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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CHACO AUSTRAL
CONICAS: PARÁBOLA
10
PROFESORADO EN CIENCIAS QUIMICAS Y DEL AMBIENTE: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN FISICA: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN MATEMATICA: Álgebra Lineal y Geometría
FARMACIA: Matemática II
INGENIERIAS: QUIMICA, ALIMENTOS, INDUSTRIAL: Álgebra Lineal y Geometría Analítica
LICENCIATURA EN BIOTECNOLOGÍA: Álgebra Lineal y Geometría
Página | 26
PARÁBOLA
Otra de las llamadas secciones cónicas, es la parábola, que se
obtiene como intersección entre una superficie cónica circular
recta y un plano transversal paralelo a una generatriz.
DEFINICIÓN
Dados en un plano π, una recta “d” y un punto F que no le pertenece, se llama parábola al
lugar geométrico de los puntos del ese plano que equidistan de “d” y de “F”.
La recta se llama directriz. El punto F se llama foco.
La recta perpendicular a la directriz que contiene el foco, es el
eje de simetría y se llama eje de la parábola.
La intersección de la parábola con el eje es el vértice.
La distancia del foco a la directriz, se llama parámetro de la
parábola y en general se lo designa con │p│.
Por definición de parábola, el vértice es el punto medio de la
distancia del foco a la directriz.
A la parábola de foco F y directriz d, la indicaremos: P(F,d)
P(F,d)={x Є π ∕ d(x,F) = d(x,d) }
El segmento determinado por dos puntos cualquiera de la
parábola se llama cuerda.
La cuerda perpendicular el eje que contiene al foco se llama lado recto.
La razón entre la distancia del vértice al foco y la distancia del vértice a la directriz se llama
excentricidad y es igual a 1 (uno) en todo los casos.
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA
Consideremos una parábola referida a un sistema de
ejes cartesianos tal que el eje de la parábola coincida
con uno de los ejes coordenados, por ejemplo el de las
ordenadas y su vértice coincide con el origen de
coordenadas.
Las ecuaciones del foco son: (0,p/2)
Sea P(x,y) un punto de la parábola y
RP
la distancia de P a la directriz
Luego: R(x,-p/2) .
La ecuación de la directriz es: y=-p/2
Por definición de parábola es:
1RPFP
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Reemplazando en (1) por la formula de distancia
entre dos puntos es:
2
2
2
2
22
0
p
yxx
p
yx
Elevando al cuadrado
Desarrollando y simplificando
44
2
2
2
22
p
ypy
p
ypyx
O sea
ypx .2
2
O bien: (1)
Cualquiera de las expresiones recuadradas constituyen la: Ecuación Canónica de la
Parábola.
Si hacemos:
;
2
1
a
p
la ecuación (1) se transforma
en:
y = a x
2
Si “a” es un número negativo, los brazos de la
parábola se abren hacia abajo.
Observación:
Si consideramos a la parábola de eje coincidente con el eje de las
abscisas, la ecuación de la parábola será de la forma:
,2
2
pxy
o bien
2
2
1
y
p
x
La deducción a cargo del alumno.
Nota: Tener en cuenta que el coeficiente de la variable que
figura al cuadrado será
p
a
2
1
siempre que el coeficiente de la
otra sea igual a 1, o bien el coeficiente de la variable de 1° grado es el duplo del parámetro con
su correspondiente signo, en este caso el coeficiente de la otra variable es 1.
2
.
2
1
x
p
y
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -2 2 4
X
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Ejemplo: Determinar las coordenadas de foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado
recto y representar la parábola de ecuación: y = 1/8x
2
.
Solución:
El foco se encuentra en el eje de ordenadas
por lo tanto su abscisa es 0 y su ordenada p/2
p
a
2
1
;
p2
1
8
1
Luego:
4p
Las coordenadas del foco son: (0,2)
La ecuación de la directriz:
2
p
y
;
2y
Los extremos del lado recto tienen 4 y -4 por abscisas pues la distancia de cada uno al foco es
igual al valor absoluto del parámetro
4p
.
En consecuencia la longitud del lado recto es siempre
84.2.2 p
CONSTRUCCION DE LA PARABOLA
Como lugar geométrico utilizando Cabri
Construya una recta d.
Marque un punto O sobre la recta d.
Construya una recta r que pase por O y que sea perpendicular
a d.
Construya la recta r, mediatriz del segmento FO.
Llame R a la intersección entre r y s.
Mida los segmentos FR y OR y compruebe que tienen igual
longitud.
Mueva el punto O y vea si la igualdad se mantiene.
Trace con CONSTRUIR-LUGAR GEOMETRICO el lugar
geométrico de R mientras O se mueve sobre d (haga clic sobre
R y luego haga clic sobre el punto O).
Oculte todos los elementos necesarios de tal manera que la
figura resultante sea la siguiente:
y = -2
-1
0
1
2
3
-4 -2 2 4
X
F(0,2)
y = 1/8x
2
M(4,2)
M`(-4,2)
y
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Construcción de la parábola por puntos conocidos el foco y la directriz.
Conociendo el Foco y la recta directriz, ubicamos el vértice, ya
que es punto medio FV =VM.
Determinamos puntos A, B, C, cualesquiera sobre el eje de la
parábola y cortamos a las rectas perpendiculares al eje que pasa
por esos puntos con circunferencias de centro en F radio AM,
BM, CM, obteniéndose los puntos A`, A``, B`, B``, C`, C``, que
son puntos de la parábola
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE EJE PARALELO A UNO DE LOS EJES
COORDENADOS
Consideremos una parábola de eje paralelo a uno
de los ejes ordenados y su vértice de
coordenadas: 0’(h,k).
Tomamos un nuevo sistema de ejes paralelo a los
del sistema primitivo y su origen en el vértice de
la parábola: {0’,x’,y’}.
La ecuación de la parábola referida al nuevo
sistema será de la forma:
2
'' axy
(1)
Aplicando las fórmulas de transformación de
coordenadas por ser una traslación:
kyy
hxx
'
'
Reemplazando en (1)
2
hxaky
(2)
O bien:
Ecuación de la parábola de vértice (h,k) y eje paralelo al eje “y”.
Desarrollando el cuadrado de la última:
kahahxaxy
22
2
llamando:
kahc
ahb
2
2
la ecuación anterior es:
de la forma:
Esta es la conocida expresión o ley que define a la función cuadrática siendo su grafica una
parábola si se la define de R en R.
khxay
2
.
cbxaxy
2
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Ejemplo I:
Dada la ecuación de la parábola: y=2.(x+3)
2
+1, determinar: las coordenadas del vértice, la
ecuación de su eje y la ecuación de su directriz.
Las coordenadas del vértice: (-3,1)
El eje es paralelo al eje “y”, luego su ecuación es: x = -3
Su directriz es paralela al eje “x” su ecuación es: y =
Determinando p:
8
1
2
;
4
1
2
1
2;
2
1
p
p
pp
a
Luego:
8
1
1y
o sea
8
7
y
Ecuación de la directriz
Representación a cargo del alumno.
Observación:
Si el eje de la parábola es paralelo al eje de las abscisas, la ecuación correspondiente será de la
forma:
(3) (3)
si “a” es negativo los brazos de la parábola se abren hacia la izquierda.
( la ecuación (3) no define ninguna función ya que para cada valor de x se pueden tener dos
valores para y).
Ejemplo II
Determinar si la ecuación: y
2
-6y-2x+7 = 0 corresponde a una parábola, determinar las
coordenadas del vértice y la ecuación del eje.
Llevando a la forma según (3)
xyy 276
2
Completando el trinomio cuadrado
xyy 297)96(
2
xy 22)3(
2
xy 1)3.(
2
1
2
2
)3(
2
1
1 yx
Luego el vértice tiene por coordenadas: (-1,3). eje es paralelo al eje “x” de ecuación: y = 3
2
).( kyahx
0
1
2
3
4
5
6
y
-2 -1 1 2 3 4 5
x
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Ejemplo III:
Determinar la ecuación de la parábola de foco F(7,2) y directriz: x=5
Se trata de una parábola de eje paralelo al eje “x”, determinando el parámetro: p = 7-5 = 2 .
Como
4
1
2
1
aes
p
a
La abscisa del vértice es:
6
2
57
y la ordenada es igual a la del foco por ser paralelo al eje
“x” o sea: V(6,2).
La ecuación será:
0284444244
2
4
1
6
22
2
2
yxyyyx
yx
kyahx
Ejemplo IV:
Hallar la ecuación de una parábola de vértice V(3,4) y de foco F(3,2).
Determinar la ecuación del eje, de la directriz y longitud del lado recto.
Como el foco y el vértice tienen igual abscisa, el eje de la parábola debe ser paralelo al eje
“y”.
Su ecuación es x = 3.
242
2
p
(Diferencia de ordenadas) o sea:
4p
Luego:
8
1
2
1
p
a
La ecuación será:
2
2
3
8
1
4
xy
hxaky
Como
0p
la directriz se encuentra por arriba del vértice ya que la parábola tiene sus brazos
que se abren hacia abajo y además es paralelo al eje “x”. Su ecuación será:
2
p
yy
v
; o sea:
24y
6y
ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE 2º GRADO SIN TÉRMINO RECTANGULAR
Sea una ecuación de 2º grado en dos variables sin término rectangular de la
forma:
10
22
feydxcyax
sin que a y c sean simultáneamente nulos.
De acuerdo a las características de los coeficientes de los términos, puede determinar si esa
ecuación es del “género” de una elipse, de una hipérbola o de de una parábola. Decimos, por
ejemplo del género de una elipse, pues su gráfica no necesariamente será una elipse, es decir
damos condiciones necesarias pero no suficientes.
Se presentan tres casos:
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1º Caso:
Si a.c>0, la ecuación es del género de la elipse.
La ecuación (1) se puede llevar a la siguiente forma completando trinomios cuadrados
perfectos:
qkychxa
22
con: a y c positivos.
Se presentan tres posibilidades:
a) Si q>0 la grafica es una elipse.(circunferencia si a=c)
b) Si q=0 la gráfica se reduce a en punto de coordenadas (h,k)
c) Si q<0 la gráfica es el conjunto vacío.
Ejemplo:
07130432
22
yxyx
Corresponde a una elipse de ecuación:
1
2
5
3
1
22
yx
)5,1(C
El desarrollo a cargo del alumno.
Observación:
Verificar que el centro de la elipse está dado por:
a
d
h
2
;
c
e
k
2
2º Caso:
Si a.c<0, es decir a y c tienen distintos signos, la ecuación (1) será del género de la hipérbola.
Si a la ecuación se la puede llevar a la forma:
qkychxa
22
con a>0 y c<0
Se presentan tres posibilidades:
a) Si q > 0 la gráfica es una hipérbola de eje focal // al eje “x”
b) Si q < 0 la gráfica es una hipérbola de eje focal // al eje “y”
c) Si q = 0 la gráfica es un par de rectas que se cortan en el punto (h,k). hay que
transformar la diferencia de cuadrados en un producto.
Ejemplo:
016482
22
yxyx
A cargo del alumno Sol:
81812
22
yx
3º Caso:
Si a.c=0 es decir a=0 c=0 La ecuación (1) es del género de la parábola, supongamos que
a≠0, la ecuación (1) puede llevarse a la forma:
qeyhxa
2
Se presentan las siguientes posibilidades:
a) Si e ≠ 0 se obtiene una parábola de eje paralelo al eje “y”.
b) Si e = 0 y q > 0, la gráfica son dos rectas paralelas.
c) Si e = 0 y q = 0, la gráfica es la recta de ecuación: x = h.
d) Si e = 0 y q < 0, la gráfica es el conjunto vacío.
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Ejemplo I
Determinar si la ecuación corresponde a una parábola:
04834
2
yxy
A cargo del alumno.
Solución: es una parábola de eje paralelo al eje “x” y vértice: (0,1)
Ejemplo II
0126
2
xx
Luego:
33
91296
2
2
x
xx
Como e = 0 y
3q
<0. Se obtiene el conjunto vacío.
En dicha ecuación no existe ningún valor para “x” que verifique dicha ecuación.
Observación: igual razonamiento se utiliza si a=0 y c≠0.
14 Superficies Cuádricas.pdf
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