13. INTEGRALES DOBLES EN
COORDENADAS POLARES
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Facultad Regional Córdoba
Dpto. Ciencias Básicas - Análisis Matemático II
Cambio de Variables. Coordenadas Polares
El cálculo de una integral se puede simplificar mediante un conveniente cambio
de variables. En su forma general el cambio de coordenadas, siendo x=g(u,v) e
y=h(u,v), se realiza:
Por lo tanto:
Las coordenadas rectangulares se relacionan con las
coordenadas polares por medio de las siguientes
ecuaciones:
El Jacobiano de Transformación resulta:
Reemplazando:
Finalmente en coordenadas polares:
Ejemplo 1
Resolver
, siendo D el circulo de radio r=2 y centro en el origen de
coordenadas
La solución de este ejercicio es más simple en coordenadas
polares que rectangulares.
El dominio de integración en coordenadas cartesianas:
Sabemos que en coordenadas polares
, por lo
tanto:
Entonces los límites de integración del radiovector:
Los limites de integración de θ (vuelta completa):
La función a integrar en coordenadas rectangulares:
Sabemos que , entonces en coordenadas polares:
Por definición . Solo
tomamos el valor positivo
Jacobiano de transformación
Ejemplo 2
Calcular el área encerrada por las siguientes funciones:
La función
en coordenadas polares:
La función
en coordenadas polares:
Entonces los límites de integración de r:
La función en coordenadas polares:
Como por lo tanto, los limites de integración de θ:
r
Eje polar
Cálculos auxiliares:
Identidad Trigonométrica:
Cambio de variable:
Reemplazo por esta
identidad en la integral
Realizamos todos estos cambios para obtener una integral directa básica, de las que
usamos habitualmente.
Ejemplo 3
Calcular el volumen encerrado por las siguientes funciones:
El cilindro en coordenadas polares:
Los límites de integración de r:
Los limites de integración de θ:
También se podría calcular en el primer octante, con θ de 0 a π/2 y multiplicar por 4 a la
integral debido a la simetría del volumen a calcular.
El plano (función techo) en coordenadas polares:
Función piso z=0 (plano xy)
Proyección en plano xy
El volumen a calcular es el del
sólido formado dentro del
cilindro, por debajo del plano
hasta z=0
Ejemplo 4
Calcular el volumen encerrado por las siguientes funciones:
La función
en coordenadas polares:
La función
en coordenadas polares:
Los límites de integración de r:
Los limites de integración de θ:
También se podría calcular en el primer octante, con θ de 0 a π/2 y multiplicar por 4 a la integral debido a la
simetría del volumen a calcular.
El paraboloide (función techo) en coordenadas polares:
Función piso z=0 (plano xy)
Proyección en plano xy
El volumen a calcular es el del
sólido formado entre los
cilindros y por debajo del
paraboloide
Ejemplo 5
Calcular el volumen encerrado por las siguientes funciones:
La esfera en coordenadas polares:
El paraboloide en coordenadas polares:
Igualamos (1) y (2) para encontrar la intersección de ambas
superficies:
El valor negativo no es coherente, no verifica la ecuación (2), por lo
tanto en z=1 se da la intersección de las superficies. Si z=1,
reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones:
Recordemos que
, por lo
tanto, el dominio de integración es una circunferencia de radio
Los límites de integración de r:
Los limites de integración de θ:
Esfera
Paraboloide
Proyección de la intersección de las superficies sobre el plano
xy.
Dominio de integración
Función techo (esfera), despejamos z de la ecuación (1):
Función piso (paraboloide), despejamos z de la ecuación (2):
Cálculos auxiliares:
Cambio de variable:
Ejemplo 6
Calcular el volumen encerrado por las siguientes funciones:
El cilindro en coordenadas polares:
Los límites de integración de r:
Los limites de integración de θ:
El paraboloide (función techo) en coordenadas polares:
Función piso z=0
Proyección en el plano xy.
Dominio
Podemos observar como va variando
el radio a medida que cambia el
ángulo θ
El volumen a calcular es el
del sólido formado debajo
del paraboloide hasta z=0,
dentro del cilindro
Cálculos auxiliares:
Identidades trigonométricas:
Reemplazamos
por esta identidad
en la integral
Cambio de variable:
Cambio de variable:
Determinar el volumen definido por las siguientes funciones.:
Determinar el volumen definido por las siguientes funciones.:
Calcular el área comprendida entre:
Realizar los ejercicios de la
Guía de Integrales Dobles-Cambio de coordenadas y los
ejercicios de la clase pasada.
Por cualquier duda o consulta dirigirse a [email protected] especificando en el
ASUNTO del correo: curso, legajo, apellido y nombre; en el siguiente formato: [1H9]
99999 APELLIDO, NOMBRE
21. EDO segundo orden segunda parte.pdf
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