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1
LÓGICA
PROPOSICIONAL
CAPÍTULO 1: LÓGICA PROPOSICIONAL
TEMARIO
1.1 INTRODUCCIÓN
1.2 PROPOSICIÓN
1.3 CONECTIVOS LÓGICOS
1.4 OPERACIONES PROPOSICIONALES
1.5 CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES
1.6 IMPLICACIONES ASOCIADAS O CONJUGADAS
1.7 LEYES LÓGICAS
1.8 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES LÓGICAS
1.9 CIRCUITOS LÓGICOS
OBJETIVO
Lograr que el alumno:
Desarrolle la capacidad de pensar mediante el empleo de
proposiciones y conectivos lógicos.
Capítulo
1
2
1.1 INTRODUCCIÓN
En Matemática, lo importante es la validez del razonamiento empleado, lo que implica
utilizar en forma correcta los métodos y principios de la lógica para poder distinguir los
razonamientos válidos de los no válidos.
Para ello es necesario un correcto uso del lenguaje a los efectos de evitar toda ambigüedad
que muchas veces se presenta en el lenguaje corriente, es decir, debe existir una absoluta
claridad en el uso de los términos empleados, como así también precisión en las
definiciones de los nuevos conceptos.
Es por ello que la Matemática usa el llamado lenguaje simbólico mediante la utilización de
símbolos y conectivos, estos últimos vinculan lo que llamamos proposiciones y su estudio
corresponde a la lógica simbólica.
1.2 PROPOSICIÓN
1.2.1 Definición
Definición I: Proposición es toda oración respecto de la cual puede decirse si lo que se
expresa es verdadera o falsa.
Por ejemplo:
1- El 7 es un número primo.
2- La luna es un planeta.
3- x es divisor de 8.
4- ¿Quién cantó?
5- Ven acá.
Las dos primeras son oraciones declarativas, son proposiciones, verdadera la primera y
falsa la segunda. En cambio no son proposiciones las restantes ya que no podemos decir si
lo que se expresa es verdadera o falsa.
Consideremos ahora las siguientes oraciones:
El Estadio Arena se inauguró en 2013 - En 2013 fue inaugurado el Estadio Arena.
Se trata de dos oraciones distintas en cuanto a su formación pero las dos tienen el mismo
significado, ambas constituyen la misma proposición. Luego podemos dar otra definición
más precisa.
Definición II: Proposición es el significado de toda oración declarativa.
1.2.2 Notación
Como entre proposiciones definiremos operaciones, convendremos en representarlas con
una letra minúscula, generalmente utilizaremos: p, q, r, s, t, etc.
Estas letras son variables de enunciado, es decir mientras no le asignemos una proposición
en particular, puede representar a cualquiera.
3
E.1 Ejercicios
Dadas las proposiciones
:p
Luis es argentino
:q
Raúl es extranjero
Expresar en lenguaje coloquial
a)
qp
b)
qp
c)
qp
d)
)( qp
a) Luis es argentino o Raúl no es extranjero.
b) Si Luis no es argentino, entonces Raúl es extranjero.
c) Luis es argentino y Raúl no es extranjero.
d) No es cierto que, Luis no es argentino o Raúl es extranjero.
1.2.3 Valor de verdad
A la cualidad de una proposición de ser verdadera o falsa, se la denomina valor de verdad y
lo indicaremos: V(p) =V si p es verdadera y V(p) = F si p es falsa.
1.2.4 Proposiciones simples y compuestas
Una proposición es simple cuando ninguna de sus partes propias es a su vez una
proposición sin cambiarle el sentido. En caso contrario es compuesta.
Por ejemplo:
María come, es proposición; pero; “María” no lo es, “come” tampoco es proposición.
“Pedro camina y estudia”, es compuesta pues se pueden obtener dos proposiciones
simples; “Pedro camina” y “Pedro estudia”.
1.3 CONECTIVOS LÓGICOS
A partir de proposiciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir,
se puede operar con proposiciones, y según sean tales operaciones se utilizan ciertos
símbolos, llamados conectivos lógicos.
En el siguiente cuadro figuran los conectivos, su significado y las operaciones que define:
CONECTIVO
SIGNIFICADO
OPERACIÓN ASOCIADA
no, no es cierto
Negación
“y”, “pero también”
Conjunción
“o” con sentido incluyente
Disyunción
“o” con sentido excluyente
Disyunción excluyente
“si...entonces”, “implica”
Implicación o condicional
“si y sólo sí”
Doble implicación
Las operaciones entre una o más proposiciones cuyo valor de verdad se conocen,
caracterizan a la proposición resultante a través de su valor de verdad. En consecuencia
toda operación lógica queda definida por su tabla de verdad.
4
1.4 OPERACIONES PROPOSICIONALES
1.4.1 Negación
Dada una proposición p, su negación es la proposición que se indica p (se lee, no p) y si p
es verdadera,
p es falsa y viceversa.
Su tabla de verdad es:
Por ejemplo: p: el 5 es número impar V(p) = V
p: el 5 no es un número impar. V(
p) = F o bien:
p: no es cierto que el 5 sea un número impar.
Esta es una operación unitaria o monaria pues interviene una sola proposición.
1.4.2 Conjunción o producto lógico
Dadas las proposiciones p y q, se llama conjunción de las mismas a la proposición: pq
que se lee: “p y q”. Queda definida por la siguiente tabla de verdad:
Por ejemplo:
p: el 4 es número par V(p)=V
q: el 4 es divisor de 8 V(q)=V
pq: el 4 es número par y divisor de 8 V(pq) = V
Es una operación binaria y es verdadera sólo cuando ambas proposiciones son verdaderas.
1.4.3 Disyunción o suma lógica
Dadas las proposiciones p y q se llama disyunción de las mismas a la proposición
qp
que se lee: “p o q”.
Su tabla de verdad es:
Por ejemplo:
p: El Sol es una estrella. V(p) =V
q: Venus es un planeta V(q) = V
p q: El Sol es una estrella o Venus es un planeta.
V(p q)=V
La disyunción será falsa sólo si lo son las dos proposiciones.
Observación:
La “o” que se utiliza en esta operación es con sentido incluyente en el sentido de que
p
p
V
F
F
V
p
q
qp
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
p
q
qp
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
5
pueden ser verdaderas una de ellas o ambas, es decir, la verdad de una no excluye la
verdad de la otra.
Por ejemplo:
Se premia a los alumnos aplicados o de buena conducta.
La verdad de una de esas cualidades no excluye la verdad de la otra.
En cambio, mañana es jueves o viernes. En este caso la “o”, está usada con sentido
excluyente, pues la verdad de una excluye la verdad de la otra.
1.4.4 Disyunción excluyente
La disyunción excluyente entre dos proposiciones p y q, es la proposición p q que se lee:
“o p o q” (la “o” con sentido excluyente).
En este caso la verdad de una excluye la verdad de la otra.
Su tabla de verdad es:
Por ejemplo:
p: esta tarde voy al club.
q: esta tarde me quedo en casa.
p q: esta tarde voy al club o me quedo en casa.
La disyunción excluyente será verdadera sólo si una de esas proposiciones es verdadera.
Para hacer resaltar el sentido excluyente de la “o” muchas veces se usa lo que llamamos “la
doble o”. Esta tarde o voy al club o me quedo en la casa.
1.4.5 Condicional o implicación material
La implicación de dos proposiciones p y q es la proposición p
q que se lee, “si p entonces
q” o “p implica q”.
“p” se llama antecedente o implicante, “q” se llama consecuente o implicado.
Queda definido por la siguiente tabla:
Por ejemplo:
p: gano la lotería.
q: te regalo un auto.
p
q: Si gano la lotería, entonces te regalo un auto.
p
q
p q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
p
Q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
6
Vemos que la tabla coincide con el sentido común. Puede pensarse como un compromiso,
para mi interlocutor será inaceptable, es decir falso, si gano la lotería y no le regalo el auto
que corresponde a la segunda fila.
Observación:
Debemos destacar que estudiamos la implicación material en la que no es necesario que
exista una relación o vinculación entre el antecedente y el consecuente, como ocurre en la
implicación lógica o formal la cual aparece como un caso particular de la primera.
Ejemplos:
I- Si F es un paralelogramo, entonces es un cuadrilátero. Estamos en presencia de una
implicación lógica ya que ser paralelogramo implica ser cuadrilátero. El consecuente se
deduce lógicamente del antecedente.
II- Si Martín canta, entonces Luis ríe. Se trata de una implicación material, no existe
ninguna relación entre ambas proposiciones.
1.4.6 Bicondicional o doble implicación
El bicondicional de dos proposiciones p y q, es la proposición que se indica
qp
, y se
lee: “p si sólo si q”.
Como su nombre lo indica el bicondicional equivale a la conjunción de dos implicaciones,
o sea son equivalentes “p
q” y “(p q)
(q p)”.
La tabla de verdad es:
Ejemplos:
I -
p: T es equilátero.
q: T es equiángulo.
qp
: T es equilátero “si sólo si” T es equiángulo.
II - p: María viaja.
q: José aprueba el examen.
qp
: María viaja si sólo si José aprueba el examen.
Observamos que la doble implicación será verdadera, si las dos proposiciones tienen el
mismo valor de verdad, es decir, las dos verdaderas o las dos falsas.
Al igual que en la implicación, la doble implicación puede ser material o lógica. En el caso
de la lógica, las dos proposiciones son equivalentes, es decir tienen el mismo significado.
p
q
q
p
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
p
q
qp
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
7
E.2 Ejercicios
Si V(p)=V y V(q)=F, ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos?
a)
qp
b)
qp
c)
qp
d)
)( qp
a)
p
q
V
V
V
V(
qp
)=V
b)
p
q
F
V
F
V(
qp
)= V
c)
p
q
V
V
V
V(
qp
)=V
d)
p
q
V
F
F
F
V
)( qp
=V
E.3 Ejercicios
Suponiendo que las proposiciones compuestas son verdaderas, obtener en cada caso, el
valor de verdad de cada proposición:
a) 1:
s
2:
st
3:
qt 
4:
rq
5:
pr
b) 1:
)( qp
2:
)( tp
3:
st
4:
s r
a) De 1: V(s)=F.
En 2 como V(s) es F para que sea verdadera la implicación debe ser V(t)=F
En 3:
q
es F, luego V(q)=V
En 4: si q es V debe ser V(r)=V
En 5:
r
es F, luego
p
es V, en consecuencia V(p)=F
8
b) En 1:
p q
debe ser falso, luego V(p)=V y V(q)=F
En 2:
tp
es falso y como
p
es V debe ser V(t)=F
En 3: como
t
es V debe ser V(s)=V
En 4: como
s
es V debe ser V(r)=F
1.5 CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES
Consideremos la tabla de doble implicación solo en los casos en que es verdadera.
Se observa que si pq es V, y p es V, entonces q es V, esto se expresa diciendo que: “el
antecedente p es condición suficiente para el consecuente q”.
En cambio, si p es F, nada podemos decir de q, puesto que puede ser V o F. Por otra parte,
cuando pq es V, si q es V, entonces p puede ser V o F, mas para que p sea V se necesita
que q lo sea. Se dice entonces que q es condición necesaria para p.
En síntesis, el antecedente es condición suficiente para que se cumpla el consecuente, pero
no es necesario, y el consecuente es condición necesaria para el antecedente pero no es
suficiente.
Por ejemplo:
Si R es un rombo entonces es un paralelogramo.
El ser rombo es condición suficiente para ser paralelogramo, pero no es necesario que
siempre lo sea.
En cambio, ser paralelogramo es condición necesaria para ser un rombo, pero no es
suficiente pues debe cumplir otras condiciones (lados congruentes).
En el caso de la doble implicación
qp
resulta que por
qp
, p es condición
suficiente y por q
p es p condición necesaria. Luego, “p es condición necesaria y
suficiente”. Lo mismo ocurre con q. El consecuente q es también condición necesaria y
suficiente para el antecedente p.
1.6 IMPLICACIONES ASOCIADAS O CONJUGADAS
Dado el condicional
qp
al que llamaremos directo, se pueden obtener a partir de él
otros condicionales que son:
El contrario: p q
El recíproco: q p
El contra recíproco: q p
Por ejemplo:
qp
: Si a es divisor de 9, entontes a es divisor de 18 (V) (Directo).
p
q
p
q
V
V
V
F
V
V
F
F
V
9
p q: si a no es divisor de 9, entonces a no es divisor de 18. ? (Contrario)
q p: si a es divisor de 18, entonces a es divisor de 9. ? (Recíproco).
q p: si a no es divisor de 18, entonces a no es divisor de 9. (V) (Contra recíproco).
Vemos que el directo es equivalente al contra recíproco y si uno es verdadero el otro
también lo es pero nada se puede decir sobre la verdad del contrario y del recíproco.
Si los cuatro resultan verdaderos, entonces p y q son equivalentes y corresponde a una
doble implicación.
También resultan equivalentes el contrario y el recíproco pues si uno de ellos se toma
como directo el otro es su contra recíproco.
El siguiente esquema muestra las equivalencias las cuales se pueden mostrar con las tablas
de verdad.
En consecuencia, las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes, es decir son
tautologías los siguientes bicondicionales:
p q q p
q p p q
E.4 Ejercicios
Indicar si son equivalentes los siguientes enunciados. Justificar.
a) Si estoy contento o tengo dinero, entonces gané la lotería.
b) Si no gané la lotería; no estoy contento y no tengo dinero.
Llamando,
p
: Estoy contento;
q
: Tengo dinero;
r
: Gané la lotería
a)
rqp
b)
qpr
Primer Procedimiento: Se puede demostrar con tablas de verdad que
rqp
qpr
es una tautología.
Segundo Procedimiento:
Si
rqp
es directo, el contrarrecíproco es equivalente, o sea:
,qpr 
aplicando ley de De Morgan queda:
qpr
p q
Recíprocos
p q
q p
q p
Recíprocos
Contrario
Contrario
Contrarrecíprocos
10
Luego:
rqp
qpr
E.5 Ejercicios
Dadas las proposiciones:
p :
El número
a
es múltiplo de 3.
q :
El número
a
es múltiplo de 9.
Enunciar los condicionales asociados a
qp
y determinar cuáles son implicaciones
lógicas.
Directo:
qp
Si el número a es múltiplo de 3, entonces a es múltiplo de 9.
Recíproco:
pq
Si el número a es múltiplo de 9, entonces a es múltiplo de 3.
Contrario:
qp 
Si el número a no es múltiplo de 3, entonces a no es múltiplo de 9.
Contrarrecíproco:
q p
Si el número a no es múltiplo de 9, entonces a no es múltiplo
de 3.
Son verdades lógicas el recíproco y el contrario (ver que uno es el contrarrecíproco del
otro).
1.7 LEYES LÓGICAS
Existen proposiciones compuestas que siempre resultan verdaderas cualquiera sea el valor
de verdad de las proposiciones que la componen. Se dice entonces que tal proposición es
una tautología o ley lógica
Por el contrario, si una proposición compuesta resulta siempre falsa cualquiera sea el valor
de verdad de las proposiciones que la componen, es una contradicción.
En el caso que no corresponda a ninguna de las anteriores se trata de proposiciones
contingentes.
Ejemplos:
I- [(p q) q] p
Resulta una tautológica.
[(p q) q] p
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
11
II-
qpqp
Resulta una contradicción.
Nota: Cuando dos proposiciones o fórmulas proposicionales tienen el mismo valor de
verdad, se las llama equivalentes y por lo tanto usaremos el símbolo “
”.
1.8. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES LÓGICAS
1.8.1 Negación
Involutiva o ley de la doble negación: la negación de la negación de una proposición es
equivalente a dicha proposición.
(es una tautología)
Ejemplo: no es cierto que el 4 no sea par, equivale a: el 4 es par.
1.8.2 Conjunción y Disyunción
Idempotencia p
p
p ; p
p
p
Conmutativa p
q
q
p ; p
q
q
p
Asociativa (p
q)
r
p
(q
r) ; (p q)
r
p
(q r)
Son mutuamente distributivas:
(p
q)
r
(p
r)
(q
r) ; (p
q) r
(p
r)
(q
r)
Se ha indicado la distribución a la derecha pero también se cumple a la izquierda.
1.8.3 Implicación
No es idempotente, ni conmutativa, ni asociativa.
1.8.4 Bicondicional
Es conmutativa y asociativa.
p
q
q
p q
pq
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
( p)
p
12
1.8.5 Leyes de De Morgan
a) La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.
(pq) p q
b) La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de sus negaciones.
(pq) p q
La demostración de estas leyes se las hace mediante la tabla de verdad correspondiente.
Confeccionaremos la tabla de verdad para la siguiente ley de De Morgan:
(pq) p q
E.6 Ejercicios
Demostrar la propiedad distributiva de la disyunción con respecto a la conjunción a la
izquierda.
qprqp
rp
es una tautología lógica
P
q
R
p
(q
r)
(p
q)
(p
r)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
F
F
F
E.7 Ejercicios
Determinar mediante tabla de verdad si son tautologías o contradicción las siguientes
fórmulas.
a)
qpqp )(
b)
pqqp
p
q
p
q
(p q)
p q
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
13
T
1
V(p)=V
T
2
a)
p
q
p
q
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
Es tautología
b)
p
q
q
p
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
Es tautología
1.9 CIRCUITOS LÓGICOS
Las operaciones lógicas pueden interpretarse mediante circuitos lógicos:
Consideremos dos terminales T
1
y T
2
y entre los mismos un interruptor o llave que deja o
corta la corriente. Ese interruptor representa una proposición. Asignemos el valor de
verdad V a la expresión “pasa corriente” y F “no pasa corriente”.
1.9.1 Negación
La negación lógica se interpreta con un circuito con un solo interruptor (p).
Si la proposición es V “pasa corriente”; en este caso p es F “no pasa corriente”.
1.9.2 Conjunción
El circuito lógico de la conjunción se interpreta mediante un circuito en serie con dos
interruptores. Llegará corriente de T
1
a T
2
cuando las dos proposiciones son verdaderas.
T
1
p q
T
2
T
1
V(p)=F
T
2
14
1.9.3 Disyunción
El circuito lógico correspondiente se interpreta mediante un circuito en paralelo con dos
interruptores. Llegará corriente de T
1
a T
2
cuando al menos una de las proposiciones sea
verdadera.
p
q
1.9.4 Disyunción exclusiva o Diferencia simétrica
El circuito lógico correspondiente a esta operación se hace en base al de las operaciones
anteriores, pues decir, “p o q” (sentido excluyente) significa que “se cumple p y no se
cumple q, o bien no se cumple p y se cumple q”.
En símbolos:
p q es equivalente a (pq)(pq)
En consecuencia, el circuito lógico será:
1.9.5 Implicación
Para confeccionar el circuito lógico tendremos en cuenta la siguiente equivalencia. Al
decir: “si p entonces q” estamos diciendo “no es posible que se cumpla p y no se cumpla
q”, o lo que es lo mismo:” no se cumple p o se cumple q”: En símbolos:
pq (pq) pq
Verifiquemos con tablas de verdad la equivalencia mencionada:
Como las tres tablas de verdad son iguales, las expresiones son equivalentes y al circuito
lógico lo hacemos en base a la última expresión. Como es una disyunción corresponde un
circuito en paralelo.
p
q
p
q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
(p
q)
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
p
q
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
T
2
T
1
T
2
T
1
p
q
p q
T
1
T
2
15
1.9.6 Doble Implicación
Una doble implicación es equivalente a la conjunción de dos implicaciones, en
consecuencia, el circuito lógico de esta operación se hace en base al de la implicación.
(pq) (pq)(qp)
(pq) (qp)
p q
q p
E.8 Ejercicios
Expresar mediante circuitos lógicos:
a)
rqqqp
b)
prqqqp
a)
b)
E.9 Ejercicios
¿Si p, q y r son verdaderas, resultan verdaderas o falsas las fórmulas anteriores?
a) Resulta verdadera (llega corriente de T
1
a T
2
).
b) Resulta verdadera (llega corriente de T
1
a T
2
).
T
2
T
1
q
r
q
q
q
p
q
q
q
q
T
1
T
2
q
q
q
p
r
q
p
q
q
q
q
T
1
T
2

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