1
Residuos
El residuo de una función f(z) en z = z
0
es el coeficiente del
término 1/(z-z
0
) en la expansión en serie de Laurent de f(z):
el coeficiente b
1
.
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+−+−+−+=
4
0
4
3
0
3
2
0
2
0
1
3
03
2
02010
)()()(
)()()()(
zz
b
zz
b
zz
b
zz
b
zzazzazzaazf
1
)(Res
0
bzf
zz
=
El residuo de f(z) en z=z
0
se denota como:
++++−−=
+−
+−
842
111
23
32
2
22
zz
zzzz
z
1
1
−= b
Ejemplo:
2
¿Porqué es importante el residuo?
Para f (z) analítica dentro de un anillo, tenemos:
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+−+−+−+=
4
0
4
3
0
3
2
0
2
0
1
3
03
2
02010
)()()(
)()()()(
zz
b
zz
b
zz
b
zz
b
zzazzazzaazf
−
+
−=
−
=
C
n
n
C
n
n
dzzzzf
i
bdz
zz
zf
i
a
1
0
1
0
))((
2
1
,
)(
)(
2
1
Así:
1
2)( ibdzzf
C
=
C
0
z
Nos permite calcular integrales ...
n = 1
3
Ejemplo
iibdz
z
C
22
1
1
1
−==
−
Integrar la función en sentido positivo para |z |=2.
z−1
1
2=z
−−−−
++++
=
−
1
111
11
1
1
32
32
z
zzz
zzzz
z
Observemos que por la fórmula integral de Cauchy:
iigdz
z
zgidz
zz
zg
CC
2)1(2
1
1
)(2
)(
0
0
−=−=
−
−→=
−
punto
singular
z = 1
centro
4
iibdz
z
C
22
1
1
1
−==
−
Tomemos como centro z
0
=1
2=z
−
−
−=
−
=
10
,
1
1
1
1
)(
z
zz
zf
centro z
0
=1
punto
singular
La serie de Laurent posee un sólo término.
como antes.
5
iibdz
zz
z
C
22
23
32
1
2
−==
+−
+−
Ejemplo: Integrar la función en sentido positivo
para |z|=3/2.
Por la Fórmula Integral de Cauchy:
iigdz
z
dz
z
zgidz
zz
zg
CCC
2)1(2
1
1
2
1
)(2
)(
0
0
−=−=
−
−
−
−→=
−
23
32
2
+−
+−
zz
z
−−−−−
++++−−
+++
=
+−
+−
z
zzzz
z
zz
zz
zzz
zz
z
2
9532
21
842
111
1
8
9
4
5
2
3
23
32
432
2
2
2
2
0
2/3=z
6
Observemos que el residuo nos permite calcular integrales
de funciones analíticas f (z) sobre una curva cerrada C cuando
f (z) tiene un punto singular dentro de C.
1
2)( ibdzzf
C
=
C
0
z
donde b
1
es el residuo de la serie de Laurent que representa
a f (z) alrededor de z
0
en un anillo que contiene a C.
7
¿De dónde viene el nombre de residuo?
0
0 1
0
0 1
)(
1
2
1
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
2
1
)(Res
0
−
+−
=
−
+−
=
=
=
=
=
=
C
n
o
n n
n
C
n
on
C
n n
n
o
n
n
on
C
zz
dz
zz
b
i
dzzza
i
dz
zz
b
zza
i
dzzf
i
zf
para todo n, excepto
para n = 1, que vale:
De aquí el nombre de “residuo”.
C
0
z
i
2
11
2
2
1
)(Res
0
bib
i
zf
zz
==→
=
8
¿Es preciso hallar la serie de Laurent de f(z) para calcular la
integral?
No, si los puntos singulares z
0
son polos.
En esos casos hay formas rápidas y simples de hallar el residuo.
Veremos:
1. Cómo hallar el residuo para un polo
simple, z
0
=1, como en el caso
2. Cómo hallar el residuo para un polo de
orden 2, z
0
=1, como en el caso
3. Cómo hallar el residuo para un polo de
cualquier orden ...
1
sin4
−z
z
7
)3(
2
iz
e
z
+
2
)1(
33
−
−
z
z
9
Fórmula para hallar el residuo para un polo simple
Si f (z) tiene un polo simple en z
0
, la serie de Laurent es:
( )
Rzz
zz
b
zzaazf −
−
++−+=
0
0
1
010
0)()(
1
2
01000
)()()()( bzzazzazfzz ++−+−=−
10
)()(lim
0
bzfzz
zz
=−
→
)()(lim)(Res
0
0
0
zfzzzf
zz
zz
−=
→
=
Situamos el centro en
el punto singular
10
Ejemplo
Hallar el residuo de en z=i
4)(
)2(
lim
)1)((
)2)((
lim
)()(lim)(Res
22
0
0
0
i
iz
iz
ziz
iziz
zfzzzf
iziz
zz
zz
−=
+
−
=
++
−−
=
−=
→→
→
=
)1)((
2
)(
2
++
−
=
ziz
iz
zf
Comprobémoslo mediante la serie de Laurent:
( )
( )
2
3
3
2
2
2
2
2
2
22
)(
2
1
)(
16
5
4
11
4
)2(
)(
4
)2(
)(
3
2
)(
21
)2)((
)(2
)2/()(1
1
)2)((
)(2
)(2
1)(2
)(
1)(2
)1)((
2
)(
iziz
iz
i
i
iz
i
iz
i
iz
iiz
iiz
iiz
iiz
iiz
izi
iz
iiz
iziz
iiz
ziz
iz
zf
−+−−−
−
−=
+
−
−
−
+
−
−
−
+−
=
−+
−
+−
=
−+
−
+−
=
+−
+−
=
++
−
=
( )
20 − iz
i
i−
11
Ejemplo
Hallar el residuo en los polos de
2
1
2
1
lim
)2(
1
lim)(Res
00
0
−=
−
+
=
−
+
=
→→
=
z
z
zz
z
zzf
zz
z
zz
z
zf
2
1
)(
2
−
+
=
+−−−−=
+++
+
−=
−
+
−=
−
+
=
16
3
8
3
4
3
2
1
22
1
2
1
2/1
1
2
1
)2(
1
)(
2
2
2
zz
z
zz
z
z
zz
z
zz
z
zf
( )
20 z
2
31
lim
)2(
1
)2(lim)(Res
22
2
=
+
=
−
+
−=
→→
=
z
z
zz
z
zzf
zz
z
+
−
−
−
+−
−
=
+
−
+
−
−
−
+−
=
−−−−
+−
=
−+−
+−
=
−
+
=
8
)2(
4
)2(
2
1
)2(2
3
2
)2(
2
2
1
)2(2
3)2(
2/)2(1
1
)2(2
3)2(
)2(2
1
)2(
3)2(
)2(
1
)(
2
2
2
zz
z
zz
z
z
zz
z
zz
z
zz
z
zf
( )
220 − z
Comprobarlo a través de la de Laurent:
0
2
12
Fórmula para hallar el residuo para un polo de orden 2
Si f (z) tiene un polo de orden 2 en z
0
, la serie de Laurent es:
2
0
2
0
1
010
)(
)()(
zz
b
zz
b
zzaazf
−
+
−
++−+=
)()(lim)(Res
2
0
0
0
zfzz
dz
d
zf
zz
zz
−=
→
=
201
3
01
2
00
2
0
)()()()()( bzzbzzazzazfzz +−++−+−=−
derivando obtenemos:
1
2
0100
2
0
)(3)(2)()( bzzazzazfzz
dz
d
++−+−=−
1
2
0
)()(lim
0
bzfzz
dz
d
zz
=−
→
13
Ejemplo
Hallar el residuo de en z=1
9
2
)2(
2
lim
2
lim
)()(lim)(Res
2
11
2
0
0
0
=
+
=
+
=
−=
→→
→
=
zz
z
dz
d
zfzz
dz
d
zf
zz
zz
zz
2
)1)(2(
)(
−+
=
zz
z
zf
−
−
+−
−
+
−
=
−
−+
−
−
−
+−
=
−
−
+
−
−
−
+−
=
−−−−
+−
=
−+−
+−
=
−+
=
81
)1(2
27
2
)1(9
2
)1(3
1
3
)1(
3
1
)1(3
1
)1(
1
3
1)1(
3
)1(
3
1
1
)1(3
1)1(
)3/)1((1
1
)1(3
1)1(
)1(3
1
)1(
1)1(
)1)(2(
)(
2
3222
2
2
222
z
zz
z
zz
zzz
z
z
zz
z
zz
z
zz
z
zf
( )
310 − z
Comprobarlo a través de la serie de Laurent:
2−
1
14
Fórmula para hallar el residuo para un polo de cualquier orden
Si f (z) tiene un polo de orden m en z
0
, la serie de Laurent es:
m
m
zz
b
zz
b
zz
b
zzaazf
)()(
)()(
0
2
0
2
0
1
010
−
++
−
+
−
++−+=
)()(lim
)!1(
1
)(Res
0
)1(
)1(
0
0
zfzz
dz
d
m
zf
m
m
m
zz
zz
−
−
=
−
−
→
=
m
m
mmmm
bzzb
zzbzzazzazfzz
++−+
−++−+−=−
−
−+
2
02
1
01
1
01000
)(
)()()()()(
Derivamos m-1 veces.
Cuando z→z
0
obtenemos:
10
)1(
)1(
)!1()()(lim
0
bmzfzz
dz
d
m
m
m
zz
−=−
−
−
→
15
Hemos visto que la integral de una función analítica
f (z) sobre una curva cerrada C cuando f (z) tiene un punto
singular z
0
dentro de C es:
1
2)( ibdzzf
C
=
C
0
z
donde b
1
es el residuo
de f (z) en z
0
C
El teorema del residuo generaliza este
resultado: Sea f (z) una función analítica
dentro y sobre un camino cerrado C,
excepto para k puntos singulares dentro de
C. Entonces:
=
=
=
k
i
zz
C
zfidzzf
i
1
)(Res2)(
2
z
1
z
3
z
k
z
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