del paralelogramo cuyos lados adyacentes son los
vectores
u
y
v
.
u
u
u
u
21
cos,cos
y
juiuu
21
P
O
x
1
u
2
u
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Nota: Podemos considerar a la diferencia de vectores como un caso particular de la adición
siendo
u
menos
v
igual a
u
más el opuesto de
v
Es decir:
u
-
v
=
u
+ (-
v
)
Producto de un vector por un escalar
Se llama producto de un escalar (Nº Real) por un vector
u
, a otro vector que tiene:
➢ la misma dirección que el vector
u
➢ el mismo o distinto sentido que
u
, según que sea positivo o negativo;
➢ el módulo es igual al producto del valor absoluto de por el módulo de
u
. .
Cumple con las propiedades: asociativa mixta, distributiva respecto de la adición de escalares,
distributiva respecto a la adición de vectores, elemento neutro.
Ejemplo:
Sea el vector
u
= (2,-3) calcular
v
= 2.
u
Aplicando la definición de multiplicación de un vector por un escalar resulta:
v
= (4,-6)
VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Hemos visto que cualquier punto del plano
puede representarse como un par ordenado de
números reales (u
1,
u
2
). De la misma manera,
cualquier punto en el espacio
3
, se puede
representar por una terna ordenada de números
reales (u
1,
u
2,
u
3
). Un vector en el espacio es una
terna ordenada de números reales.
Notación:
321
,, uuuu
Expresión analítica
Consideremos ahora un sistema ortonormal de
3
zyx ,,,0
donde los ejes son perpendiculares
dos a dos.
Llamaremos versores fundamentales a los
vectores:
,1,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1 kji
tienen
módulo uno y la dirección y el sentido
corresponde a cada uno de los semiejes
positivos.
Todo vector de
3
se escribe de manera única como combinación lineal de los versores
fundamentales.
1,0,0k
0,0,1i
0
x
z
y
0,1,0j
2121
2
21
.,.,.:,, uuuuuuu
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En efecto, sean los vectores:
333
222
111
,0,01,0,0..
0,,00,1,0..
0,0,0,0,1..
uuku
uuju
uuiu
Sumando miembro a miembro:
uuuukujuiu
321321
;;...
O sea:
kujuiuu
...
321
u
es combinación lineal de
k, j, i
A expresión se llama expresión cartesiana o canónica del vector
u
.
Los versores fundamentales reciben el nombre de base canónica de
3
, más adelante
veremos el concepto de base.
Modulo o Norma de un vector
Sea
321
,, uuuu
, se puede demostrar que:
2
3
2
2
2
1
uuuu
Ángulos y Cosenos Directores
La dirección y el sentido de un vector de
3
quedan determinados por los llamados ángulos
directores y en modo especial por los cosenos directores que son los cosenos de dichos
ángulos.
Los ángulos directores son aquellos ángulos que determinan los semiejes positivos de un
sistema cartesiano con el vector posición. (Es aquel que se considera con origen en el origen
de coordenadas).
u
u
1
cos
;
u
u
2
cos
;
u
u
3
cos
(1)
Los cosenos directores son proporcionales a las componentes del vector. Despejando
u
e
igualando resulta:
coscoscos
3
21
u
uu
Los tres números que representan a los cosenos directores definen una dirección y un sentido,
que deben cumplir con la siguiente relación fundamental:
Elevando al cuadrado las igualdades (1) y sumando miembro a miembro resulta:
1coscos cos
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
1
222
u
u
u
u
u
u
u
u
1coscoscos
222
Relación Fundamental
u
o
u
2
u
3
z
y
x
u
1
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Nota:
2
2
3
2
2
2
1
uuuu
pues la suma de los cuadrados de las aristas de un
paralelepípedo rectángulo que concurren en un vértice, es igual al cuadrado de la diagonal.
Coeficientes Directores
Se llama así a todo terna de números reales que resulten proporcionales a los cosenos
directores.
El par (u
1
, u
2
, u
3
) es una terna de coeficientes directores si verifica:
cos
cos
cos
3
2
1
ku
ku
ku
Despejando k e igualando resulta:
coscoscos
221
uuu
Las mismas componentes de un vector son un caso particular de coeficientes directores.
Si
u
=1, las componentes de
u
son los cosenos directores.
Calculo de las Componentes
Hemos dicho que los cosenos directores definen una dirección y un sentido, pero si se conoce
también el módulo, se puede calcular las componentes del vector.
Ejemplo:
Sean:
5y
6
23
cos ;
3
1
cos ;
2
1
cos u
Verificamos previamente que se cumple la relación fundamental de los cosenos
1
36
36
36
2349
36
23
9
1
4
1
coscoscos
222
6
235
,
3
5
,
2
5
6
235
6
23
.5cos
3
5
3
1
.5cos
2
5
2
1
.5cos
3
2
1
u
uu
uu
uu
Igualdad de vectores
Dos vectores dados en su expresión analítica
321
,, uuuu
y
321
,, vvvv
son iguales si y solo si:
11
vu
,
22
vu
y
33
vu
.
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Adición de vectores
Para sumar dos vectores en
3
se suman sus componentes correspondientes, obteniéndose
como resultado otro vector de
3
Sean
321
,, uuuu
y
321
,, vvvv
332211
,,/ vuvuvuwwvu
El conjunto de vectores de
3
con la adición cumple las mismas propiedades que en
2
, o sea
que se puede demostrar que (
3
, +) tiene estructura de grupo abeliano. El elemento neutro es
el vector nulo
0,0,00
y el opuesto de un vector
321
,, uuuu
es
321
,, uuuu
Producto de un vector por un escalar
En forma análoga a lo definido en
2
se define la multiplicación de un escalar por un vector
en
3
Cumple con las propiedades: asociativa mixta, distributiva respecto de la adición de escalares,
distributiva respecto a la adición de vectores, elemento neutro.
VECTORES EN EL ESPACIO n-DIMENSIONAL
Utilizando como modelo los vectores en
2
y en
3
extenderemos el análisis al espacio n-
dimensional.
Llamamos vector n-dimensional a una n-upla de números reales
n
uuuuu ,........,,
321
Cuando “n” es mayor que tres, se pierde toda intuición geométrica y se efectúan los
razonamientos únicamente en forma algebraica.
Base canónica:
n
eeee ,....,,
321
Expresión canónica:
nn
eueueueuu ......
332211
Módulo o Norma: Sea
n
uuuuu ,........,,
321
entonces
22
3
2
2
2
1
.........
n
uuuuu
El vector nulo queda definido por
0,.....,0,0,00
con sus n componentes iguales a cero.
Igualdad de vectores
Dados
n
uuuuu ,.........,,
321
y
n
vvvvv ,.........,,
321
son iguales si y solo si:
u
1
= v
1
, u
2
= v
2
, u
3
= v
3
,……….., u
n
= v
n
Adición de vectores
Sean
n
uuuuu ,,.........,,
321
y
n
vvvvv ,.........,,
321
.
Se define
nn
vuvuvuvuwwvu ..,,.........,,/
332211
(
n
, +) tiene estructura de grupo abeliano. El elemento neutro es el vector nulo
0
y el opuesto
de un vector
n
uuuuu ,.........,,
321
es
n
uuuuu ,,.........,,
321
.
321321
3
321
.,.,.,,.:,,, uuuuuuuuuu
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Producto de un vector por un escalar
En forma análoga a lo definido en
2
y
3
se define la multiplicación de un escalar por un
vector en
n
Cumple con las propiedades: asociativa mixta, distributiva respecto de la adición de escalares,
distributiva respecto a la adición de vectores, elemento neutro.
VECTOR DETERMINADO POR DOS PUNTOS CUALESQUIERA
El estudio de los vectores se puede hacer mediante la representación geométrica o bien
mediante la representación analítica, que es lo que trataremos de determinar.
Para ello consideraremos un sistema de coordenadas rectangulares en el plano
2
.
El punto P
1
determina el
11
1
, yxOP
, el punto P
2
determina el
22
2
, yxOP
.
Como
221
1
OPPPOP
resulta que
1221
OPOPPP
=
1122
,, yxyx
de donde resulta que:
121221
; yyxxPP
Siendo los números x
2
x
1;
y
2
y
1
las componentes del vector cuando se conocen las
coordenadas del origen y del extremo.
Distancia entre dos Puntos
0 x
1
x
2
x
y
2
y
1
P
2
(x
2
,y
2
)
x
2
x
1
y
y
2
y
1
P
1
(x
1
,y
1
)
N
nn
n
n
uuuuuuuuuuuuu .,......,.,.,....,,.:,.....,,,
321321321
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En
2
, siendo
121221
, yyxxPP
la distancia entre P
1
y P
2
es el módulo de
21
PP
:
2
12
2
1221
() yyxxPP
En
3
sea:
12121221
,, zzyyxxPP
el módulo está dado por:
2
12
2
12
2
1221
zzyyxxPP
Esta última es la expresión analítica de la distancia entre dos puntos del espacio.
Ejemplo:
Dados los puntos P
1
(2, 1, 3)
,
P
2
(2, 1, 0)
y P
3
(0, 1, 3) determinar
a) el vector
21
PP
3,0,030,11,22
2
121
PPPP
b) el módulo del vector
21
PP
39300
2
22
21
PP
PARALELISMO ENTRE VECTORES
Dos vectores son paralelos si sus componentes homólogas son proporcionales.
En símbolos si:
vuvu
. //
Considerando sus componentes:
En
2
si
vu
.
es:
2121
.;.; vvuu
para que se verifique esta igualdad debe ser:
2
2
22
1
1
11
.
.
v
u
vu
v
u
vu
2
2
1
1
v
u
v
u
Luego: dos vectores son paralelos si y solo si sus componentes homólogas son
proporcionales.
En
3
se verifica:
3
3
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u
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En
n
se verifica:
n
n
v
u
v
u
v
u
v
u
......
3
3
2
2
1
1
Ejercicio:
Dados los vectores
u
y
v
, verificar si los vectores son paralelos siendo:
4;2;6 2;1;3 vu
PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO
El producto escalar o producto punto de dos vectores puede definirse para un par de vectores
de o un par de vectores de
2
de
3
o
n
Definición I: Se llama producto escalar o producto punto de dos vectores al número que se
obtiene de sumar los productos de las componentes homólogas de los vectores dados.
Se indica:
vu
•
332211
... vuvuv uvu •
Observar que el producto punto entre dos vectores da por resultado un número. (Esto es por
lo que en ocasiones
vu •
se denomina producto escalar de
u
y
v
).
Ejemplo:
2;1;3 4;1;2 vu
154162.41.13.2 • vu
Daremos una segunda definición de producto escalar o producto punto y se puede demostrar
que es equivalente a la primera.
Definición II: Se llama producto escalar o producto punto de dos vectores al producto de sus
módulos por el coseno del ángulo que ellos determinan.
cos.. vu vu
•
Siendo
el ángulo convexo que determinan los vectores
y vu
al considerarlos aplicados
en un mismo punto.
Ejemplo: Hallar el producto punto de
y vu
siendo
º30,;4,5 vuvu
3.10
2
3
.20º30cos.4.5 • vu
Nota: Como los módulos de los vectores son números positivos, el signo del producto punto
depende del ángulo. Si es agudo es positivo, si es recto es nulo y si es obtuso es negativo.
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Propiedades del producto punto
El producto punto cumple las siguientes propiedades fundamentales
P
1
:
uvvu
••
Conmutativa
P
2
:
wuvuwvu
•••
Distributiva con respecto a la suma de vectores.
P
3
:
v. . .
••• uvuvu
Asociativa combinada
P
4
:
0 •uu
Si
uu
•
=0
0
u
Mediante la expresión analítica de un vector se pueden demostrar todas las propiedades
anteriores.
ÁNGULOS ENTRE DOS VECTORES
La fórmula del producto punto en forma geométrica permite calcular el ángulo entre dos
vectores si se conoce el producto escalar y los módulos.
vu
vu
vu vu
.
coscos..
•
•
Yen función de sus componentes será:
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
.
...
cos
vvvuuu
vuvuvu
Casos particulares
Si los vectores son paralelos el ángulo que forman es de 0º y como cos0º =1 resulta:
vu vu
. •
Si
vu
la igualdad anterior queda:
2
u uu
•
Se expresa: El producto punto de un vector por si mismo es igual al producto de sus módulos.
CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD
Si los vectores son perpendiculares el producto punto de acuerdo a la fórmula:
cos.. vu vu
•
,es igual a cero, pues cos 90º = 0. Luego:
0 vu •
. En función de sus componentes se tiene:
vuv uv uv uvu
• 0...
332211
PROYECCION DE UN VECTOR SOBRE OTRO
Dados dos vectores
u
y
v
siendo
v
0
y tomando con el mismo origen. Si por el extremo
de
u
se traza una perpendicular a la recta sostén de
v
, queda determinado un punto P. El
origen O y P determinan un vector que se llama vector proyección de
u
sobre
v
.
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VECTORES
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PROFESORADO EN CIENCIAS QUIMICAS Y DEL AMBIENTE: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN FISICA: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN MATEMATICA: Álgebra Lineal y Geometría
FARMACIA: Matemática II
INGENIERIAS: QUIMICA, ALIMENTOS, INDUSTRIAL:,SISTEMAS DE INFORMACIÓN: Álgebra Lineal y Geometría Analítica
LICENCIATURA EN BIOTECONOLGIA: Álgebra y Geometría Analítica
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A
`u
`u
`u
= 0
Vector proyección
u
=
OP
=
`u
En el primer ejemplo
`u
y
v
tienen igual sentido.
En el segundo ejemplo
`u
y
v
tienen sentidos opuestos.
En el tercer caso
u
y
v
tienen direcciones perpendiculares, en consecuencia
`u
= 0.
Al número u´ se lo llama proyección de
u
sobre
v
y se indica:
vuoy
/ Pr
= u´.
Nota: Tener en cuenta que el vector proyección es un vector
`u
y la proyección es un
número real u´.
Interpretación geométrica del producto punto
La proyección de un vector
u
sobre otro
v
es igual al módulo del vector
u
por el coseno del
ángulo que determinan
u
y
v
. Teniendo en cuenta la figura resulta:
En el triángulo la hipotenusa es
u
u
v/uoy
Pr
cos
v/uoyv
u
v/uoy
vu vu vu
Pr.
Pr
..cos.. •
En el triángulo la hipotenusa es
v
v
u/voy
Pr
cos
uvoyu
v
u/voy
vu vu vu
/Pr.
Pr
..cos.. •
Se infiere: el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno cualquiera de ellos
por la proyección del otro sobre la dirección del primero.
Observación:
v/uoy
Pr
: Proyección de
u
sobre la dirección de
v
uvoy
/ Pr
: Proyección de
v
sobre la dirección de
u
O
v
P
P O
v
O
v
u
u
u
v
u
uvoy
/Pr
u
v
vuoy
/ Pr
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PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Antes de considerar esta nueva operación entre vectores de
3
analizaremos las posibles
orientaciones de un sistema de ejes en el espacio tridimensional. Es fácil ver en la figura que
no puede llevarse uno de esos triedros sobre el otro de manera que coincidan el origen y los
semiejes positivos del mismo nombre. Se dice que esos triedros tienen distinta orientación. En
efecto: Si logramos hacer coincidir los semiejes positivos de las “x” y de las “y” ocurre que
los sentidos de los semiejes de las “z” son opuestos.
Las operaciones suma de vectores y producto de un real por un vector, son operaciones
definidas tanto en como en
2
o
3
.
Definiremos ahora una nueva operación llamada multiplicación vectorial, que resulta
definida únicamente en
3
Esta operación hace corresponder a cada par ordenado de vectores
vu
,
un nuevo vector que
se indica
vu
y que se llama producto vectorial o producto cruz de
u
y
v
(en este orden)
El vector
vu
tiene un sentido que está dado por el sentido de avance de un tornillo que gira
yendo de
u
hacia
v
.
Otra forma de recordar el sentido del producto vectorial o producto cruz es la regla de la
mano derecha, el sentido de
vu
es el sentido en el que apunta el dedo pulgar cuando los
dedos de la mano derecha están curvados de
u
hacia
v
.
Es decir, si se coloca la mano derecha extendida con el pulgar separado de los otros cuatro
dedos unidos, haciendo coincidir el primer vector de la base,
i
, en dirección y sentido, con los
cuatro dedos unidos y de modo tal que la palma esté dirigida hacia el segundo vector de la
base
j
, pueden presentarse dos situaciones distintas:
i) que el dedo pulgar indique el sentido del tercer vector
k
, como en le caso de la figura
a), en este caso, se dice que se tienen una base, o una terna de vectores, o un triedro
positivo, directo, derecho o dextroso.
i
k
i
k
j
x
z
y
y
z
x
u
vuw
v
u
uvw
v
j
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ii) que el dedo pulgar señale el sentido opuesto al vector
k
, como en la figura b), en este
caso se llama izquierdo, negativo o inverso.
Fig a) Fig b)
Cuando se determina un sistema de ejes cartesianos, el cual se refiere a todo el espacio, se
puede decir que se ha fijado una orientación del espacio y se habla de espacio derecho o de
espacio izquierdo según sea la base del sistema de referencia.
Definición
Dados dos vectores
u
y
v
, en ese orden, se llama producto vectorial o producto cruz de los
mismos, a un nuevo vector que se indica
vu
tal que:
➢ su módulo es igual al producto de los módulos de los vectores dados por el seno del
ángulo que forman, s i
wvu
, entonces:
vusenvuw
,.
.
➢ la dirección es perpendicular al plano determinado por las direcciones de
u
y
v
.
➢ el sentido es tal que la terna
vuvu
,,
tengan la misma orientación del espacio.
Propiedades fundamentales
P
1:
uvvu
Es semiconmutativa.
P
2
: Si
es un escalar:
vuvuvu
...
P
3
:
wuvuwvu
Distributiva con respecto a la suma de vectores.
Propiedad
Dos vectores no nulos son colineales (igual dirección) si y sólo si su producto vectorial es
nulo.
En efecto si los vectores no son nulos sus módulos son distintos de cero, en consecuencia para
que el producto vectorial tenga módulo cero deben ser cero el seno del ángulo que forman
esos vectores. Para que el valor del seno sea cero el ángulo debe ser 0º o 180º. Es decir los
vectores tienen que tener igual dirección (ser colineales).
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Producto vectorial de los versores
Si multiplicamos vectorialmente los versores de la base canónica obtenemos:
0º0 ..
seniiii
0
kkjjii
1º09 .. senjiji
jikikjkji
,,
Por propiedad anticonmutativa
jkiijkkij
,,
En resumen:
jik
ikj
kji
0
0
0
kk
jj
ii
jki
ijk
kij
Expresión analítica del producto vectorial o producto cruz
Dados dos vectores
u
y
v
, por sus componentes
321
,, uuu
y
321
,, vvv
respectivamente, se
puede demostrar en base a la expresión cartesiana de los vectores y aplicando las propiedades
de producto vectorial dadas anteriormente que la expresión analítica del producto vectorial
está dado por:
21
21
31
31
32
32
; ;
vv
uu
vv
uu
vv
uu
vu
Una forma de recordar las componentes del vector producto vectorial de
u
y
v
es observar
que corresponden al resultado de eliminar la primera, segunda y la tercera columna,
respectivamente, de la matriz:
321
321
vvv
uuu
teniendo siempre cuidado de que a la segunda componente es necesario cambiarle el signo
Otra forma de recordarlo, procedente de la física, es la siguiente:
Si multiplicamos vectorialmente
kujuiuu
321
.
y
kvjvivv
321
.
kkvujkvuikvu
kjvujjvuijvukivujivuiivuvu
......
...
332313
322212312111
jkvuikvukjvuijvukivujivuvu
......
231332123121
asociando
kvuvujvuvuivuvuvu
122131132332
.....
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