233
SISTEMAS DE
ECUACIONES
LINEALES
CAPÍTULO 1: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TEMARIO
8.1 ECUACIONES LINEALES
8.2 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
8.3 COMBINACION LINEAL DE ECUACIONES
8.4 SISTEMAS DE ECUACIONES EQUIVALENTES
8.5 SISTEMAS DE m ECUACIONES LINEALES CON n
INCOGNITAS
8.6 MATRIZ DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
8.7 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS CON AYUDA DE
MATRICES
8.8 TEOREMA DE ROUCHE FROBENIUS
8.9 SISTEMAS DE n ECUACIONES LINEALES CON n
INCOGNITAS
8.10 SISTEMAS DE CRAMER
8.11 REGLAS DE CRAMER
OBJETIVO
Lograr que el alumno:
Resuelva e interprete gráfica y algebraicamente sistemas de
ecuaciones lineales
Capítulo
8
234
8.1 ECUACIONES LINEALES
8.1.1 Definición de Ecuaciones Lineales
Una ecuación lineal sobre el cuerpo de los reales, es toda expresión de la forma:
bxaxaxa
nn
...
2211
Donde los
R
i
a
,
Rb
y los
i
x
son elementos Indeterminados llamados incógnitas.
Los
i
a
se llaman coeficientes y b es el término constante llamado término independiente.
8.1.2 Solución de la Ecuación
Se llama solución de la ecuación a un conjunto de valores de las incógnitas:
,,....,,
2211 nn
k x k x k x
que convierten a esa ecuación en una identidad.
Al conjunto solución se lo indica:
n
kkk ,...,,
21
. Cuando un conjunto ordenado de
elementos es solución de una ecuación se dice que satisface la ecuación.
Por ejemplo
132
321
xxx
; la terna ordenada
2,1,2
es una solución.
8.2 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
8.2.1 Expresión General de un Sistema de Ecuaciones Lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes y términos independientes reales, de m
ecuaciones y n incógnitas
n
x x x ,....,,
21
es:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
Donde los elementos
ij
a
y
i
b
con i = 1, 2, ... m, j = 0 1,2,...n, son números reales que
representan los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes,
respectivamente.
El primer subíndice de a está en correspondencia con el de b, y el segundo subíndice de a
en correspondencia con el de la variable.
Por ejemplo un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas es:
235
82
1323
2242
32
zyx
zyx
zyx
zyx
8.2.2 Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales
Se llama solución de un sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de valores, uno para
cada una de las incógnitas, de modo que con dichos valores se satisfacen todas y cada una
de las ecuaciones del sistema. Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas
sus soluciones.
8.2.3 Clasificación de los Sistema de Ecuaciones Lineales
Según el número de soluciones los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar en:
Sistemas Compatibles o consistentes, son los que admiten al menos una solución y podrán
ser:
Sistemas Compatibles Determinados: solución única.
Sistemas Compatibles Indeterminados: más de una solución.
Mientras que aquellos que no admiten solución se llaman sistemas Incompatibles o
inconsistentes.
Por ejemplo: Averiguar cuáles de las siguientes ternas de valores es solución del sistema de
ecuaciones anteriormente escrito.
a)
2,1,0
b)
2,1,3
a) Al reemplazar esta terna de valores en la primera ecuación no la satisface, por lo que se
concluye que x = 0, y = 1, z = 2 no es solución del sistema dado:
34
321.20
32
zyx
Absurdo
b) Como se satisfacen simultáneamente las cuatro ecuaciones, se concluye que
2,1,3
es
solución del sistema.
236
33
321.23
32
zyx
22
22.21.43.2
2242
z y x
33
121.23.3
1323
zyx
33
321.23
32
z y x
8.2.4 Sistemas no Homogéneo
Si al menos uno de los términos independientes b
i
es diferente de cero, el sistema de
ecuaciones lineales se denomina no homogéneo.
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
8.2.5 Sistemas Homogéneo
En el caso en que los términos independientes sean todos iguales a cero el sistema de
ecuaciones lineales se dice que es homogéneo. Un sistema de ecuaciones lineales
homogéneo es de la forma:
0...
...
0...
0...
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Al sustituir cada una de las incógnitas
n
x x x ,....,,
21
por el valor cero, se satisfacen
idénticamente todas las ecuaciones del sistema.
Todos los sistemas de ecuaciones lineales homogéneo son Compatibles, a El conjunto
solución
0,....,0,0
21
n
x x x
se denomina solución trivial.
E.1 Ejercicios
Clasificar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, hallar el conjunto solución y
realizar la interpretación geométrica de las soluciones en los casos que sea posible,
utilizando el software.
237
a)
023
022
04
zyx
z x
6z 2y x
b)
123
2
132
zyx
zy
zyx
c)
2
32
yx
zx
d)
3423
13
12
wzyx
wzyx
wzyx
e)
6232
3
1
zyx
zyx
zyx
a) Sistema de ecuaciones lineales homogéneo.
b) c) d) e) Sistema de ecuaciones lineales no homogéneo
Escribir la llave del sistema con Brackets , eligiendo el corchete para el lado
izquierdo y la línea de puntos para el derecho.
Tipear la primera ecuación y con Enter habilitar las filas para tipear las restantes.
Para resolver, poner el cursor justo al final del sistema y usar la orden Compute
+Solve+ Exact o hacer click en Solve Exact o bien Compute +Solve+
Numeric
Para resolver un sistema donde el número de ecuaciones no coincide con el número de
incógnitas, se procede de la siguiente manera:
Al hacer clic en el comando Solve Exact, se abre la siguiente ventana:
Escribir las variables que se desee hallar separadas por una coma, por ejemplo,
escribir x, y, z. Luego hacer clic en OK
Para graficar:
Seleccionar la primera ecuación y seguir la secuencia Compute +Plot 3D+Implicit.
Hacer clic en el margen inferior derecho y se abrirá la siguiente ventana:
238
Seleccionar Item Number y agregar las demás ecuaciones, elegir color y luego OK.
a)
La única solución de este sistema es El conjunto solución trivial. El conjunto solución es S
= {(0, 0,0)},
El conjunto solución es S =
0,0,0
.Al resolver gráficamente este sistema se obtiene
como único punto en común a los tres planos considerados el (0,0,0).
El Sistema es Compatible Determinado.
4x 2y 6z 0
2x 2z 0
x 3y 2z 0
, Solution is:
x 0, y 0,z 0
239
b)
El conjunto solución es S =
1,1,4
. Al resolver gráficamente este sistema se obtiene
como único punto en común a los tres planos considerados el (4,1,1).
El Sistema es Compatible Determinado.
c)
El conjunto solución de este sistema es:
z; zz, yz/xx,y,zS 5232
,
Como en el conjunto solución del sistema las variables x, y, vienen expresadas en función
de z decimos que z es una variable libre, las demás variables dependen de esta variable.
Al resolver gráficamente este sistema se obtiene dos planos que se cortan en una recta.
El Sistema es Compatible Indeterminado.
x 2y 3z 1
y z 2
x 3y 2z 1
, Solution is:
x 4, y 1, z 1
x 2z 3
x y 2
, Solution is:
x 2z 3, y 2z 5
240
d)
El conjunto solución de este sistema es:
4
3
8
5
8
5
16
11
16
25
8
15
zz, w; zzz, y/xx,y,z,wS
,
Como en el conjunto solución las variables x, y, w, vienen expresadas en función de z
decimos que z es una variable libre, las demás variables dependen de esta variable.
El Sistema es Compatible Indeterminado. Al tener más de tres variables carece de
interpretación geométrica.
e)
No tiene solución.
Al resolver gráficamente este sistema, los planos no tienen punto en común. El Sistema es
Incompatible.
8.3 COMBINACION LINEAL DE ECUACIONES
Una ecuación lineal es combinación lineal de m ecuaciones de un sistema, si existen
números reales
n
,...,,
21
no todos nulos, tales que la ecuación dada, es la suma de los
productos de cada uno de los números reales por cada una de las m ecuaciones lineales.
x y z 2w 1
x y z 3w 1
x 3y 2z 4w 3
, Solution is:
w
5
8
z
3
4
,x
15
8
25
16
z,y
11
16
z
5
8
x y z 1
x y z 3
2x 3y 2z 6
, No solution found.
241
Sean
m
EEE ,...,,
21
ecuaciones lineales, la ecuación E es una combinación lineal de estas m
ecuaciones, si existen
n
,...,,
21
números reales no todos nulos, tales que:
mn
EEEE
...
2221
. En este caso se dice que las ecuaciones
EEEE
m
,,...,,
21
son
Linealmente Dependientes.
Por ejemplo en el sistema de ecuaciones lineales:
3432
24321
14321
12
13366
123
E x x x
E xxxx
E x x xx
La ecuación
2
E
es una combinación lineal de la
1
E
y la
3
E
, puesto que
312
2 EEE
. Las
ecuaciones de este sistema son Linealmente Dependientes.
8.4 SISTEMAS DE ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos sistemas de ecuaciones lineales en las mismas variables
n
xxx ,...,,
21
son equivalentes,
si ambos son Compatibles y tienen el mismo conjunto solución o si ambos son
Incompatibles.
Para obtener un sistema equivalente a partir de otro dado, se efectúan en el dado
transformaciones elementales.
8.4.1 Transformaciones Elementales
Reciben el nombre de transformaciones elementales las siguientes:
1. Permutar el orden de las ecuaciones.
2. Multiplicar una de las ecuaciones por un escalar
con
0R
.
3. Reemplazar una ecuación cualquiera del sistema por una combinación lineal, con
coeficientes no todos nulos, de ella misma con otra ecuación del sistema.
242
8.5 SISTEMAS DE m ECUACIONES LINEALES CON n INCOGNITAS
8.5.1 Método de Gauss
Es un método general para resolver sistemas de ecuaciones lineales. La estrategia es
reemplazar el sistema original por un sistema equivalente que sea más fácil de resolver,
mediante las transformaciones elementales.
Su aplicación nos permitirá determinar si el Sistema es Compatible o Incompatible y en
caso de ser Compatible se obtendrá el conjunto solución, única si es Determinado o
generará todas las soluciones del sistema, si es Indeterminado.
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
mnmnmmm
nn
nn
nn
...
...
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
(1)
Se transforma el sistema (1) en otro equivalente, manteniendo
1
x
en la primera ecuación y
eliminándola en todas las otras ecuaciones, siempre
0
11
a
, en el caso de ser cero, se
intercambia esta ecuación por otra tal que el coeficiente de esa incógnita no sea nula.
Por ejemplo, para eliminar
1
x
de la segunda ecuación se reemplaza ésta por la suma de la
primera multiplicada por
1
2
a
con la segunda multiplicada por
1
1
a
.
1
1
2
ecuación a
:
:2
1
1
ecuación a
´2 ecuación
:
baxaaxaaxaaxaa
nn
1
21
1
2313
1
2212
1
2111
1
2
...
ba xaaxaaxaaxaa
nn
1
12
1
1323
1
1222
1
1121
1
1
...
22323222
''...........'' bxaxaxa
nn
El primer término se anula pues queda de la forma
121
1
1111
1
2
xaaxaa
que es igual a
cero.
El segundo término que se obtiene al hacer la operación:
222
1
112
1
2
x aaaa
lo
reemplazamos por
222
' xa
. En la misma forma se procede con las restantes.
Se obtiene un sistema equivalente con (1) que indicamos con (2) del tipo:
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
b x a xaxaxa
mnmnm
nn
nn
nn
''...'
...
''...''
''...''
...
33
33333232
22323222
11313212111
(2)
243
Transformamos ahora el sistema (2) sin utilizar la primera ecuación ni la segunda siempre y
cuando, ésta tenga el coeficiente de la segunda incógnita distinto de cero, es decir
0'
22
a
.
En caso de ser cero se intercambia dicha ecuación con otra donde ese coeficiente sea
distinto de cero. Se procede como en el caso anterior, eliminando de las ecuaciones
restantes el término con
2
x
.
bxaxa
..
bxaxa
bxaxaxa
b x a xaxaxa
mnmnm
nn
nn
nn
''''...''
.
''''...''
''...''
...
33
33333
22323222
11313212111
(3)
El procedimiento finaliza, cuando se presente alguna de las dos situaciones siguientes:
Si los coeficientes de una de las ecuaciones del sistema son todos ceros, pero el
término independiente de esas mismas ecuaciones es diferente de cero, el Sistema
es Incompatible.
Si no ocurre lo anterior, continuamos aplicando el procedimiento descripto con las restantes
ecuaciones del sistema ordenadamente hasta obtener un sistema de la forma:
bxaxa
bxaxaxa
b x a xaxaxa
k
kn
k
knk
k
kk
nn
nn
111
22323222
11313212111
...
...
''...''
...
(4)
Donde k representa el número de ecuaciones que han quedado, pudiendo ser igual a m
(número de ecuaciones del sistema original) o bien menor. Además k es menor o igual a n
(n número de variables o incógnitas).
Si k = n, el Sistema es Compatible Determinado (solución única) y el sistema es de
la forma llamada triangular. De la última ecuación queda Determinado el valor de
n
x
y por sustitución se obtiene El conjunto solución del sistema (5) y por tanto del
sistema original (1), ya que son equivalentes
.
bxa
.
bxaxaxa
b x a xaxaxa
n
nn
n
nn
nn
nn
11
22323222
11313212111
..
''...''
...
(5)
244
Si k n, el Sistema es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones) y el sistema
adopta la forma llamada trapezoidal. La última ecuación del sistema permite
determinar una relación entre dos o más de las incógnitas del sistema. Despejando
ascendentemente a partir de la última ecuación, se determina las relaciones de las
incógnitas restantes con la variable o las variables que se haya decidido considerar
como libres en la última ecuación del sistema. Al conjunto solución de este sistema
se denomina solución general (SG) porque proporciona una descripción explícita
de todas las soluciones. Al afirmar que una o más variables son libres, implica la
posibilidad de asignarle cualquier valor. Cada asignación diferente a la variable
libre determina una solución particular (SP) del sistema.
Nota:
Si hay ecuaciones repetidas, se dejará solo una de ellas.
Si una ecuación es combinación lineal de las demás, también se prescindirá de ella.
Si una ecuación tiene todos los coeficientes ceros y el término independiente
también cero, en este caso se elimina esa ecuación.
E.2 Ejercicios
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales no homogéneo aplicando el Método de
Gauss.
3
13
12
0
321
41
432
4321
x x x
x x
x x x
x x x x
Como
0
11
a
,
0
21
a
, las dos primeras ecuaciones no varían. Utilizando el término
1
x
que está presente en la primera ecuación eliminamos los términos de
1
x
del resto de las
ecuaciones; para ello como
1
4131
aa
, multiplicamos la primera ecuación por –1 y
sumamos a la tercera ecuación, posteriormente a la cuarta ecuación y obtenemos:
11 ecuación
:
:31 ecuación
´3 ecuación
:
0
421
xx-xx
3
13
41
x - x
12
432
xxx
11 ecuación
:
:41 ecuación
´:4 ecuación
0
421
xx-xx
3
3 x x x
321
3
4
x
245
3
12
12
0
4
432
432
4321
x
xxx
x x x
x x x x
En el siguiente paso no utilizamos la primera ecuación ni la segunda ya que el coeficiente
de la segunda incógnita es distinto de cero, es decir
0'
22
a
, y como
2´
22
a
y
1´
32
a
sumamos a la segunda ecuación, la tercera multiplicada previamente por –2. Al ser
0´
42
a
,
la cuarta ecuación no varía, por lo que obtenemos:
21 ecuación
:
:´3ecuación 2
"3 ecuación
:
12
432
x x x
xxx- 2422
432
33
43
xx
3
33
12
0
4
43
432
4321
x
x x
x x x
x x x x
Al ser el número de ecuaciones = número de incógnitas (k = n), adopta la forma triangular y
el Sistema es Compatible Determinado (solución única).
De la última ecuación obtenemos
3
4
x
. Sustituyendo éste valor en la tercera ecuación
33
43
x x
, obtenemos
6
3
x
. Sustituyendo ambos valores en la segunda ecuación
12
432
x x x
, obtenemos
1
2
x
. Por último en la primera ecuación
x x x x 0
4321
, obtenemos
8
1
x
.
El conjunto solución de este sistema es:
,,-,-S 3618
Verificando en cada una de las ecuaciones se tiene:
3
33
12
0
4
43
432
4321
x
x x
x x x
x x x x
primera ecuación segunda ecuación tercera ecuación cuarta ecuación
00
03618
11
1362
33
396
33
246
E.3 Ejercicios
a) Verificar que el siguiente Sistema es Incompatible, donde las variables las llamamos
x, y, z, u.
32
0323
12
uzyx
uzyx
uzyx
32
0323
12
uzyx
uzyx
uzyx
11
EE
221
EE+E -3
331
E+EE
40
35
12
zy
uzyx
La última ecuación es un absurdo. El Sistema es Incompatible.
x
1
x
2
x
3
x
4
0
2x
2
x
3
x
4
1
x
1
3x
4
1
x
1
x
2
x
3
3
, Solution is:
x
1
8, x
2
1, x
3
6, x
4
3
x y 2z u 1
3x 2y z 3u 0
x y 2z u 3
, No solution found.
247
b) Resolver el siguiente sistema, si resulta Indeterminado dar El conjunto solución
general:
82
22242
52
uzyx
uzyx
uzyx
82
22242
52
uzyx
uzyx
uzyx
11
EE
221
EE+E -2
331
E+EE (-1)
3
1248
52
3z y
u y
uzyx
11
EE
22
EE
332
E8.E+E (-1)
3642
1248
52
uz4
u y
uzyx
En este sistema que es equivalente al dado, el número de ecuaciones es menor que el
número de variables ya que k = 3 y n = 4, tiene una forma trapezoidal, por lo que el
Sistema es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones). Para resolver el mismo se
despejan las variables básicas en términos de las libres. Las variables que aparecen en
primer lugar x, y, z se denominan variables básicas o principales, la variable u se
denomina libre. La cantidad de variables libres se obtiene al hacer n-k, en nuestro ejemplo:
4-3 =1.
Despejando ascendentemente a partir de la última ecuación, se determinan las relaciones de
las incógnitas restantes con la variable libre.
3642 uz4
4
2436 z
u
zu 69
Reemplazando
zu 69
en la segunda ecuación:
1248 u y
126948 zy
128 24z 36- y
8
2424 z
y
zy 33
Reemplazando
zy 33
,
zu 69
en la primera ecuación:
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