155
POLINOMIOS
CAPÍTULO 6: POLINOMIOS
TEMARIO
6.1 DEFINCION
6.2 POLINOMIOS PARTICULARES
6.3 IGUALDAD DE POLINOMIOS
6.4 OPERACIONES DE POLINOMIOS
6.5 PROPIEDADES
6.6 DIVISIBILIDAD EN EL CONJUNTO DE LOS
POLINOMIOS
6.7 FUNCIONES POLINÓMICAS
6.8 TEOREMA DEL RESTO
6.9 RELACIÓN DE DIVISOR
6.10 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
6.11 POLINOMIOS CON COEFICIENTES REALES
6.12 CASO PARTICULAR
OBJETIVO
Lograr que el alumno:
Afiance y extienda el estudio de polinomios en C como base para
resolver situaciones problemáticas.
Capítulo
6
156
6.1 DEFINCION
Sea (K,+, .) un cuerpo conmutativo y los símbolos x
0
, x
1
, x
2
,….x
n
se llama polinomio en la
indeterminada x y con coeficientes en K , a la expresión formal:
P(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+...+a
n-1
x
n-1
+ a
n
x
n
(I)
Donde los a
i
pertenecientes a K se llaman coeficientes, n es un número entero no negativo
y los x
i
son símbolos indeterminados.
Si los coeficientes pertenecen a C el polinomio se dice complejo; pero si los a
i
pertenecen a
R la expresión (I) se dice polinomio real.
La expresión (I) se llama expresión formal de un polinomio pero la llamaremos
simplemente polinomio. La expresión formal de un polinomio es lo que llamaremos
polinomio ordenado y completo.
El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorias como
n
i
i
i
xaxP
0
Al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada x con coeficientes en K lo
denotamos por K x
6.1.1 Grado de un polinomio
Esta dado por el exponente de la indeterminada x correspondiente al último coeficiente no
nulo. Si a
n
≠ 0 es gr(P) = n
El grado coincide con el subíndice del último coeficiente no nulo y también indica el
número de términos que le preceden. Convenimos, además, que el polinomio nulo carece
de grado.
Por ejemplo: P(x) = 2x
0
+3x
1
+ (-4) x
2
+0x
3
+3x
4
gr(P) = 4
Se conviene en escribir el polinomio anterior de la siguiente forma:
P(x) = 2 + 3x - 4x
2
+ 3x
4
6.2 POLINOMIOS PARTICULARES
6.2.1 Polinomio constante
Si todos los coeficientes son nulos, exceptuando el primero, el polinomio se llama
constante. Su grado es cero.
Q(x) = 5x
0
= 5; gr(Q) = 0
Si en un polinomio constante a
0
= 1 el polinomio se llama polinomio unidad.
157
6.2.2 Polinomio nulo
Es aquel que tiene todos sus coeficientes nulos. El polinomio nulo carece de grado.
S(x) = 0x
0
+ 0x
1
+0x
2
+…= 0 polinomio nulo
6.3 IGUALDAD DE POLINOMIOS
Dos polinomios son iguales cuando son del mismo grado y todos sus coeficientes son
iguales.
E.1 Ejercicios
Determinar
m
y
n
para que resulten iguales
xP
y
xQ
.
))((31833
2
nxmxxQxxxP
Desarrollamos el polinomio
xQ
mnxnmxmnmxnxxnxmx 3)(33)(3))((3
22
Luego por igualdad de polinomio debe ser:
(b)
(a)
6
1
183
3 )(3
mn
nm
mn
nm
De
(a)
nm 1
(c)
En
(b)
0666).1(
22
nnnnnn
Calculando las raíces:
23
2
51
2
6.411
21
nnn
Reemplazando
3
1
n
en
(c)
obtenemos
231
1
m
Reemplazando
2
2
n
en
(c)
obtenemos
3)2(1
2
m
Los números son:
32 nm
o
.23 nm
Desarrollar el polinomio
xQ
utilizando el comando Expand
3x mx n 3mn 3mx 3nx 3x
2
158
Por definición de igualdad entre polinomios formar un sistema de ecuaciones que resulta de
igualar los coeficientes. Utilizar el comando
Solve Exact para hallar la solución del
sistema.
6.4 OPERACIONES DE POLINOMIOS
6.4.1 Suma
Dados los polinomios P(x) y Q(x) K x, siendo:
P(x) = a
0
x
0
+ a
1
x
1
+ a
2
x
2
+…+ a
n
x
n
gr(P) = n
Q(x) = b
0
x
0
+ b
1
x
1
+ b
2
x
2
+…+ b
m
x
gr(Q) = m, con m>n
Definiremos la suma de dos polinomios P(x) y Q(x) de la siguiente forma:
P(x) + Q(x) = (a
0
+ b
0
)x
0
+ (a
1
+ b
1
)x
1
+ ...+ b
m
x
m
El grado de la suma está dado por el polinomio de mayor grado o bien por uno menor.
6.4.2 Producto
Se define al producto de la siguiente forma:
P(x) Q(x)= (a
0
b
0
)x
0
+ (a
0
b
1
+ a
1
b
0
)x
1
+ (a
0
b
2
+ a
1
b
1
+ ab
0
)x
2
+…+a
n
b
m
x
n+m
El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios
factores. gr(PQ) = gr(P) + gr(Q)
En la práctica, tanto para la suma como para el producto los polinomios se ordenan en
forma decreciente.
E.2 Ejercicios
Dados los polinomios
134)(
23
xxxxP
y
13)(
2
xxxQ
Efectuar:
)()( xQxP
y
)()( xQ xP
3m 3n 3
3mn 18
, Solution is:
m 2,n 3
,
m 3,n 2
159
2424)()(
13)(
134)(
23
2
23
xxxxQxP
xxxQ
xxxxP
1412154
3x4x
339xx21
134
13
134
2345
2345
234
23
2
23
xxxxx)x(Q)x(P
xx
xx
xxx
xx)x(Q
xxx)x(P
Para realizar la suma utilizar el comando
Evaluate
242413134)( )(
23223
xxxxxxxxxQxP
Para realizar el producto utilizar el comando Expand
141215413134
2345223
xxxxxxxxxx)x(Q)x(P
6.5 PROPIEDADES
6.5.1 Propiedades de la suma
Sean P(x), Q(x), R(x) polinomios pertenecientes a K x, se verifica las siguientes
propiedades
S
1
: Ley de cierre: P(x)+Q(x) pertenece a K x
S
2
: Asociativa: (P(x)+Q(x))+R(x) = P(x)+(Q(x)+R(x))
S
3
: Ley del neutro: P(x)+ 0 = 0 + P(x) = P(x) (0, polinomio nulo)
S
4
: Ley del opuesto: P(x) (-P(x)) / P(x)+(- P(x)) = 0
Dos polinomios son opuestos cuando difieren únicamente en el signo de sus coeficientes.
S
5
: Ley conmutativa P(x) + Q(x)=Q(x) + P(x)
En consecuencia la suma confiere al conjunto K x la estructura de grupo abeliano.
160
6.5.2 Propiedades del producto
P
1
: Ley de cierre: P(x) Q(x) pertenece a K x
P
2
: Ley asociativa: (P(x) Q(x)) R(x) = P(x) (Q(x)) R(x))
P
3
: Ley del neutro: P(x) I = I P(x) = P(x) (I, polinomio unidad)
En el producto de polinomio no se verifica la ley del de inverso
P
4
: Conmutativa: P(x) Q(x) = Q(x) P(x)
P
5
: Distributiva con respecto a la suma, a derecha e izquierda:
(P(x) +Q(x)) R(x) = P(x) R(x) + Q(x) R(x) y R(x) (P(x) + Q(x)) = R(x) P(x) + R(x) Q(x)
Cuando en un conjunto se definen dos operaciones tal que la primera confiere al conjunto
estructura de grupo abeliano, la segunda cumple con las propiedades de ley de cierre,
asociativa, con elemento neutro y también distributivo con respecto a la primera, se dice
que dicho conjunto con esas operaciones tiene estructura de anillo.
Las consideraciones anteriores permiten afirma que la terna (K x, +, .) es un anillo
conmutativo con unidad.
Todo anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero, se llama dominio de
integridad. Un anillo, (A +, .) no tiene divisores de cero, si y sólo si elementos no nulos
dan producto no nulo.
El anillo de polinomio K x es dominio de integridad, pero no es un cuerpo, ya que no todo
polinomio no nulo admite inverso multiplicativo
Teorema: Un polinomio de K x admite inverso multiplicativo si y sólo si es de grado cero.
Demostración: Sea P(x) K x un polinomio con inverso multiplicativo. Entonces, existe
Q(x) K x tal que: P(x) Q(x) = Q(x) P(x) = 1. Por ser K x un dominio de integridad, se
tiene:
gr(P)+gr(Q) = gr(1) = 0, y como los grados son enteros no negativos,
resulta gr(P) = gr(Q) =0
Recíprocamente, si gr(P) =0 P = a
0
≠ 0. y, como a
0
es un elemento no nulo de K, admite
inverso multiplicativo a
0
-1
. Es decir existe P
-1
(x) = a
0
-1
E.3 Ejercicios
Dados
)i(ixxxP 2
2
y
12
2
ixxxQ
, Hallar: a)
xQ.xQxP
161
a)
xQxQxP
12
2
2
2
ixxxQ
)i(ixxxP
12
1 2
2
2
ixxxQ
)i(ixxxQxP
)1(2
)22(24
)1(2
2
223
234
iix x
xixi ix
xiix x
)i(x)i(x)i(ixxxQxQxP 12152
234
Realizar la suma utilizar el comando
Evaluate
iixxixxiixxxQxP 12122
222
Luego para realizar el producto utilizar el comando Expand
ixixiixxixxiixxxQxQxP 121521212
23422
b)
xPxQ
2
Para hallar
xQ
2
hacemos
xQ
xQ
:
12
12
2
2
ixxxQ
ixxxQ
x
4
2ix
3
x
2
2ix
3
4x
2
2ix
x
2
ix 2 i
)i(ixxxP
ixxixxxQ
2
1424
2
2342
iixxixxxPxQ 3534
2342
162
Para hallar
xQ
2
utilizamos el comando Compute/Expand
142412
234
2
22
ixxixxixxxQ
Luego para calcular
xPxQ
2
utilizar el comando Evaluate
iixxixxiixxixxixxxPxQ 353421424
23422342
c) Hallar el cuadrado de
ixixxR
2
2
234223242
2
22
44442 xxxxixixiixixxR
Realizar la operación indicada utilizando el comando Expand
234
2
22
442 xxxixixxR
6.6 DIVISIBILIDAD EN EL CONJUNTO DE LOS POLINOMIOS
En el conjunto de los polinomios se puede definir la resta ya que la suma tiene inverso
aditivo, pero no se puede definir la división exacta, ya que la multiplicación no tiene
inverso.
Estudiaremos la divisibilidad en el conjunto Rx.
Dado dos polinomios P(x) y Q(x) 0, siempre existen dos polinomios C(x) y R(x) tal que se
verifica:
P(x) = Q(x) C(x) + R(x) siendo gr(R) gr(Q), se llama a C(x) cociente y a R(x) resto.
163
Por ejemplo dado P(x) =
20235x
234
xxx
y Q(x) =
2
2
xx
, hallar P(x):Q(x)
217x
2211x11x
206x11x
4x2x2x
2x9x2x
112x5x10x5x5x
2xx202xx3x5x
2
2
23
23
2234
2234
E.4 Ejercicios
Hallar el cociente y resto entre P(x) y Q(x)
a)
12
2
1
23
xxQxxxxP
8
1
8
1
4
1
0
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
120
2
1
2
2
8
1
4
1
2
2
1
23
23
x
x
xx
xx
xxxx
xxxx
Para dividir dos polinomios P(x) y Q(x) y conocer C(x) y R(x), cociente y resto
respectivamente, se debe escribir la expresión en la forma:
)(
)(
xQ
xP
164
Ir al menú
Compute+Polynomials+Divide el cual les brindará el siguiente resultado:
resto
cociente
xQ
xR
xC
xQ
xP
)(
)(
)(
)(
)(
de la lectura directa se obtiene C(x) y R(x)
8
1
2
1
4
1
128
1
12
2
1
2
23
xx
xx
xxx
Entonces:
8
1
4
1
2
1
2
xxxC
8
1
R
b)
12 2
424
xxxQyxxxP
12
112
122
2
4
424
xx
xx
xxxx
x
4
x
2
2
x
4
2x 1
x
2
2x 1
x
4
2x 1
1
165
c)
2
2
2
1
4
xxxQxxP
x
xxx
xx
xxxxx
xxx
8
842
42
4242
2
2
1
23
23
2234
24
E.5 Ejercicios
Determinar
m
para que
xP
resulte divisible por
xQ
, siendo:
xmxxxxP 373
234
y
xxxQ 3
2
xm
xmxm
xxm
xx
mxx
)(mxxxx
xxxmxxx
1833
636
36
62
2
62393
3373
2
2
23
23
234
2234
Para resto = 0, debe ser:
5015301833 mmm
x
4
1
2
x
2
x 2
4x 8
x
1
2
x
2
x 2
2x
2
166
Dividir los polinomios como en el ejercicio anterior y obtener C(x) y R(x) en función de m.
Teniendo en cuenta que si P(x) es divisible por Q(x) el resto debe ser cero.
Escribir la ecuación que resulta de esta condición y resolver utilizando el comando Solve
Exact
Verificando para m = -5
6.6.1 Caso particular: Regla de Ruffini
En el caso en que el divisor sea de primer grado y mónico, es posible obtener el cociente y
resto, mediante el procedimiento conocido como Regla de Ruffini.
Sean
01
2
2
... axaxaxaxP
n
n
y
axbxxQ
0
, siendo
0
ba
,
entonces el
coeficiente y el resto, se obtiene siguiendo el procedimiento indicado en el ejemplo
siguiente:
Siendo
6235)(
234
xxxxxP
y
2 xxQ
.
904825135
965026102
62135
Siendo el cociente
4825135)(
23
xxxxC
y resto
90R
En la Regla de Ruffini el dividendo debe ser un polinomio ordenado y completo.
E.6 Ejercicios
Aplicando Ruffini calcular el cociente y el resto entre
xP
y
xQ
.
a)
ixxQixxxxP 12
456
3x
4
7x
3
mx
2
3x
x
2
3x
m 2x 3x
2
x
3m 15
x
2
3x
6
3m 15 0, Solution is: 5
3x
4
7x
3
5x
2
3x
x
2
3x
3x
2
2x 1
167
a)
Riiiiii
iiiiiii
i
111111
11111
1000211
ixixixixixxC 11111)(
2345
y
iR
Como el algoritmo de Ruffini es un caso especial de división entre polinomios; para
obtener el cociente y el resto, se utilizan los mismos pasos que en el ejercicio anterior;
presentándose una variante en el cociente entre polinomios con coeficientes complejos, en
tal caso para dividir los mismos utilizar la combinación: Compute+Polynomials+Partial
fractions de la barra de menú.
b)
1212
2
1
2
2
1
3
xxQxxxxP
Multiplicando
xP
y
xQ
por
2
1
para que
xQ
sea mónico. El cociente no altera pero el
resto queda multiplicado por
2
1
.
2
1
2
1
2
1
4
1
2
4
1
3
2
1
xxQxxxxP
16
13
8
5
4
3
1
16
5
8
3
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
1
8
13
16
13
2
1
8
5
4
3
2
)( RRxxxC
x
6
x
5
2ix
4
1
x i
1 i
x
i
x i
1 i
x
2
1 i
x
3
1 i
x
4
x
5
1 i
168
Ir al menú Compute/Polynomials/Divide el cual les brindará el siguiente resultado:
6.7 FUNCIONES POLINÓMICAS
6.7.1 Valor del polinomio
Dado un polinomio
n
i
i
i
xaxP
0
. Si a la indeterminada x le asignamos valores dentro de
los números complejos por ejemplo x =
y reemplazamos en el polinomio las x por
, el
número complejo que se obtiene al realizar las operaciones indicadas se llama valor del
polinomio
xP
y se indica P(
).
CCC
,: P/P
A esta función se la llama función polinómica con dominio y rango en los complejos, pero
también se puede definir dentro de los reales.
Una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un
anillo conmutativo (o un cuerpo). Formalmente, es una función
xPx:f
.
Caso particular: si el gr(P) = 0, se tiene una función constante.
E.7 Ejercicios
Dada la función polinómica
223
34
xxx)x(f/:f CC
Hallar las imágenes de:
a)
i2
a)
2)2(2)2.(3)2()2(
34
iiiif
i
iii
2818
242416
34
iif 2818)2(
2x
3
1
2
x
2
1
2
x 1
2x 1
x
2
13
8
2x 1
3
4
x
5
8
169
Reemplazar en la función dada los valores indicados y utilizar el comando
Evaluate
b)
i1
b)
2)1(2)1(3)1()1(
34
i i iif
i
ii
ii
410
2664
222)22(34
iif 410)1(
Cálculos auxiliares
44641)1(
4324
iiiii
iiiii 22331)1(
323
Reemplazar en la función dada los valores indicados y utilizar el comando
Evaluate
6.8 TEOREMA DEL RESTO
Dado un polinomio P en la indeterminada x que indicaremos
xP
, el valor del polinomio
en
es igual al resto de dividir dicho polinomio por (x-
).
Sea:
xCR
xxP -
f
2i
2i
4
3
2i
3
2
2i
2 18 28i
f
1 i
1 i
4
3
1 i
3
2
1 i
2 10 4i
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