TIDE - ESTRUCTURAS IV 1
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POLIGONO FUNICULAR
Consideramos en primer término un cable estirado entre dos puntos fijos, con una sola
carga aplicada en su punto medio. Bajo la acción de la carga, el cable adopta una forma
simétrica triangular, y a cada apoyo llega la mitad de la carga, por tracción simple a lo largo de
ambas mitades del cable.
La forma triangular adoptada por el cable se caracteriza por la flecha, distancia vertical
entre los soportes y el punto más bajo del cable. Sin flecha, el cable no podría sostener la
carga, pues las fuerzas de tracción serían horizontales, y ninguna fuerza horizontal puede
equilibrar cargas verticales (figura 1).
Figura 1 - Cable - Estructura trabajando a tracción
Siendo la luz y la flecha conocidas, podemos descomponer gráficamente la carga en dos
direcciones para conocer la magnitud de los esfuerzos internos a los que está sometido el
cable (figuras 2 y 3).
Figura 2 - Descomposición Gráfica de la Carga P Figura 3 - Polígono de Fuerzas
TIDE - ESTRUCTURAS IV 2
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En los apoyos, el tiro oblicuo del cable puede descomponerse en dos fuerzas: una vertical
igual a la mitad de la carga y otra horizontal dirigida hacia el otro apoyo. Si no hubiera apoyos
fijos, los extremos del cable, por efecto de la componente horizontal del tiro, se moverían,
tendiendo a cerrarse.
Puede observarse que esa fuerza horizontal es inversamente proporcional a la flecha, es
decir, que a medida que ésta disminuye (el cable tiende a adquirir la posición horizontal)
aumenta las solicitaciones de tracción en el mismo.
Si se le agrega al cable otra carga, por ejemplo en uno de los tramos, éste cambia su forma
y se acomoda para transferir dicha carga por medio de tramos rectos de distintas inclinaciones
(figura 4). Los dos apoyos desarrollan reacciones verticales distintas (asimetría de carga),
pero igual reacción horizontal, pues el cable debe estar en equilibrio en esa dirección, ya que
la
Σ (sumatoria) de fuerzas en dirección X y la Σ de fuerzas en dirección Y deben ser iguales
a cero (figuras 5 y 6). Como vimos, el valor de la componente horizontal de la reacción
(también denominada empuje o tiro horizontal) varía en relación inversa a la flecha.
Figura 4 - Cable - Cambio de la geometría en relación al esquema de cargas
Figura 5 - Descomposición Gráfica de la Carga P Figura 6 - Polígono de Fuerzas
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Conociendo la geometría, el valor de las cargas y la dirección de los extremos del cable,
podemos conocer los esfuerzos a que está solicitado.
La deformación del cable bajo la acción de cargas concentradas da como resultado el
polígono funicular (del vocablo latino funis: cuerda, y del griego gonia: ángulo), que es la
forma natural necesaria para soportar cargas sólo por tracción.
Para cada tipo de cargas el cable toma la forma de equilibrio adecuada para trabajar
exclusivamente a tracción. Si se modifican las cargas, la forma del cable varía. Cada estado de
cargas, con luz y flecha conocidas, tiene un único polígono funicular, o geometría para trabajar
libre de flexiones.
Para resolver una estructura de cables, donde la luz y la flecha están prefijadas, se pueden
utilizar las ecuaciones de equilibrio estático en el plano, para encontrar el valor de las
reacciones de apoyo:
ΣM=0; ΣX=0; ΣY=0.
Resolución de un ejemplo (figuras 7, 8 y 9):
Ejemplo 1; Cálculo de Reacciones de Equilibrio
Datos: l = 30m; h = 10m; P
1
= 1tn; P
2
= 3tn; P
3
= 2tn.
ΣM
A
=0
ΣY=0
Mf C
der
=0 (Punto de Momento cero porque el cable carece de rigidez flexional).
ΣX=0
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Una vez conocidos los valores de las componentes verticales y horizontales de las
reacciones, Va y Ha; Vb y Hb, se puede determinar el esfuerzo en el arranque (valor de la
reacción resultante).
Figura 7 - Geometría y Esquema de Cargas de la Estructura a Tracción
Si descomponemos la carga total en las dos direcciones extremas obtenemos el valor de los
esfuerzos en el arranque, que serán iguales y de sentido contrario a las reacciones de apoyo
(la dirección es la misma, porque sólo hay tracción, no puede haber excentricidades que
produzcan momentos).
En el polígono de fuerzas observamos que el esfuerzo máximo se encuentra en el arranque
y es mínimo al centro.
Figura 8 - Descomposición Gráfica de la Carga P Figura 9 - Polígono de Fuerzas
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A medida que aumenta el número de cargas, el polígono funicular toma un número
creciente de lados más pequeños que se aproxima a una curva uniforme, hasta llegar a un
número infinito de cargas infinitamente pequeñas, en que el polígono se convertirá en una
curva funicular. Para un cable con carga uniformemente repartida en proyección horizontal, la
curva es una parábola; si las cargas se distribuyen a lo largo del cable, y no horizontalmente,
la curva funicular es una catenaria, la forma natural que adopta un cable de sección constante
sometido a su propio peso (figuras 10 a, b y c).
Figuras 10 a, b y c - Curvas Funiculares
Si se invierte la forma funicular que toma un cable cargado se obtiene la forma ideal de un
arco que, sometido a ese esquema de cargas, desarrolla sólo tensiones de compresión.
La forma ideal de un arco capaz de resistir cargas determinadas por un estado de
compresión simple puede hallarse siempre con la forma del polígono funicular
correspondiente, invertido (figuras 11 y 12).
Por lo general, la forma de un arco de cualquier material apto para resistir compresiones,
se elige de modo que corresponda al polígono funicular de la carga debida al peso propio, pero
cuando actúan otras cargas, como las llamadas sobrecargas variables (nieve, viento, sismo,
etc.), se desarrolla un estado de tensiones distinto de la compresión simple. Un cable puede
soportar cualquier sistema de cargas de tracción, cambiando para ello su forma; un arco no
puede cambiar su forma, y por lo tanto no puede ser funicular de todas las cargas que se
espera actúen sobre él. La estabilidad del arco implica falta de adaptación, y por ello en todo
arco existe siempre una combinación de compresión y flexión.
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Figura 11 - Arco
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Figura 12 - Cable
Ejemplo 2; Resolución Analítica de un Arco Triarticulado (figura 13).
Figura 13 - Arco Triarticulado trabajando a Flexocompresión
Utilización de Ecuaciones de Equilibrio Estático.
Datos: l = 30m; h = 10m; P1 = 1t; P2 = 3t.
ΣM
A
=0
ΣY=0
Mf C
der
=0 (Punto de Momento cero porque el cable carece de rigidez flexional).
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ΣX=0
Conociendo las reacciones se construye el polígono de fuerzas (figura 14)
Figura 14 - Polígono de Fuerzas
Cálculo de la flexión ocasionada por una carga variable.
También podría plantearse la siguiente ecuación:
R
a
= Reacción de apoyo
e = excentricidad de la fuerza, distancia normal a la recta de acción de la fuerza desde el
eje de la pieza.
El momento flector es máximo en la sección d-porque es donde más se aleja la curva de
presiones de la geometría del arco (figura 13).
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Si se invierte la forma parabólica que toma un cable sobre el cual actúan cargas
uniformemente distribuidas según una horizontal, se obtiene la forma ideal de un arco que,
sometido a ese tipo de carga, desarrolla sólo tensiones de compresión (figura 15).
Figura 15 - Arco Funicular
El arco es en esencia una estructura de compresión utilizada para cubrir grandes luces.
Esta tipología estructural fue desarrollada inicialmente por los romanos, y se construía en
piedra o mampuestos.
En las construcciones pesadas, de piedra o mampostería, la forma del arco es
generalmente el antifunicular de su peso propio y el de los muros que actúan de contrafuertes,
aunque exista flexión debido a las sobrecargas de uso y variables (figura 16). En los grandes
arcos de acero, las sobrecargas de uso y variables representan una parte de la carga total más
importante que el peso propio e introducen una mayor flexión que en los de piedra; pero dada
la resistencia, tanto a la tracción como a la compresión del acero, no existen problemas para
dimensionar las piezas a flexocompresión (figuras 17 y 18).
Figura 16 - Arcos de Mampostería
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Figura 17 - Estación Terminal de Waterloo, N. Grimshaw, Londres, 1993
Figura 18 - Esquema de cargas y diagrama de Momentos Flectores
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Relación entre la forma y el funcionamiento de una estructura
Figura 19 -
Figura 20 -
La forma estructural es una de las variables que maneja el diseñador y, casi siempre, es
aquélla sobre la que tiene más posibilidades de acción y, sin lugar a dudas, la más significativa
dentro del resultado arquitectónico.
Algunos creen que la forma de la estructura incide de manera determinante en el tipo de
solicitación a que está sometida. Siguiendo esa hipótesis podríamos deducir que las
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estructuras de cable y los arcos trabajan sólo, o principalmente a esfuerzos axiales de tracción
y de compresión respectivamente (figuras 19 y 20). Para el caso de una viga recta
simplemente apoyada la solicitación principal sería la de flexión y también de corte, con un
importante trabajo de deformación, entonces la estructura no trabaja por forma, sino por
material (figura 21).
Figura 21 -
Si bien la forma ha incidido en la diferencia de solicitación, también han influido las cargas y
las reacciones, por lo tanto el tipo de vínculos de la estructura.
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Si el arco se asienta sobre un apoyo incapaz de reaccionar horizontalmente (por ejemplo
una columna esbelta), tendrá las mismas reacciones que una viga, y también los mismos
momentos flectores (figuras 22 y 23).
Figura 22 - Influencia de los Vínculos en el comportamiento estructural
Figura 23 - Viga de eje quebrado
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Si se considera la acción sísmica como fuerzas horizontales equivalentes, proporcionales a
la masa de la construcción, y las aplicamos a las estructuras mencionadas, veremos que las
solicitaciones varían: el cable no tiene rigidez y oscilará mientras actúe la carga porque no
tiene posibilidad de equilibrio más que a través de acomodar su geometría (figura 24); el arco
tendrá reacciones no coincidentes con la dirección del arranque, habrá excentricidades, y por
lo tanto flexiones (figura 25); la viga apenas sentirá alguna tracción o compresión sin
flexionarse (figura 26).
Figura 24 -
Figura 25 -
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Figura 26 -
“¿Hay estructuras que no tengan alguna forma o que no estén hechas de algún material?
Si todas tienen forma y material no puede resultar éste un buen criterio para diferenciar su
comportamiento. En cambio sí hay estructuras que, cuando ante ciertas condiciones de
vínculos y cargas trabajan exclusivamente a tracción (cables) o a compresión (arcos,
columnas, puntales), o a flexión (losas, vigas).
Casi siempre las estructuras sometidas a cargas axiales son más eficientes que las
flexionadas.
Lo que no debe olvidarse nunca es que la solicitación en cualquier sección depende de las
cargas, de las reacciones que a su vez dependen de los vínculos, y de la geometría de la
estructura.” (Intuición y Razonamiento en el Diseño Estructural, Daniel Moisset de
Espanés).
Bibliografía:
MOISSET, D. (1999). Intuición y Razonamiento en el Diseño Estructural, Córdoba,
Argentina. Editorial Ingreso.
TORROJA, E. Razón y ser de los tipos estructurales. Consejo Superior de Investigaciones
Científicas. Madrid. España.
SALVADORI, M. (1986). Estructuras para Arquitectos, Madrid, España. Kliczkowski
Publisher.
CATEDRA DE ESTRUCTURAS IV (1988). Apuntes de Cátedra.
FERNANDEZ SAIZ, M. (1989-1990). Relaciones Recíprocas entre Mecánica Estructural y
la Definición y Calificación del Espacio Arquitectónico. Tipología: Arco. Trabajo de
Investigación para SeCyT, UNC
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