CÁTEDRA ESTÁTICA F.C.E.F.y N. – U.N.C.
Ing Ernesto Ochat - Ing. Eduardo Warnholtz
1
ESTÁTICA (Ing. Civil, Ing. Const.)
TRABAJOS VIRTUALES
En capítulos anteriores hemos definido a los sistema rígido como a un conjunto de puntos
materiales en el que la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene invariable para
cualquier desplazamiento del sistema.
Desplazamiento finitos de sistemas rígidos
En este punto trataremos el estudio de desplazamientos infinitecimales de los sistemas
rígidos cuyos puntos se encuentran ubicados en un mismo plano.
El desplazamiento que puede experimentar un sistema rígido en un plano puede ser de dos
clases:
• Traslaciones
• Rotaciones
Un sistema experimenta una traslación cuando los corrimientos de todos sus puntos son
iguales entre si. En cambio el sistema sufre una rotación cuando sus puntos describen
trayectorias constituidas por arcos de circunferencia con centro en un punto, denominado
polo de la rotación, que permanece fijo.
Traslación
fig 9.5
Rotación.
fig 9.6
Al ángulo constante que forman las rectas que une un
punto inicial
-polo-punto final
se
denomina ángulo de rotación o intensidad de rotación.
Desplazamiento infinitesimal de chapas rígidas
Se puede demostrar que un punto cualquiera perteneciente a un sistema rígido que sufre
una
.
rotación infinitesimal, experimenta un corrimiento de dirección normal a la recta
que une al mismo con el polo, cuya magnitud está dada por el producto de la distancia
del punto al polo multiplicada por la intensidad de la rotación. El sentido coincide con el
determinado por la intensidad de rotación.
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Ubicación de lo Polos
De lo anterior surge, que conocido el corrimiento de un punto, el polo de la rotación que
lo origina se encontrará ubicado sobre la recta normal al corrimiento trazada a partir de la
posición inicial de aquel. Esta consideración nos permite ubicar de inmediato el polo si se
conocen los corrimientos de dos puntos.
En efecto, si sabemos la dirección del desplazamiento del punto A y del B el polo debe
estar en la intercepción de las perpendiculares a los desplazamientos de A y B (Fig a)
(a) (b)
En la fig b al ser ambos corrimientos paralelos las correspondientes normales también
resultan paralelas y en consecuencia el polo es impropio (el polo se encuentra en el
infinito). En este caso el corrimiento del sistema es una traslación.(los corrimientos de
todos los puntos son iguales entre si).
Por otra parte si se conoce el corrimiento AA´ de un punto A y la intensidad de la
rotación ø que la originó, la determinación del polo puede realizarse utilizando la
siguiente expresión.
a =ød
d= a/ ø
lo que nos permite ubicar la distancia del punto al polo.
Diagramas de desplazamientos infinitesimales en barras
Si una chapa sufre desplazamientos ( rotaciones y/ó traslaciones) cada uno de sus puntos
experimentará un corrimiento distinto. Estudiemos como representar graficamente los
corrimientos de cada uno de los puntos de la chapa considerada.
.
En la figura siguiente hemos representado una chapa que experimenta una rotación ø en
torno al polo O. Un punto A perteneciente a la chapa, sufrirá un corrimiento a, de
intensidad a= ø d
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Este corrimiento puede ser descompuesto en dos componentes, vertical y horizontal
cuyas intensidades serán:
η= ø d cos /δ
ε= ø d sen /δ
de la figura se puede observar que
dx = d cos /δ /
dy = d sen /δ /
reemplazando tenemos
η= dx ø
ε = dy ø
Es decir que los corrimientos verticales y horizontales de los puntos de una barra que
experimenta una rotación, varían linealmente en función de las proyecciones
correspondientes de la distancia del punto considerado al polo. (dx , dy).
En consecuencia, los diagrama de corrimientos horizontales y verticales serán lineas
rectas que pasan por la proyección del polo sobre los ejes de referencia. (el polo no sufre
desplazamientos ni horizontales ni verticales).
Para realizar el diagrama de corrimientos verticales procedemos de la siguiente manera:
1) Trazamos un eje horizontal n-n que se utiliza de referencia y proyectamos sobre el
mismo el polo O, obteniendo el punto O' Este punto es la proyección del polo y por lo
tanto no sufrirá corrimientos al producirse un giro de la chapa.
2) Trazamos por el punto O´ una recta M'N' que forme con n-n un ángulo α (finito) cuyo
sentido coincida con el de ø (infinitesimal) obteniendo de esta forma el diagrama de
corrimientos verticales.
Esta recta M'N' representa los desplazamientos verticales debido a un giro infinitesimal de
la chapa. La representación del giro utilizando un ángulo α finito sirve para poder
observar el giro en cierta escala que no hemos determinado pero no debemos olvidar que
el ángulo α (finito) esta representando un giro ø (infinitesimal)
Para el trazado del diagrama de corrimientos horizontales elegimos un eje de referencia
vertical y trabajamos de igual manera.
Si la escala del diagrama para desplazamientos horizontales y verticales es la misma el
diagrama de corrimientos horizontales estará dado por una recta normal a M'N' trazada
por O''.
En efecto si ambos tienen la misma escala, como la pendiente de cada diagrama con
respecto a su eje de referencia mide la intensidad de rotación, y ésta es igual para los dos,
las pendientes deben resultar iguales. En consecuencia, al ser ortogonales los ejes de
referencia, también deben serlo las rectas que constituyen los diagramas.
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Se define como cadena cinemática a un conjunto de chapas vinculadas entre si mediante
articulaciones reales o ficticias.
Desplazamiento de Cadenas Cinemáticas de un grado de libertad
Los grado de libertad de una cadena cinemática es n + 2 (siendo n el número de chapas
que integran la cadena).
En lo que sigue nos ocuparemos, exclusivamente del análisis de los desplazamientos
posibles de las cadenas cinemáticas que poseen solamente un grado de libertad, es decir,
de aquellas a las que se han impuesto n + 1 condiciones de vínculo.
Consideremos una cadena de dos chapas S1 y S2 vinculadas entre sí mediante dos barras
KL y MN.
Si suponemos la chapa S1 fija, el desplazamiento relativo entre ambas chapas
corresponderá al desplazamiento absoluto que experimenta la chapa S2.
Suponiendo en consecuencia que S1 permanece inmóvil, las barras KL y MN se
comportarán como vínculos externos de primera especie y la única posibilidad de
desplazamiento de los puntos L y N, será que experimenten corrimientos normales a KL y
MN respectivamente.
Las normales a los corrimientos de los puntos L y N coinciden con las direcciones de las
barras KL y MN.
Como vimos anteriormente, si sabemos la dirección del desplazamiento del punto L y del
N el polo debe estar en la intercepción de las perpendiculares a los desplazamientos de L
y N que corresponden a las direcciones de las barras KL y MN respectivament.
Las rectas de direcciónes KL y MN se cortan en un punto A
12
que denominaremos
articulación ficticia entre las chapas S1 y S2. Este es el punto en torno al cual gira la
chapa S2 con respecto a la chapa S1, experimentando una rotación relativa
Si las barras KL y MN que vinculan ambas barras, fueran paralelas, las direcciones de los
corrimientos posibles de los puntos L y N resultan paralelas entre sí, por cuanto deben ser
normales a las direcciones KL y MN.
En este caso la intersección de la recta de dirección KL con la recta de dirección MN se
encuentra en el infinito (al ser paralelas entre sí) en consecuencia, el desplazamiento
relativo de la chapa S2 respecto de la S1 es una traslación relativa. La distancia LA
12
y
NA
12
son iguales a infinito. Como el desplazamiento es el giro por la distancia del punto
A
12
significa que ambos desplazamientos son iguales. Por lo tanto el cuerpo sufre una
traslación relativa
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En un cadena cinemática de un grado de libertad las chapas que la constituyen
experimentan cada una de ellas rotaciones en torno de un puntos fijo determinado,
denominados polo. Por lo tanto cada chapa que forma la cadena tiene un polo. Cada chapa
se une a la siguiente por medio de una articulación que puede ser articulación real o
ficticia como vimos en el punto anterior.
Determinación de polos en cadenas cinemáticas de un grado de libertad.
Por lo tanto determinar lo ubicación de los polos de rotación es fundamental para poder
conocer el desplazamiento de cada uno los puntos de la cadena cinemática.
A continuación veremos los criterios para determinar los polos.
a) Un apoyo de segundo grado es un polo, Los apoyos de segundo grado restringen los
desplazamiento en dos sentidos dejando libre los giros. Si la barra tiene un grado de
libertad el único desplazamiento posible es una rotación de la barra con centro en el
apoyo.
b) Si existe una apoyo de primer grado, el polo se encuentra en la dirección
perpendicular al desplazamiento no restringido del apoyo..
En efecto si existe un apoyo de primer grado la única dirección posible de desplazamiento
infinitesimal del punto es perpendicular a la dirección del apoyo. Como vimos
anteriormente el polo debe encontrarse en la dirección perpendicular a los desplazamiento
por lo tanto el polo se encuentra en la linea del apoyo de primer grado.
c) Si existen dos apoyos de primer grado en la misma chapa, el polo se encuentra en la
intersección de las lineas perpendiculares a los apoyos.
Como vimos en el punto anterior el polo debe encontrarse en la linea del apoyo A y
tambien en la del apoyo B. por lo tanto debe encontrarse donde ambas rectas se
interceptan.
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d) Los polos de dos chapas sucesivas se encuentran alineados con la articulación que
une ambas chapas.
Consideremos una cadena cinemática cualquiera y supongamos conocidos el polo O1 y
O2 ( dos apoyos fijos por ejemplo).
La unión entre la barra S1 y S2 se realiza por medio de una articulación A
12
Si consideramos la articulación como perteneciente a S1, la dirección del único
corrimiento posible del mismo, para una rotación infinitesimal de la barra S1, será normal
a la recta O1A
.
12
Pero A
.
12
pertenece también a la barra S2 y en tal condición su corrimiento será el mismo
que el impuesto por la rotación de la barra S1. Interpretando dicho corrimiento como
originado por una rotación de la chapa S2, el polo de la misma, deberá encontrarse
ubicado sobre la normal a la dirección del corrimiento trazada por A
12
, es decir sobre la
prolongación de O2A12. lo que nos permite concluir que toda cadena cinemática de un
grado de libertad, los polos de dos chapas consecutivas se encuentran alineados con la
articulación relativa que une ambas chapas.
Podemos ver que si se conocen los polos de dos chapas no consecutivas, la determinación
del polo de la chapa intermedia es inmediato.
En efecto si conocemos los polos O1 y O3 y conocemos la ubicación de las articulaciones
entre chapas A
12
y A
23
.El polo de la barra S2 , polo O2 , se tiene que encontrar en la
intersección de las rectas O1 A
12
con O3 A
23
.
Trazado de diagramas cartesianos de corrimientos de puntos de cadenas cinemáticas
sujetas a desplazamientos
Para el trazado de los diagramas de corrimientos, de puntos de cadenas cinemáticas de un
grado de libertad sujetas a desplazamientos compatibles con los vínculos , se procede en
forma semejante a la vista para el caso de una única barra.
.
A
B
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Sea la cadena cinemática de la figura formada por dos barras rectas y unidas entre si por
una articulación A
12
. Existe un apoyo fijo en el extremo izquierdo y uno movil en el
extremo derecho
Lo primero que tenemos que conocer es la ubicación de los polos de cada una de las
chapas.
La chapa S1 tiene como polo el apoyo fijo de acuerdo a lo visto en el punto anterior.
Para calcular la ubicación del polo de la chapa S2 debemos valernos de lo siguiente
• el polo de la chapa S2 se debe encontrar en la recta O1-A
12
• el polo de la chapa S2 se debe encontrar en la perpendicular del apoyo movil.
.
La intersección de ambas rectas nos da la ubicación del polo O2 que en este caso coincide
con el apoyo movil.
Para la realización de los diagramas de corrimientos realizamos los siguientes pasos.
1) Fijamos una linea de comparación horizontal n-n y proyectamos los polos
dándonos los punto O1' y O2'. Estos dos puntos no sufren corrimientos y por lo
tanto se encuentran sobre la recta n-n.
2) Le damos a la chapa S1 un giro cualquiera, que representamos por la recta M-M
que pasa por O1'. La chapa S1 va desde O1' hasta A'12 ( proyección de la
articulación).
3) El punto A'
12
(proyección de la articulación) corresponde a la chapa S1 pero
tambien a la chapa S2. Como sabemos que el diagrama de corrimientos de la
chapa es una recta y ya conocemos dos puntos (0'2 y A'
12
4) En este caso no hay corrimientos horizontales por confundirse toda la estructura en
un punto O1''.
) uniendo ambos puntos
tenemos el diagrama de corrimiento de la chapa.
Ejemplo 2
En la figura siguiente tenemos tambien dos chapas pero con una geometría diferente.
Para realizar los diagramas de corrimientos hacemos los siguientes pasos:
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1) Determinamos la ubicación de los polos de las chapas S1 y S2 con los mismos
criterios utilizados en el ejemplo anterior.
2) Marcamos las líneas de comparación n-n y m-m sobre las cuales proyectamos los
polos O1 y O2.
3) Le damos un giro arbitrario a la chapa S1 representandoló por una recta O1' - A'
12
4) Para conocer los corrimientos de la chapa S2 unimos el punto A'
.
12
5) Para conocer los corrimientos horizontales de la chapa S1 debemos pasar por O1''
una perpendicualar a la recta M-M , de esta forma le damos a la chapa S1 el
mismo giro en el gráfico de corrimientos vertcales como horizontales.
con O'2, como
vimos en el ejemlo 1.
6) Uniendo A''
12
con O2'' obtenemos la recta que representa los corrimientos
horizontales de la chapa S2. De esta recta únicamente tomamos la zona
comprendida entre las proyecciones horizontales de los extremos de la chapa S2.
Ejemplo 3
En la siguiente figura tenemos 3 chapas con un grado de libertad constituida por tres
barras articuladas entre sí mediante las articulaciones A
12
(propio) y A
23
(impropia).
Tiene un apoyo fijo en A, otro movil en B y C.
Para realizar los diagramas de corrimientos hacemos los siguientes pasos:
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1. Ubicación de los Polos
El punto A de la chapa S1, por la condición impuesta por el vínculo aplicado al mismo, no
podrá experimentar corrimientos, por lo tanto es el polo de la chapa S1(apoyo fijo),
El polo de la chapa S2 debe encontrarse en la intersección de las rectas O
1
-A
12
La chapa S3 está vinculada a tierra por intermedio de un apoyo móvil C, y unida a la
chapa S2 por dos bielas paralelas. La articulación A
con la
perpendicular al apoyo movil ubicado en B.
23
es impropia (se encuentra en el
infinito en la dirección de las bielas paralelas). En consecuencia trazando por O2 una
paralela a la dirección de las dos bielas que definen A
23
sobre dicha recta debe
encontrarse O3. Como además O3 debe estar en la recta perpendicular del apoyo movil C,
la intersección de la perpendicular con O2 A
23
2. Trazamos la línea de referencia m-m horizontal sobre la cual proyectamos los
polos de rotaciones.
determina la posición del polo O3
buscado.
3. trazamos el diagrama de corrimientos verticales. Realizamos un giro
infinitesimal a una chapa y
El diagrama de corrimientos verticales de la chapa S1 será, como sabemos, una recta que
pasará por O1' con una pendiente cualquiera. Dicha recta será válida entre las ordenadas
extremas de las chapa S1.
El corrimiento vertical del punto A
12
será común a las chapas S1 y S2, en consecuencia,
la recta (S2) , representativa del diagrama de corrimientos verticales de la chapa S2,
deberá pasar por A'
12
En cuanto al diagrama representativo de los corrimientos verticales de S3, será una recta
paralela a S2 que pasará por O'3, proyección sobre m-m de O3. En efecto, el
desplazamiento relativo de S3 respecto de S2 es una traslación, por cuanto la articulación
relativa entre las mismas es impropia y, en consecuencia, los corrimientos relativos entre
los puntos de ambas chapas y por ende sus proyecciones en cualquier dirección, son todos
iguales entre sí. Podemos llegar a la misma conclusión analizando el sistema de la
siguiente manera.
, intersección de la vertical de A12 con (s1) y por O'2 y se extenderá
hasta encontrar la vertical extrema de la chapa S2.
El polo A
23
La linea de desplazamiento de la chapa S3 debe pasar por O'3 y por A
como se sabe, por ser una articulación impropia se encuentra en el infinito.
23
. La linea de
desplazamiento de la chapa S2 pasa por A'
12
, O'2 y A
23
Para que ambas rectas pasen por A
.
23
4. Diagrama de corrimientos horizontales. Con los mismos criterios utilizados en
el punto anterior realizamos el diagrama de corrimientos verticales. Debemos recordar
además que los corrimientos verticales y horizontales de una chapa son perpendiculares
entre sí.
que se encuentra en el infinito deben ambas ser
paralelas.
Sea un conjunto de puntos materiales, con sus vínculos, sobre el que actúa un sistema de
fuerzas externas. Para cualquier desplazamiento virtual del sistema, los puntos de
aplicación de las distintas fuerzas externas (F) experimentan corrimientos virtuales(d) , y
en consecuencia las mismas desarrollan trabajo virtual (T). Se define como trabajo
positivo si el sentido de la fuerza externa coincide con el movimiento, en caso contrario
será negativo.
Principio de los trabajos virtuales
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En el caso que la acción aplicada sea un momento M el trabajo es definido como
El sistema de puntos materiales podrá o no encontrarse en equilibrio bajo la acción del
sistema de fuerzas aplicado. El principio de los trabajos virtuales establece las
condiciones que deben cumplir las fuerzas externas para que el sistema se encuentre en
equilibrio.
Es condición necesaria y suficiente para que un sistema de puntos materiales, sujeto a
vínculos determinados, se encuentre en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas
cualesquiera, que el trabajo desarrollado por las mismas, para cualquier desplazamiento
virtual del sistema de puntos materiales, dado a partir de la posición de equilibrio, sea
nulo
En capítulos anteriores hemos estudiados otros métodos para la determinación de las
reacciones en los apoyos. En particular el principio de los trabajos virtuales nos permite
determinar el valor de un vínculo determinado sin conocer los valores de los restantes.
Aplicación del principio de los trabajos virtuales a la determinación de incógnitas
estáticas en sistemas estáticamente determinados
Consideremos la chapa de la figura, isostáticamente sustentada y sujeta a la acción de las
cargas Pi. El sistema de puntos materiales se encuentra en equilibrio.(hay tres incógnitas
en el plano). Quitaremos una de las condiciones de vínculo, el apoyo móvil B, por
ejemplo, con lo que la chapa adquiere un grado de libertad, no encontrándose más en
equilibrio.
.
Para restituir el equilibrio debemos aplicar en B en la dirección del vínculo suprimido
una fuerza X, que materialice la reacción que este último era capaz de desarrollar. La
operación de quitar el vínculo y poner en su lugar la reacción, se denomina poner en
evidencia la incógnita, extendiéndose el concepto tanto a las reacciones de vínculo
externo como interno. (momento, corte o normal)
F
F
d
d
T = F d
T = - F d
M
M
Ǿ
Ǿ
T = M Ǿ
T = -M Ǿ
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Según el principio de los trabajos virtuales si X es capaz de mantener en equilibrio del
sistema, el trabajo desarrollado por el sistema (Pi, X) debe ser nulo, teniéndose, en
consecuencia.
Tv Pa Xa
o
i
n
i x
= + =
∑ ∑
1
' '
donde a'i y a'x corresponden a las proyecciones sobre las direcciones de Pi y X,
respectivamente, de los corrimientos efectivos de sus puntos de aplicación.
De lo anterior deducimos que
X
Pa
a
i i
n
X
= −
∑
'
'
1
expresión que nos permite calcular el valor de la incógnita X, que en este caso es una
reacción de vínculo. Los valores a'i y a'x pueden obtenerse analíticamente, o bien
mediante el trazado de un diagrama de corrimientos en una dirección cualquiera.
A continuación aclararemos mediante algunos ejemplos específicos, los conceptos
anteriores.
Aplicación del principio de los trabajos virtuales a la determinación de incógnitas
estáticas en sistemas estáticamente determinados
a) Determinación de la reacción de un apoyo movil
.
Sea la viga simplemente apoyada de la figura sujeta a la acción de las fuerzas P1 y P2, de
la que se pide calcular la reacción en el apoyo móvil B
El primer paso consiste en poner en evidencia la incógnita, suprimiendo el vínculo y
aplicando en B la fuerza incógnita X,
La barra posee ahora un grado de libertad, y es susceptible de experimentar
desplazamientos que solo pueden ser rotaciones .
Determinamos los polos y hacemos el diagrama de corrimientos verticales.
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Donde α es un giro finito que representa el giro infinitesimal ø
por el principio de trabajos virtuales tenemos que
P1 η1 + P2 η2 - X ηx = 0
η1 = φ L1
η2 = φ L2
ηx = φ L
reemplazando tenemos
P1φL1 +P2φL2 = X φ L
como φ se encuentraen ambos términos lo podemos simplificar y hacer la ecuación
independiente del giro inicial propuesto.
si despejamos la incognita X tenemos:
X = (P1 L1+P2 L2 )/ L
Si el resultado tiene un signo positivo significa que la incognita X la habíamos supuesto
correctamente, por el contrario, si el resultado es negativo significa que la incognita tiene
el sentido opuesto al establecido a priori.
b) Determinación del momento de un empotramiento.
Si tenemos la siguiente viga en voladizo en la cual hay una carga aplicada P1.
Lo primero que tenemos que hacer es poner en evidencia la incógnita, en este caso un
momento,
En este caso reemplazamos el empotramiento por un apoyo fijo y un momento que es la
incógnita a determinar. Luego hacemos los diagramas de corrimientos correspondientes.
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Por el principio de trabajos virtuales tenemos:
P1 η1 - Mφ = 0
El trabajo producido por un momento es igual al producto del momento por el águnlo
girado.
η1 = φ L
reemplazando tenemos
P1φL = M φ
como φ se encuentra en ambos términos lo podemos simplificar y hacer la ecuación
independiente del giro inicial propuesto.
si despejamos la incógnita X tenemos:
M = P1 L
c) apoyos de más de un grado
Si el apoyo externo es de más de un grado y necesitamos conocer todas las incógnitas del
mismo será necesario poner en evidencia una de las incógnitas por vez y resolverlo. Luego
ponemos en evidencia y resolvemos otra de las incóngitas y hací sucesivamente.
Aplicación del principio de los trabajos virtuales a la determinación de esfuerzos
internos en sistemas estaticamente determinados.
Hemos visto que para poder aplicar el principio de los trabajos virtuales a la
determinación de incógnitas estáticas, es necesario ponerlas previamente en evidencia,
confiriendo al sistema de puntos materiales un grado de libertad, para que en esta forma
pueda experimentar desplazamientos.
Veamos ahora la forma de poner en evidencia los tres esfuerzos característicos de una
sección cualquiera de un sistema de alma llena (momento flector, esfuerzo de corte y
esfuerzo normal).
Consideremos el sistema de la figura, isostaticamente sustentado y sujeto a un estado de
cargas Pi. En una sección cualquiera S-S, las fuerzas exteriores dan origen a un momento
flector, un esfuerzo de corte y a un esfuerzo normal.
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Si pretendemos poner en evidencia el momento flector, debemos idear un mecanismo
cinemático que ubicado en la sección que se analiza, no permita la propagación de
momentos a través de la misma.
Pero dicho mecanismo debe permitir la transmisión de los esfuerzos normales y de corte..
El mecanismo mencionado se logra disponiendo una articulación en coincidencia con el
baricentro de la sección considerada.
Introducida la articulación, el sistema se transforma en una cadena cinemática de dos
barras , con tres condiciones de vínculo. En consecuencia posee un grado de libertad.
Para restablecer el equilibrio es necesario colocar un par de momentos contrarios en la
articulación.
Supongamos ahora el mismo sistema anterior cortado en la sección S-S y separadas ambas
caras de la misma una distancia infinitésimal dl. Si vinculamos ahora las dos partes por
medio de dos bielas paralelas y normales a la sección, el desplazamiento relativo posible
de una parte respecto de la otra es una traslación de dirección normal a la de las bielas,
resultando impedida toda rotación relativa y cualquier traslación de la dirección de
aquellas.
por lo tanto el sistema no puede transmitir esfuerzos de corte pero si momento flector y
esfuerzo normal.
Para restablecer el equilibrio es necesario colocar un par de fuerzas de dirección opuesta
Q y - Q como muestra la figura.
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Se hace notar que las dos fuerzas Q y -Q que materializan el esfuerzo de corte en la
sección, si bien aparecen como desplazadas, en realidad tienen la misma recta de acción,
estando aplicadas cada una de ellas a una de las caras de la sección , infinitamente
próxima entre si.
Para evidenciar el esfuerzo normal recurrimos a un mecanismo cinemático constituido
también por dos bielas paralelas , pero dispuestas paralelamente al plano de la sección en
la forma indicada en la figura.
Este mecanismo solo permite desplazamientos relativos entre las dos partes del sistema,
de dirección normal a la dirección de las bielas.
Para restablecer el equilibrio es necesario la colocación del par de fuerzas N y -N. como
muestra la figura
Establecida la forma de poner en evidencia los tres esfuerzos característicos de una
sección, veremos a continuación la manera de determinar sus valores aplicando el
principio de los trabajos virtuales.
a) Momento Flextor
Sea la viga simplemente apoyada de la figura, sujeta a la acción de una carga distribuida
de intensidad constante p, de la que pretendemos calcular el valor del momento flector M
en la sección S-S ubicada a una distancia l1 del apoyo A.
Puesta en evidencia la incógnita, introduciendo una articulación en S-S y aplicando dos
pares opuestos en los extremos de las dos chapas en que ha quedado dividida la viga,
damos un desplazamiento cualquiera al sistema, previa la determinación de los polos.
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