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Momentos de segundo orden
Jorge Ballaben
Definición
Los momentos de segundo orden o momentos de inercia, que indicaremos con la letra I se definen como la masa
multiplicada por la
distancia al cuadrado entre el centro de masa al eje de referencia respecto del cual se quiera
calcular (el eje se indica en el subíndice):
En particular, si la figura tiene densidad homogénea (es decir, igual en toda el área), la masa podrá adoptarse
directamente como el área. En este caso, el momento estático tendrá unidades de longitud a la cuarta [m⁴],
[cm⁴], etc.
Para un sistema
continuo y homogéneo, el momento de inercia del área A, pasa de la suma discreta a la integral
de los elementos diferenciales de área (dA) multiplicada por su distancia al cuadrado, al eje en cuestión.
Entonces el momento de inercia de un elemento diferencial de área (dA) respecto del eje y, será z²dA. La suma
para dA considerado un elemento diferencial, se convierte en la integral.
Definiremos como momentos de inercia axiales, a los que se calculan directamente como el producto del área por
la distancia a un eje al cuadrado. En la figura anterior, son los momentos Iy e Iz. Además definiremos como
producto de inercia al que se obtiene de multiplicar al área por las distancias a ambos ejes.
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Como el área (o la masa) es siempre positiva y las distancias van elevadas al
cuadrado, los momentos de inercia axiales son siempre estrictamente positivos. El
único caso límite para el cual un momento de inercia axial es cero, es cuando se
considera una segmento de línea, y se intenta calcular el momento respecto de un eje
coincidente con segmento: en este caso, la distancia será cero (la masa, en el caso
de una línea, será su longitud).
Por otra parte, el producto de inercia, éste puede ser positivo, negativo o nulo, de
acuerdo a la posición de los ejes de referencia.
En general, nos interesa conocer las propiedades respecto del centro de masa. Recordemos que en nuestros
modelos, representamos los elementos estructurales como líneas, y esas líneas representan la posición del
centro de masa de los elementos estructurales.
Para figuras simples (círculos, rectángulos, triángulos, etc.), los momentos de inercia axiales se encuentran
tabulados ( ). Asimismo existen tablas para figuras complejas, que corresponden con las formas de
las secciones transversales de perfiles de acero ( .
link a la tabla
link a tabla de perfiles IPN y UPN
Traslación de inercia entre ejes paralelos: Teorema de Steiner
Es usual que las secciones de los elementos estructurales consistan en una combinación de figuras simples. Ya
que conocemos la inercia respecto del centro de masa de cada una de las partes (lo podemos leer de la tabla)
veremos ahora como proceder para calcular la inercia de un conjunto de figuras.
Para poder sumar las inercias de cada una de las figuras que constituyen un conjunto, primero debemos obtener
la inercia de cada una de ellas respecto de un sistema de referencia común. En general este sistema de
referencia estará ubicado en el centro de masa del conjunto de figuras. De todas maneras, el procedimiento que
veremos a continuación sirve para cualquier ubicación donde se desee ubicar los ejes de referencia.
Podemos usar el teorema de Steiner para determinar la inercia de la figura respecto de un sistema cualquiera XY,
cuando conocemos su inercia respecto de su centro de masa (en el ejemplo de arriba, sería la inercia respecto de
los ejes verdes, a-b). La única condición que debemos verificar es que los ejes
ab sean paralelos a los XY
respectivamente.
En resumen, para aplicar el teorema de Steiner:
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Conozco: inercias respecto del centro de masa (ejes ab) de la figura en cuestión. Este dato usualmente se
obtiene de tablas.
Quiero conocer: inercias respecto de otros ejes XY, paralelos a los ejes ab.
El teorema de Steiner indica que Ix se calcula como la suma de Ia (inercia sobre el eje paralelo a X) mas la masa
multiplicada por la separación al cuadrado entre los ejes:
De la misma manera se puede extender el razonamiento y encontrar Iy y Ixy:
Entonces, la aplicación del teorema de Steiner consiste en calcular la inercia de la figura como si fuera la de una
masa concentrada (m × d²) y sumarle la inercia calculada respecto del centro de masa de la figura. La condición
de aplicación es que los ejes de referencia sean paralelos.
Resolución del ejemplo anterior
1. Obtenemos la inercia centroidal del rectángulo de la tabla:
Los momentos de inercia respecto del centro de masa son los que corresponden a la columna de la derecha y se
indican con un subíndice “c”. Como no se indica otra cosa, trabajaremos considerando densidad homogénea,
por lo que la masa será el área de la figura (8 cm²). Por lo tanto las unidades finales deberán ser unidades de
longitud a la 4 potencia, en este caso, cm⁴.
2. Los ejes ab son paralelos a XY, por lo tanto, aplicamos el teorema de Steiner:
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Recordar: no sumar inercias de tabla de forma directa (están calculadas respecto de
distintos sistemas de referencia).
Ejemplo 2
Analicemos ahora la sección formada por dos perfiles metálicos UPN140, formando un cajón cerrado. Nuestro
objetivo es conocer las inercias axiales centroidales (de unos ejes ubicados en el centro de masa) de la
sección compuesta.
Esta configuración es interesante porque permite construir vigas o columnas de
sección cuadrada hueca, a partir de dos perfiles comerciales. Es necesario crear la
sección a partir de dos perfiles ya que no existe disponibilidad comercial de tubos
de este tamaño y este grosor.
La denominación de los perfiles comerciales se realiza describiendo su forma (U) y
su altura en milímetros UPN o PNU indican Perfil Normalizado “U” y 140 marca que su
altura es 140 mm.
Se dicen U (es una U acostada) y no C, porque la denominación C se usa para otros
perfiles, de menor espesor, elaborados a través de otro proceso.
De la misma manera tenemos perfiles IPN (Perfil Normalizado “I”) perfiles “L” o
“ángulo”, etc.
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Información que podemos obtener de las tablas:
Buscamos la tabla correspondiente al perfil. En este caso es el perfil UPN.
Buscamos en la primera columna (designación) el valor correspondiente a la altura. Toda la fila
correspondiente al valor 140 (altura del perfil de este ejemplo) tendrá los datos que necesitaremos.
Nos interesan los datos:
bf (largo del ala del perfil) : 60 mm
Ag (área del perfil) : 20.40 cm²
Ix (momento de inercia axial respecto del eje x centroidal del perfil) : 605 cm⁴
Iy (momento de inercia axial respecto del eje y centroidal del perfil) : 62.7 cm⁴
ey (distancia entre el centro de masa y el canto exterior del perfil) : 1.75 cm
Análisis rápido del perfil y de los datos de tabla
La posición “vertical” del centro de masa no se indica en la tabla. Esto es así porque el perfil es simétrico y se
sabe de antemano que el centro de masa debe estar sobre el eje de simetría. Por lo tanto, solo se indica la
posición horizontal, con referencia al canto del perfil.
La inercia respecto del eje X es mucho mayor que la inercia sobre el eje Y. Esto es así porque las alas (partes
horizontales de la U) son más anchas que el alma (parte vertical que une ambas alas) y las alas se
encuentran bastante separadas del eje centroidal. Por definición el momento de inercia es masa por distancia
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al cuadrado, por lo tanto cuanto más masa (área en este caso) mayor inercia, y cuanto más distancia
también.
De ambos, la distancia es el factor más determinante, ya que está al cuadrado.
Hagamos una cuenta rápida (aproximada):
a. Si consideramos solo las alas, de la tabla, el largo es 6cm y el ancho (tf) es 1cm. Su área será 6cm².
b. La distancia del centroide del rectángulo del ala al eje x será 6.5cm.
c. Si calculamos el momento de inercia de las dos alas (aproximadas como forma de rectángulo) respecto
del eje x, será: 2×[6cm² × (6.5cm)²] = 2×[6cm² × 42.25cm²] = 507 cm⁴. En esta cuenta hemos
despreciado la inercia centroidal de cada rectángulo (0.5 cm⁴) respecto de su centroide.
El porcentaje de aporte de las alas al momento de inercia axial es aproximadamente 507/605 = 84%.
Entonces, las alas por su separación respecto del eje x, son el principal elemento de aporte de inercia. De
hecho,
se busca que las secciones tengan el mayor momento de inercia posible, ya que el momento de inercia es un
parámetro de resistencia y rigidez
. Como “separar” la sección del eje aumenta en gran medida la inercia, es
que los perfiles comerciales tienen esta forma de U o de I, donde las alas tienen bastante más espesor que el
alma.
Aplicación del teorema de Steiner
Siguiendo con el ejemplo, como nos interesa conocer las las inercias centroidales, lo primero que debemos
hacer es determinar la posición del centro de masa. Como se trata de una figura que tiene
doble simetría, el
centro de masa se encuentra en la intersección de los ejes de simetría. El lector podrá verificarlo usando
momentos estáticos.
Como los ejes centroidales de cada uno de los perfiles UPN son paralelos al eje centroidal de la figura formada
por ambos
, podemos aplicar el Teorema de Steiner para determinar los momentos de inercia de la figura
compuesta:
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Discusión de los resultados
En las fórmulas anteriores se multiplicó por dos porque se está trabajando con dos perfiles iguales y al ser un
sistema simétrico las inercias y distancias son iguales para ambos.
En este caso, los ejes centroidales horizontales
x de cada uno de los UPN coinciden con el eje horizontal
centroidal
XG de la figura completa. Por lo tanto, la distancia entre ambos es cero, como se consignó en la
fórmula de . Luego, podemos ver que cuando los ejes coinciden, las inercias pueden sumarse de forma
directa, lo cual es lógico, pues son inercias respecto del mismo eje.
En el caso de la inercia respecto del eje YG, como los ejes centroidales de los perfiles UPN no coinciden con el eje
centroidal de la figura completa, es necesario aplicar el teorema de Steiner.
Momentos de inercia principales, direcciones principales de
inercia y Círculo de Mohr
Como hemos visto hasta aquí, los momentos (estáticos y de inercia) dependen de la posición de los ejes respecto
de los cuales se hacen los cálculos. Adicionalmente, dependen de la
orientación de los ejes. Por ejemplo si
rotamos 90º los ejes y llamamos y-horizontal y x-vertical, habremos invertido los valores de Ix y Iy. Usualmente
trabajamos con un sistema de ejes x-horizontal y-vertical, pero de ninguna manera esto debería ser considerado
como una condición única.
Ya hemos visto como determinar la inercia de un sistema compuesto de figuras respecto de algún punto
cualquiera, siempre que trabajemos con sistemas de ejes paralelos. En particular nos interesa conocer las
propiedades de las secciones respecto de su centro de masa, ya que es la posición que representamos en
nuestros modelos de estructuras “de rayitas”.
Como la inercia depende también de la orientación, es importante conocer en qué orientación o para qué
rotación de los ejes se encuentran la inercia máxima y la mínima. Ambos son valores muy importantes, ya que la
dirección de inercia máxima nos indicará como orientar la sección para lograr el mejor aprovechamiento
(máxima resistencia y rigidez) y la dirección de menor inercia nos indicará la dirección más “débil” (mínima
resistencia y rigidez). Los términos máximo y mínimo se usan aquí de manera absoluta: para los ejes ubicados en
un punto específico (por ejemplo el centro de masa), tendremos un único máximo y un único mínimo. Las
orientaciones de ambas direcciones estarán estrictamente a 90º una de la otra, como veremos en breve.
A las inercias máxima y mínima se las conoce con el nombre de inercias
principales y se indican como I₁ e I₂ respectivamente. Las el ángulo que es
necesario rotar el sistema de ejes actual para obtener I₁ se conoce como
ángulo principal y se indica como
α₁.
Fórmulas para determinar las inercias y direcciones principales
A continuación se indican las fórmulas para determinar las inercias principales y las respectivas direcciones:
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Algunas aclaraciones sobre las fórmulas:
La fórmula de las inercias principales incluye ambos subíndices y un “±”. Para encontrar I₁ se debe sumar y
para encontrar I₂ se debe restar.
Las inercias principales mantienen las propiedades de los momentos de inercia axiales generales, por lo que
sus valores deben ser estrictamente positivos.
La fórmula del ángulo α tiene un signo negativo. Esto es para compensar el signo de las cuentas y que el
resultado resulte positivo para giros antihorarios. En esta fórmula Ixy debe ingresarse con su signo
(recordemos que Ixy puede ser positivo, negativo o incluso cero). Es recomendable que el lector se
familiarice con , ya que a veces la calculadora no puede resolverla (tiende a
infinito cuando su argumento tiende a 90º±k*180º con k entero, en particular para k=0, es decir para 90º).
la forma de la función tangente
El círculo de Mohr
En la figura de arriba se indican las coordenadas x de los puntos donde una circunferencia de radio R con su
centro en coordenadas (C , 0) corta el eje X. En esta posición x₁=C+R y x₂=C-R. El lector podrá corroborar
también que C =(x₁+ x₂)/2. De acuerdo a esto la ecuación de los momentos principales de inercia puede ser
interpretada como la ecuación de una circunferencia. Esta circunferencia tiene nombre:
Circunferencia de Mohr.
Veamos como dibujar la circunferencia de Mohr y sus aplicaciones.
Los ejes se ordenarán de la siguiente manera: el semieje positivo de abscisas corresponderá a inercias axiales
(Ix e Iy) y el eje de ordenadas al producto de inercia (Ixy).
Indicaremos en el plano y llamaremos X al punto de coordenadas (Ix, Ixy). En este caso, Ixy debe tener su
verdadero signo.
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Indicaremos en el plano y llamaremos Y al punto de coordenadas (Iy, -Ixy). En este caso, Ixy debe tener su
signo invertido.
Trazaremos una recta uniendo los puntos X e Y que marcamos antes.
Donde la recta corta al eje de las abscisas, encontraremos el centro C de la circunferencia de Mohr.
La longitud del segmento CX o CY será el radio (la longitud XY es el diámetro de la circunferencia).
Conocidos el centro y el radio, podemos dibujar la circunferencia de Mohr.
El ángulo β que s indica en la figura es dos veces el ángulo α que los ejes de la figura deben rotar para ubicarse en
las direcciones principales ⇒ α = β/2. En este ejemplo el giro es horario, y es el eje x original, indicado por la
dirección CX el que al rotar β/2 alcanzará la dirección principal mayor.
Ejemplo
Veamos un caso típico donde las direcciones principales no son x-horizontal y-vertical: el perfil ángulo. Veamos
que ocurre con el perfil L64x64x4.8.
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El dato de Ixy no está en la tabla (al final veremos por qué). De todas maneras, el valor indicado es el correcto
en valor y número. El lector podrá hacer una aproximación con 2 rectángulos y verificar tanto el valor como el
signo. El signo negativo puede explicarse geométricamente porque la figura tiene más área en los cuadrantes
negativos que en los positivos, para los ejes ubicados en el centro de masa.
Si aplicamos las ecuaciones, encontraremos que I₁ = 36.76 cm⁴ e I₂ =8.65 cm⁴. El lector podrá corroborar que
el ángulo principal no puede obtenerse por medio de la calculadora. El ángulo es 45º, ¿pero en que sentido?.
El procedimiento para trazar la circunferencia de Mohr se reproduce abajo, siguiendo literalmente la guía:
De la observación del círculo de Mohr tanto los momentos de inercia principales como la orientación de los ejes
(o dirección principal) son de lectura directa. En este caso, vemos que debemos rotar el eje X (representado por
el segmento CX) 45º en sentido antihorario para encontrar la dirección principal mayor (representada por el
segmento CI₁). Para ser de utilidad, la circunferencia debe dibujarse a escala.
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Discusión y resumen de los resultados
Vimos un ejemplo donde Ix e Iy no son los momentos principales. Por medio de la aplicación de las fórmulas
y el trazado y análisis de la circunferencia de Mohr, encontramos los momentos y direcciones principales de
inercia.
Es importante conocer las direcciones principales y los momentos de inercia principales para poder estimar
correctamente el funcionamiento de las secciones. En particular de esta manera sabremos donde las
propiedades son las mejores y donde son las peores.
Una de las direcciones principales de inercia (en este caso la dirección 1) se encuentra sobre el eje de
simetría de la figura. Este resultado no es casual. Si por el punto de análisis -en este caso, el centro de masa-
se puede encontrar una dirección de simetría, ésta será una dirección principal, aunque no necesariamente
la mayor, como resultó aquí. Es decir, las direcciones de simetría son siempre direcciones principales de
inercia. Si existe un solo eje de simetría, la dirección perpendicular a la de simetría también deberá ser una
dirección principal de inercia (los ejes principales están rotados 90º entre si).
El círculo de Mohr es un método gráfico. Permite obtener fácilmente los momentos y
direcciones principales, pero su aplicación no se limita a esto. A través del
círculo de Mohr, es posible determinar las inercias axiales y el producto de inercia
para cualquier rotación que se desee.
Por ejemplo, imaginemos que queremos conocer los momentos de segundo orden del perfil ángulo del ejemplo
anterior, para un sistema de ejes rotado 20º en sentido horario.
Recordemos que los ángulos en el círculo van al doble.
El procedimiento es muy simple: se rota la línea XY al doble del ángulo buscado (en este caso será 2×20º=40º)
en el sentido correspondiente. La componente de abscisas de las coordenadas de los puntos de intersección de
la línea X’Y’(XY rotada) serán los momentos de inercia axiales y la ordenada del punto X’ (después de la
rotación) será el producto de inercia (en valor y en signo):
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Axil y Reticulados 2.0 - verificaciones · Trabajo Práctico 3.2 - Esfuerzo axil y reticulados planos.pdf
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