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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CHACO AUSTRAL
CONICAS: ELIPSE
10
PROFESORADO EN CIENCIAS QUIMICAS Y DEL AMBIENTE: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN FISICA: Álgebra y Geometría Analítica
PROFESORADO EN MATEMATICA: Álgebra Lineal y Geometría
FARMACIA: Matemática II
INGENIERÍA: QUIMICA, ALIMENTOS, INDUSTRIAL, SISTEMA DE INFORMACIÓN: Álgebra Lineal y Geometría Analítica
LICENCIATURA EN BIOTECNOLOGÍA: Álgebra Lineal y Geometría
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INTRODUCCIÓN
Las figuras que estamos estudiando, todas ellas conocidas con el
nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de
una superficie cónica con un plano.
La sección cónica que se obtiene al cortar el cono circular recto con
un plano oblicuo se denomina Elipse.
DEFINICIÓN
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a
dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los
vértices.
O bien:
Dados en un plano dos puntos
21
FyF
y un número real positivo “a” tal que
21
2 FFa
, se
llama elipse al lugar geométrico de los puntos del plano tal que la suma de sus respectivas
distancias a
21
FyF
sea constante e igual a 2a.
Elipse
aPFPFP 2/
21
con
21
;, FFP
pertenecientes a
Constituye la Ecuación Vectorial de la elipse
Si P, R, T, etc. Son puntos de la elipse se cumple:
aTFTFRFRFPFPF 2.....
212121
ELEMENTOS DE UNA ELIPSE
En una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen podemos distinguir los
siguientes elementos:
Focos: son los puntos F
1
(c,0) y F
2
(-c,0)
A
1
A
2
B
1
B
2
F
1
F
2
R
P
O
ELIPSE
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Distancia focal: es la distancia entre los focos
y la indicaremos con 2c.
Centro: es el punto medio del segmento que
une los focos.
Eje focal: es la recta que contiene a los focos se
lo llama también eje principal y es eje de
simetría.
Eje normal: el otro eje de simetría es la
mediatriz del segmento
21
FF
Vértices: son los puntos de intersección de la
curva con los ejes de coordenados ( o más
general con su eje focal)
0,
1
aA
;
0,
2
aA
;
bB ,0
1
;
bB ,0
2
. Los dos primeros se denominan vértices principales y
los otros dos vértices secundarios. Los números a y b se llaman respectivamente semieje
mayor y semieje menor de la elipse.
Lado recto: L
1
L
2
longitud de la perpendicular al eje focal trazada por cada uno de los focos y
limitada por la curva. Su longitud es:
a
b
LL
2
21
2
.
Cuerda: es el segmento determinado por dos puntos de la elipse.
Cuerda focal: es toda cuerda que pasa por un foco.
Ejes: se denomina eje mayor o diámetro mayor al segmento de eje focal A
1
A
2
, de longitud
igual a 2a y eje menor o diámetro menor al segmento de eje normal B
1
B
2
, de longitud 2b (con
b<a) trazada por el centro de la elipse.
Significado de “a”
Consideremos al punto
1
A
intersección de la elipse con el eje focal. Por pertenecer ese punto
a la elipse, se cumple:
aFAFA 2
2111
Por suma de distancia:
aOFOAFA 2
2111
1211
OFOAFA
pues
1221
y OFOFOAOA
por ser eje de simetría
Ordenando:
aOAOFFA 2
2111
Sumando:
aOAOAaAA
2121
2
El segmento
21
AA
se lo llama diámetro mayor y también se lo conoce como eje mayor.
El eje normal corta a la elipse en dos puntos B
1
y B
2
, el segmento B
1
B
2
se lo llama diámetro
menor o eje menor.
Si P es un punto de la elipse, los segmentos
1
PF
y
2
PF
se llaman radios vectores de P.
A
1
A
2
B
1
B
2
F
1
F
2
R
R
1
S
1
L
1
L
2
S
x
y
a
b
c
Cuerda
C
o
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Significado geométrico de “b”
Si B
1
y B
2
son los puntos de intersección de la elipse con el eje de las ordenadas y siendo éste
la mediatriz de
21
FF
, dichos puntos equidistan de los focos.
O sea:
Como B
1
pertenece a la elipse se cumple:
Luego por (1):
En el triangulo B
1
OF
1
por Pitágoras es:
bOBbcaOB
1
222
2
1
En consecuencia, 2b es la medida del diámetro menor de la elipse que también se llama eje
menor.
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE
Determinaremos la ecuación canónica de la elipse, es decir, aquella cuyo centro coincide con
el origen de coordenadas y sus ejes de simetría con los ejes coordenados.
Consideremos el caso en que el eje focal de la elipse sea el eje coordenado “x”.
Tomamos el punto P(x,y) perteneciente a la elipse.
Por definición resulta:
Las coordenadas de los focos son:
F
1
(c,0) y F
2
(-c,0).
Aplicando en (1) la fórmula de distancia
entre dos puntos resulta:
Transponiendo el 2° radical al 2° miembro y elevando al cuadrado ambos miembros es:
2
2
2
2
2
2
2
ycxaycx
Simplificando y desarrollando
2222
2
222
2442
2
ycxcxycxaaycxcx
Trasponiendo términos.
12
21
aPFPF
aycxycx 2
2
2
2
A
1
A
2
B
1
B
2
F
1
F
2
P(x,y)
O
x
y
1
2111
FBFB
aFBFB 2
2111
aFBFB
21
1
1
2
1
2
11
2
1
OFFBOB
A
1
A
2
B
1
B
2
F
1
F
2
O
x
y
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2
2
2
2
2
444 xcaycxa
Dividiendo por 4 y elevando al cuadrado
22242222
22 cxxcaaycxcxa
22242222222
22 cxxcaayaacxcaxa
Trasponiendo los términos con x e y al
primer miembro
224222222
caayacxxa
Sacando factor común
22222222
caayacax
Si hacemos:
222
bca
222222
bayabx
Dividiendo por
22
ba
y simplificando:
1
2
2
2
2
b
y
a
x
Ecuación Canónica de la Elipse
Luego, las coordenadas de todo punto de la elipse verifica esta ecuación. Recíprocamente,
todo punto del plano cuyas coordenada verifique esa ecuación, son puntos de la elipse.
Si el eje focal de la elipse coincide con el de las ordenadas, la ecuación será de la forma:
1
2
2
2
2
a
y
b
x
Ejemplo:
Dada la elipse de ecuación:
1
1636
22
yx
determinar a, b y c.
Solución:
Como:
416;636
22
bbaa
Por relación pitagórica c
2
= a
2
b
2
O sea:
52201636 cc
Observar que: a>b y a>c
FORMA EXPLÍCITA DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
Dada: Despejando y:
1
2
2
2
2
b
y
a
x
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O sea:
Por lo tanto:
Que es la ecuación de la elipse en su forma explícita.
Dando valores a “x” tal que
ax
PROPIEDADES
En base a la ecuación canónica se confirman las siguientes propiedades:
a) La elipse es simétrica con respecto al eje x.
Si (x
1
,y
1
) Elipse (x
1
,
y
1
) Elipse
b) Es simétrica con respecto al eje y.
Si (x
1
,y
1
) Elipse (
x
1
,y
1
) Elipse
c) Es simétrica con respecto al centro O.
Si (x
1
,y
1
) Elipse (
x
1
,
y
1
) Elipse
EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE
La forma de la elipse queda caracterizada por un número dado por el cociente entre c y a. Este
cociente se llama excentricidad y la designaremos con “e”.
a
c
e
con
10
a
c
Si e = 0 entonces c = 0 la elipse se convierte en circunferencia.
Si e = 1 entonces c = a luego: b
2
= a
2
c
2
=0 por lo tanto b = 0 lo que nos dice que carece de
radio menor y la elipse se convierte en dos segmentos coincidentes.
Ejercicios
1°) Los focos de la elipse son: (0,4) y (0,-4) y el diámetro mayor es 10. Determinar la
ecuación y la excentricidad y dar las coordenadas de los vértices.
2°) Siendo el eje focal el eje “x”, determinar la ecuación de la elipse que contiene a
P(-2√5; 2) y el semidiámetro menor es 3.
3°) El eje mayor es 20, la excentricidad es 3/5 y el eje focal es el eje “y”.
Determinar su ecuación.
2
2
2
2
1
a
x
b
y
2
22
a
xa
b
y
22
xa
a
b
y
x
y
P(x
1
,
y
1
)
P(
x
1
,y
1
)
P(
x
1
,
y
1
)
P(x
1
,y
1
)
A
1
A
2
B
1
B
2
F
1
F
2
O
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CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE POR PUNTOS
Primer procedimiento: Conociendo la distancia focal y el diámetro mayor.
Si se conocen 2c y 2a se puede determinar sobre
el eje focal F
1
, F
2
, A
1
, A
2
.
Se toma un punto cualquiera M perteneciente al
segmento
21
FF
.
Haciendo centro en ambos focos y con radio
MA
1
se trazan circunferencias. Con centro en
los focos y radio
MA
2
se trazan otras dos
circunferencias que determinan los anteriores
cuatro puntos de la elipse. Se repite el mismo
procedimiento tomando otro punto distinto de M.
Segundo procedimiento: Conociendo “a” y “b”
Se trazan dos rectas perpendiculares (ejes). Con
centro en el punto de intersección se trazan dos
circunferencias de radios “a” y “b”. Se traza una
semirrecta cualquiera con origen en el centro que
corta a la circunferencia exterior en un punto M y
a la interior en N. Por M se traza una
perpendicular al eje focal y por N una paralela a
dicho eje. El punto de intersección de ambas
rectas es un punto de la elipse.
Observar que al obtener un punto se pueden
obtener otros tres puntos de simetría
La circunferencia de radio “a” se llama principal y la de radio “b” se llama secundaria.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Sabemos que una figura, que es un lugar geométrico, en un cierto sistema de coordenadas le
corresponde una ecuación. Si hacemos variar la posición de los ejes, es evidente que con
respecto a esos nuevos ejes, la ecuación de la misma varía pues se alteran las coordenadas de
sus puntos.
Muchas veces, para analizar mejor la ecuación de una determinada figura, es conveniente
expresar la ecuación de dicha figura en un nuevo sistema donde su ecuación sea más sencilla
y fácil de interpretar
Esta operación se denomina transformación de coordenadas. Para efectuar dicha
transformación es necesario conocer la posición de los nuevos ejes. Esto se puede obtener a
partir de los ejes primitivos y efectuar un movimiento que es una transformación geométrica.
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Todo movimiento del plano puede expresarse como una traslación, como una rotación o como
una composición de una traslación con una rotación (roto traslación). Veremos el primer caso.
TRASLACIÓN DE EJES
Trasladar un sistema de ejes cartesianos, significa cambiar esos ejes por otros paralelos y de
igual sentido, es decir, al aplicarle a los primitivos ejes una traslación, cuya vector asociado
tiene por origen, el origen de coordenadas del primer sistema y por extremo el origen de los
ejes trasladados.
Consideramos un sistema: {0, x, y} y otro {0’,x’,y’} que se obtiene del primero al aplicarle
una traslación de vector
´OO
, cuyas componentes son (h, k) que son las coordenadas del
origen 0’ del nuevo sistema.
Sea un punto P(x,y) referido al primer sistema y
sus coordenadas en el segundo; (x’,y’).
Por la suma de vectores resulta:
1´' POOOOP
Expresando esos vectores en función de sus
componentes que son las coordenadas de sus
extremos, se tiene: (la unidad de medida es la
misma para los dos sistemas)
','´;,';, yxPOkhOOyxOP
Reemplazando en (1)
',',, yxkhyx
Sumando en el 2° miembro
';', ykxhyx
Por igualdad de vectores implica que:
'xhx
y
'yky
Estas ecuaciones permiten expresar una ecuación en el nuevo sistema en función de la
ecuación en el sistema primitivo.
Para ello es necesario conocer las coordenadas del origen del nuevo sistema.
Recíprocamente de las ecuaciones se obtiene la traslación inversa:
kyyyhxx ''
Ejemplo:
Transformar la ecuación:
0964
22
xyx
a un nuevo sistema obtenido al aplicarle
al primitivo una traslación de vector:
v
= (2,3).
Solución:
x
y´
P(x,y)
(x´,y´)
h
x
y
O
k
y
y´
x´
(h,k)
o´
x´
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De los datos resulta: 0’(2,3) o sea h = 2; k = 3
Las ecuaciones serán:
3';2' yyxx
Reemplazando en la ecuación dada
093'62'43'2'
22
yxyx
o sea:
4''
22
yx
que resulta ser la ecuación de
una circunferencia cuyo centro es O’ origen del nuevo sistema.
ELIPSE DE EJES DE SIMETRÍA PARALELO A LOS EJES COORDENADOS
Dada una elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes del sistema {0,x,y}.
Si el centro de la elipse es O´(h,k) consideramos un nuevo sistema cuyos ejes coinciden con
los ejes de simetría. Este sistema será: {0’,x’,y’}.
La ecuación de la elipse en el nuevo sistema será:
11
''
2
2
2
2
b
y
a
x
Aplicando transformación por traslación:
kyykyy
hxxhxx
''
''
Reemplazando en (1)
1
2
2
2
2
b
ky
a
hx
(2)
Esta es la ecuación de una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados y cuyo centro es
0’(h,k).
Ejercicio:
Dada la ecuación:
1
9
1
16
2
22
yx
; el centro de la elipse es: (2,-1) a = 4; b = 3.
Determinar las coordenadas de los vértices.
Observación:
Si en la ecuación (2) se desarrolla los cuadrados y se eliminan denominadores, se puede llegar
a una ecuación del tipo:
0
22
feydxcyax
Donde los coeficientes de los términos cuadráticos tienen el mismo signo y además falta el
término rectangular “xy”.
y´
x
y
x´
O´(h,k)
O
h
k
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Mas adelante veremos que las condiciones anteriores si bien son necesarias no son suficientes
para que una ecuación del tipo anterior corresponda a una elipse de ejes paralelos a los ejes
coordenados.
Ejemplo:
Hallar las coordenadas del centro y los semiejes de la siguiente elipse:
0481243
22
yxyx
Solución:
0481243
22
yxyx
Factoreando
042443
22
yyxx
Completando los trinomios cuadrados en
cada paréntesis.
04124124443
22
yyxx
Factoreando
121423
22
yx
Dividiendo por 12
1
3
1
4
2
22
yx
Luego la elipse tiene su centro en 0’(2,-1) siendo: a = 2 y b =
3
14 Superficies Cuádricas.pdf
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