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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CHACO AUSTRAL
CONICAS: HIPÉRBOLA
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PROFESORADO EN CIENCIAS QUIMICAS Y DEL AMBIENTE: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN FISICA: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN MATEMATICA: Álgebra Lineal y Geometría
FARMACIA: Matemática II
INGENIERÍA: QUIMICA, ALIMENTOS, INDUSTRIAL, SISTEMA DE INFORMACIÓN: Álgebra Lineal y Geometría Analítica
LICENCIATURA EN BIOTECNOLOGÍA: Álgebra Lineal y Geometría
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HIPÉRBOLA
Hipérbola es la cónica que se obtiene cuando un plano secante
transversal (que no es paralelo a ninguna recta generatriz) corta a
las dos mantas de un cono circular recto de dos hojas.
DEFINICIÓN:
Dados en un plano dos puntos
1
F
y
2
F
y un número real positivo a, siendo
21
2 FFa
, se
llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano para los cuales el valor absoluto
de la diferencia de sus distancias a
1
F
y
2
F
es siempre constante e igual a 2a.
P pertenece a la hipérbola si y solo sí
aPFPF 2
21
ELEMENTOS DE UNA HIPERBOLA
Los puntos fijos
21
FyF
se llaman focos.
La distancia entre los focos se llama
Distancia focal y la indicaremos con 2c.
O sea:
accFF 222
21
La recta determinada por los focos se
llama eje focal o eje transverso. (e)
La recta perpendicular al eje anterior que
pasa por el punto medio de
21
FF
se llama
eje no transverso o eje secundario. (e’)
El eje focal corta a la hipérbola en dos
puntos V y V’ llamados vértices reales.
El punto medio del segmento determinado por los focos o bien por los vértices, es el centro.
Tanto los ejes como el centro son ejes de simetría y centro de simetría respectivamente.
El segmento determinado por dos puntos cualquiera de la hipérbola se llama cuerda. Si la
cuerda contiene a uno de los focos se llama cuerda focal.
La cuerda focal que es perpendicular al eje focal se llama lado recto.
Una cuerda que contiene al centro se llama diámetro. Si P es un punto de la hipérbola, los
segmentos determinados por este punto y los focos se llaman radios vectores de P.
e´
e
P
F
2
F
1
e
e
´
V´
e´
e
F
2
V´
F
1
V
C (
Eje focal
Eje imaginario
Asíntotas
Rectángulo
fundamental
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'SS
Cuerda
'EE
Cuerda focal
'RR
Lado recto
'VV
Diámetro
21
PFyPF
Radios Vectores de P
ECUACIÓN CANONICA DE LA HIPÉRBOLA
Consideremos una hipérbola cuyo eje focal
coincide con el eje de las abscisas y el eje
secundario con el eje de las ordenadas. El centro de
la hipérbola es el origen de coordenadas. Luego:
0,0,
21
cFycF
Sea un punto genérico P(x,y). Por definición de
hipérbola es:
aPFPF 2
21
o sea:
aPFPF 2
21
Reemplazando por la fórmula de distancia:
aycxycx 2
2
2
2
2
Trasponiendo términos es:
2
2
2
2
2 ycxaycx
Elevando al cuadrado y
desarrollando
2222
2
2222
2442 ycxcxycxaaycxcx
Cancelando
2
2
2
444 ycxaaxc
Simplificando el 4 y elevando al
cuadrado
22224222
2.2 ycxcxaaxcacx
22222224222
22 yacaxcaxaaxcacx
Cancelando y transponiendo
términos
422222222
acayaxaxc
Factoreando
22222222
acayaacx
Haciendo
222
bac
y
reemplazando
222222
bayabx
Dividiendo por
22
ba
y
simplificando
e
e
´
S
S´
R
R´
E
F
2
F
1
E´
p
V
V´
x
y
P(x,y)
F
2
(-c,0)
F
1
(c,0)
O
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1
2
2
2
2
b
y
a
x
Que es la Ecuación Canónica de la Hipérbola.
Observación: si la hipérbola tiene el eje transverso coincidente con el eje de las ordenadas, su
ecuación será:
1
2
2
2
2
b
x
a
y
Ejercicio: Determinar la ecuación de la hipérbola si el centro coincide con el origen de
coordenadas, un vértice es (3,0) y uno de sus focos es (5,0). (A cargo del alumno)
Significado geométrico de “a” y “b”
Si designamos con
1
A
y
2
A
los vértices, se puede probar como se hizo para elipse que:
aAA 2
21
o bien:
aAA
00
21
Luego:
0,;0,
21
aAaA
Si con centro en
1
A
y radio igual a “c” se corta al
eje “y” en los puntos
1
B
y
2
B
estos puntos reciben
el nombre de vértices imaginarios.
Considerando el triángulo rectángulo
11
0AB
es por
el teorema de Pitágoras:
2
1
2
11
2
1
00 AABB
o sea:
22
2
1
0 acB
;
2
2
1
0 bB
Luego:
bB 0
1
Por lo tanto;
bBybB ,0,0
21
FORMA EXPLÍCITA
De la ecuación canónica de la hipérbola despejamos
“y”:
2
2
2
2
1
b
y
a
x
o sea:
2
2
2
22
b
y
a
ax
Extrayendo raíz
b
y
a
ax
22
22
ax
a
b
y
Ecuación Explícita
Observamos que para que la raíz tenga solución real debe ser
ax
.
Es decir la hipérbola no tiene puntos cuyas abscisas sean en valor absoluto menor que “a”.
Esto también se expresa diciendo que en la faja determinada por las rectas: x = a y x = -a no
existen puntos de la hipérbola.
x
y
B
1
F
1
(c,0)
O
c
a
b
B
2
A
1
A
2
F
2
(-c,0)
x
y
F
1
O
A
1
A
2
x = a
x = -
F
2
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EXCENTRICIDAD DE LA HIPERBOLA
Se llama excentricidad de la hipérbola al cociente
e
a
c
y caracteriza la hipérbola desde el
punto de vista de su forma. Es siempre un número mayor que 1. Si e =1 la hipérbola se
transforma en dos semirrectas de origen en cada uno de los vértices y de sentidos opuestos. Si
e = ∞ la hipérbola se transforma en dos rectas paralelas.
ASINTOTAS DE UNA HIPERBOLA
Dada una hipérbola de ecuación:
1
2
2
2
2
b
y
a
x
, se llaman asíntotas de la misma a las rectas de
ecuación:
0
0
b
y
a
x
b
y
a
x
o bien
x
a
b
y
x
a
b
y
Estas rectas tienen la característica de que se acercan
indefinidamente a la hipérbola sin llegar a “tocarla”,
de ahí el nombre de asíntotas.
Las asíntotas determinan dos pares de ángulos
opuestos por el vértice. En uno de esos pares se
encuentran incluidas ambas ramas de la hipérbola.
En consecuencia, todas las rectas que contienen al
origen de coordenada y tal que sus pendientes sean
mayores que la pendiente de cada una de las
asíntotas, en valor absoluto, no cortan a la hipérbola.
Si a>b el ángulo que determinan las asíntotas y que incluyen a la hipérbola es agudo y la hipérbola se
llama acutángulo.
Si a< b dicho ángulo es obtuso y la hipérbola se llama obtusángulo.
Para determinar en forma geométrica las asíntotas se trazan perpendiculares a los ejes por los vértices
reales A
1
, A
2
y los imaginarios B
1
y B
2
. Queda determinado un rectángulo, las rectas que contienen a
sus diagonales son las asíntotas. En efecto las pendientes de esas rectas son:
a
b
tg
y
a
b
tg
º180
En el caso que la hipérbola tenga sus focos sobre el eje “y”, las ecuaciones de las asíntotas
son:
x
b
a
yx
b
a
y ,
Ejercicio: La ecuación de una de las asíntotas de una hipérbola de eje focal en el eje “x” es
xy
3
2
, determinar la ecuación de la hipérbola.
x
y
x
a
b
y
x
a
b
y
O
A
1
A
2
B
2
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HIPÉRBOLAS CONJUGADAS:
Se llaman hipérbolas conjugadas aquellas que tienen las mismas asíntotas, pero el eje focal de
una, es el eje no transverso de la otra. ( Figura anterior)
Es evidente que si la ecuación de una es:
1
2
2
2
2
b
y
a
x
, la ecuación de la conjugada es:
1
2
2
2
2
a
x
b
y
o bien
1
2
2
2
2
b
y
a
x
. En este caso se debe tener presente que b
2
hace las veces
de a
2
o sea “2b” es la distancia entre los vértices.
CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA
El método para determinar puntos de la hipérbola es el siguiente:
Dados “c” y “a” se determina la posición
de los focos
21
FyF
y de los vértices
21
AyA
. En la semirrecta de origen
1
F
y que no contiene al otro foco, se toma
un punto cualquiera M. Con centro en
los focos y radio igual a la distancia de
M a cada uno de los vértices, se trazan
circunferencias que resultan secantes dos
a dos quedando determinado 4 puntos de
la hipérbola. Se toma otro punto N y se
realiza el mismo procedimiento.
Es conveniente trazar siempre las
asíntotas ya que con ellas obtenemos una
“guía” para el trazado de la hipérbola.
Construcción de una hipérbola como lugar geométrico:Utilizando Cabri
Construir una circunferencia con CURVAS-
CIRCULO y llamar F al centro de esta
circunferencia.
Marcar un punto B sobre la circunferencia.
Crear un punto G exterior a la circunferencia.
Construir la recta r que pasa por F y B y
luego la recta t que es mediatriz del segmento
GB.
Llamar S a la intersección de las rectas r y t.
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Medir los segmentos FS, GS y FB. ¿Qué relación existe entre la medida de estos segmentos?.
Mover el punto B y ver si la relación se mantiene.
Trazar con CONSTRUIR-LUGAR GEOMÉTRICO el lugar geométrico de S mientras B se
mueve sobre la circunferencia.
HIPÉRBOLA EQUILÁTERA
En la hipérbola equilátera no existe ninguna relación especial entre a y b, pudiendo ser a
mayor, menor o igual. En el caso en que a es igual a b, la hipérbola recibe el nombre de
equilátera.
Su ecuación será:
1
2
2
2
2
a
y
a
x
o sea:
222
ayx
Las ecuaciones de las asíntotas son:
0
0
yx
yx
o bien
xy
xy
Como a=b al rectángulo que determinan las asíntotas resulta un cuadrado, en consecuencia las
dos asíntotas son perpendiculares y forman con los ejes ángulos de 45°.
HIPÉRBOLA DE EJES DE SIMETRÍA PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS
Dada una hipérbola con centro en 0’(h,k) y ejes paralelos a los ejes coordenados, se desea
hallar su ecuación con respecto a los ejes “x” o “y”. Se considera un nuevo sistema cuyos ejes
coinciden con los ejes de la hipérbola. Sea ese sistema {0’,x’,y’} que se ha obtenido a partir
del sistema original mediante una traslación de ejes.
La ecuación de la hipérbola en un nuevo sistema es:
1
''
2
2
2
2
b
y
a
x
Por transformación de coordenadas por traslación
se tiene:
hxx '
;
kyy '
Reemplazando en la
ecuación dada:
1
2
2
2
2
b
ky
a
hx
Esta es la ecuación de la
hipérbola de ejes paralelos a los ejes coordenados,
siendo el eje focal paralelos al eje “x”.
Las ecuaciones de las ecuaciones de las asíntotas
serán: En el nuevo sistema
'' x
a
b
y
y en el
sistema primitivo:
hx
a
b
ky
x´
y´
O’ (h,k)
x
y
O
k
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Con un razonamiento análogo se obtiene la ecuación de una hipérbola de ejes paralelos a los
ejes coordenadas siendo el eje focal paralelos al “y”.
Observaciones: al igual que lo hecho con la elipse, la ecuación anterior de la hipérbola puede
expresarse como una ecuación de segundo grado con dos variables sin término rectangular
dónde los coeficientes de
2
x
e
2
y
son números con signos opuestos. Lo recíproco no siempre
se cumple.
Ejemplo:
Determinar si la siguiente ecuación corresponde a una hipérbola, en caso afirmativo dar las
coordenadas del centro de la hipérbola y las ecuaciones de sus asíntotas;
051241045
22
yxyx
Representarla. (A cargo del alumno)
14 Superficies Cuádricas.pdf
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