Profesor: Ricardo GOTELLI
Jefe Trabajos Prácticos: Marcelo TASAT
CÁLCULO FINANCIERO
EJERCICIOS PRÁCTICOS (Edición 2015)
Tema: Interés Simple
1. ¿Qué capital produce en 8 meses, (a) $48 al 6% nominal anual, (b) $50 al 5% nominal
anual?
Respuesta: (a) $1200, (b) $1500
Las sumas de dinero que no necesitamos para efectuar pagos o compras se pueden
poner a “trabajar” (se invierten) con el objetivo de que ese dinero genere o produzca
ganancias a través de distintas operaciones financieras (cambio no simultáneo de dos
o más capitales, es decir, el depósito productivo de intereses es un cambio del capital
depositado al principio de la operación por el capital incrementado en su interés).-
Llamamos interés al rendimiento procurado por un capital productivo durante un
tiempo dado.- Entonces cuando nos dicen que un capital produce X$ se está refiriendo
a la ganancia o interés que dicho capital productivo generó en determinado plazo.-
a) Nos pide determinar el capital que produjo en 8 meses $48 al 6% nominal
anual
↓
FORMULA DE INTERES SIMPLE→ I = Co . i . n
I = 48
Co= ?
i = 0,06 anual
n= T/ut=8/12
↓
48=Co . 0,06 . 8/12
48=Co . 0,04
Co=1200
b)
Datos:
I=50
Co=?
i=0,05
n=T/ut=8/12=2/3
↓
50=Co . 0,05 . 2/3
Co=1500
CLAVE EJERCICIO→HOMOGENEIZAR UNIDADES
2. ¿En qué tiempo un capital de $3.000, (a) produce $90 al 4% anual de interés simple, (b)
alcanza un monto de $3.100 al 5% anual de interés simple?
Respuesta: (a) 9 meses, (b) 8 meses
a) Nos pide determinar el tiempo
Datos:
I=90
Co=3000
i=0,04 anual
n=T/ut=?
↓FORMULA A UTILIZAR→I=Co . i . n
↓90=3000 . 0,04 . n
90=120 . n
n=0,75
Pero n=T/ut→0,75=T/ut→0,75=T/12→T=9 meses
b) Nos pide determinar el Monto
↓RESOLUCION TECNICAMENTE CORRECTA: UTILIZANDO FORMULA DE
MONTO A INTERES SIMPLE→
Datos:
Cn=3100
Co=3000
i=0,05 anual
n=T/ut=?
↓
3100=3000 . (1 + 0,05 . n)
1,0333333=1 + 0,05 . n
1,0333333 – 1/0,05=n
n=0,6666666
Pero n=T/ut→0,6666666=T/ut→0,666666=T/12→T=8 MESES
Otra forma de resolverlo es utilizando la fórmula de interés simple (no sería
técnicamente correcto)→I=Co . i . n
Datos:
I= 100 (3100 – 3000)
Co=3000
i=0,05 anual
n?
↓
100=3000 . 0,05 . n
100=150 . n
n=0,66666→0,66666=T/ut→0,666666=T/12→T=8 meses
CLAVE EJERCICIO
1) UTILIZAR LA FORMULA DE ACUERDO A LOS DATOS QUE TENEMOS
2) TENER EN CUENTA LA UNIDAD DE TIEMPO DE LA TASA PARA
PODER DETERMINAR EL TIEMPO (PRINCIPIO DE
HOMOGENEIZACION DE UNIDADES).-
3. Halle el interés simple ordinario y exacto de (a) $900 durante 120 días al 5% nominal
anual. (b) $900 durante 146 días al 3% nominal anual. (c) $1000, del 6 de agosto de
1969 al 14 de diciembre de 1969 (130 días), al 4% nominal anual (d) $1750, del 10 de
junio de 1968 al 7 de noviembre de 1968 (150 días), al 5% nominal anual. (e) $2500,
del 21 de enero de 1968 al 13 de agosto de 1968 (205 días -febrero 29 días-), al 4,5%
nominal anual. (f) $2000, del 18 de octubre de 1961 al 6 de febrero de 1962 (111 días),
al 5,25% nominal anual.
Respuesta: (a) $15, $14,79 (b) $10,95 y $ 10,80 (c) $14,44, $14,25
(d) $36,46, $35,96 (e) $64,06, $63,18 (f) $32,38, $31,93
ACLARACION:
Interés Simple Ordinario: Se utilizan 360 días
Interés Simple Exacto: Se utilizan 365 días
a) Fórmula a utilizar→I=Co . i . n
↓ORDINARIO EXACTO
I=900 . 0,05 .120/360 I=900 . 0,05 . 120/365
I=15 I=14,79
b) ORDINARIO EXACTO
I=900 . 0,03 .146/360 I=900 . 0,03 . 146/365
I=10,95 I=10,80
c) ORDINARIO EXACTO
I=1000 . 0,04 . 130/360 I=1000 . 0,04 . 130/365
I=14,44 I=14,25
d) ORDINARIO EXACTO
I=1750 . 0,05 . 150/360 I=1750 . 0,05 . 150/365
I=36,46 I=35,96
e) ORDINARIO EXACTO
I=2500 . 0,045 . 205/360 I=2500 . 0,045 . 205/365
I=64,06 I=63,18
ACLARACION: SE TOMARON 29 DIAS PARA EL MES DE FEBRERO
f) ORDINARIO EXACTO
I=2000 . 0,0525 . 111/360 I=2000 . 0,0525 . 111/365
I=32,38 I=31,93
CLAVES EJERCICIO
1) HOMOGENEIZAR UNIDAD DE TIEMPO DE TASA CON UNIDAD DE
TIEMPO DE PLAZO
2) CUANDO NO NOS DAN COMO DATO LA CANTIDAD DE DIAS (SINO
FECHAS) EL PROCEDIMIENTO PARA CALCULARLOS CONSISTE
EN EXCLUIR UNO DE LOS EXTREMOS DEL PERÍODO
CONSIDERADO.-
ECUACIONES DE BALANCE O DE VALOR
4. EI señor Pérez debe $450 con vencimiento dentro de 4 meses y $600 con vencimiento
dentro de 6 meses. Si desea saldar las deudas mediante un pago único inmediato
(momento 0) ¿cuál será el importe de dicho pago suponiendo un interés del 5% nominal
anual? Utilice como momento de valuación el día de hoy.
Respuesta: $1027,99
Este ejercicio es una típica aplicación de las ecuaciones de balance o de valor: los
valores monetarios varían a medida que transcurre el tiempo; para poder sumarlos o
restarlos deben ser cantidades homogéneas, es decir, deben estar medidos en la misma
unidad monetaria, de la misma época y, sobre todo, deben estar valuados en la misma fecha
( fecha focal).-
En este tipo de ejercicios resulta muy útil la utilización de ejes temporales para
visualizar en ellos todos los datos: fechas, ingresos, egresos, saldo, tasas vigentes, etc.
Importante: para plantear la ecuación de balance o de valor, se deben valorar todos los
ingresos, egresos y el saldo en la fecha focal.-
RESOLUCION EJERCICIO
El primer paso en este tipo de ejercicios es graficar la situación planteada en Ejes
Temporales
↓ $450 $600
|___|___|___|___|___|___|
0 1 2 3 4 5 6
↓Desea saldar las deudas mediante un pago único inmediato, es decir, en el momento 0
↓Planteamos la ecuación de balance o de valor tomando como momento de valuación
(fecha focal) el momento 0.-
↓Datos:
PU=?
VF1=450
VF2=600
i=0,05 anual
n1=T/ut=4/12=1/3
n2=T/ut=6/12=1/2
PU=VF1 .
+ VF2 .
PU= 450 .
+600 .
PU=1027,99
CLAVES EJERCICIO:
1) UTILIZAR EJES TEMPORALES
2) IDENTIFICAR MOMENTO DE VALUACION O FECHA FOCAL
3) VALUAR TODOS LOS CONCEPTOS EN LA MISMA FECHA
(HOMOGENEIDAD)
ECUACIONES DE BALANCE O DE VALOR: VARIACION DEL VALOR DEL
PAGO SEGÚN CUAL SEA LA FECHA FOCAL QUE SE FIJE
5. En el problema 4, ¿cuál deberá ser el pago único si el mismo se efectúa: (a) dentro de 3
meses?, (b) dentro de 5 meses?, (c) dentro de 9 meses, para saldar ambas deudas?
Utilice como momento de valuación de cada caso la fecha del pago único.
Respuesta: (a) $1040,73 (b) $1049,39 (c) $1066,88
ACLARACION: En el régimen simple la elección de la fecha focal influye en el
cálculo, ya que la ecuación de balance planteada en una fecha No es equivalente a la
ecuación planteada en otra.-
a)
Resolución:
Método de Resolución: Llevamos directamente los valores al momento de
valuación requerido. ( No podemos llevar los valores al momento 0 – en cuyo
caso podríamos utilizar el cálculo del ejercicio anterior - y luego llevarlos al
momento en que se pide valuarlos pues la elección de la fecha focal incide en el
cálculo y estaríamos arrastrando la variación).-
↓Llevamos todos los valores al momento 3
? 450 600
|___|___|___|___|___|___|
0 1 2 3 4 5 6
↓
PU= 450 .
PU=1040,73
b)
450 ? 600
|___|___|___|___|___|___|
0 1 2 3 4 5 6
↓Llevamos todos los valores al momento 5: capitalizamos 1 período el valor del 4º mes y
actualizamos 1 período el valor del 6º mes
↓
PU=450 . (1 + 0,05 . 1/12) + 600 .
PU=1049,39
c)
450 600 ?
|___|___|___|___|___|___|___|___|___|______
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
↓Llevamos todos los valores al momento 9: capitalizamos 5 períodos el valor del 4º mes
y 3 períodos el valor del 6º mes
PU= 450 . (1 + 0,05 . 5/12) + 600 . (1 + 0,05 . 3/12)
PU=1066,88
CLAVES EJERCICIO:
1) Graficar la situación en ejes temporales
2) Tener en cuenta que el valor del pago (bajo Régimen Simple) varía según cual
sea la fecha focal que se fije
6. ¿Qué oferta es más conveniente para el comprador de una casa: $4000 iniciales y $6000
después de 6 meses o $6000 iniciales y $4000 después de un año? Supóngase un interés
del 6% nominal anual y compárese (Fecha Focal) en la fecha de la compra, el valor de
cada oferta.
Respuesta: la segunda por $51,66.
ACLARACION: Para poder comparar las alternativas el 1º paso es homogeneizar
las cantidades, es decir, debemos llevar todos los valores a la misma fecha (fecha
focal).
En este ejercicio la fecha focal es la fecha de compra ya que nos piden que
comparemos las alternativas en esta fecha.-
↓Llevamos los valores de ambas alternativas a la fecha de compra:
1º Alternativa 2º Alternativa
VP= 4000 + 6000 .
VP=6000 + 4000 .
VP=9825,2427 VP=9773,5849
↓ CONVIENE LA 2º ALTERNATIVA POR $51,66
7. Una persona contrajo el día de hoy una deuda de $2000 para pagar en un año con
interés al 6% nominal anual. Combina pagar $500 al final de 6 meses. ¿Qué cantidad
tendrá que pagar dentro de 1 año para liquidar el resto de la deuda, suponiendo un
interés del 6% nominal anual? Tome el mes 12 como momento de valuación.
Respuesta: $1605
ACLARACION: Es fundamental tener en claro el momento de valuación.
En este ejercicio el momento de valuación es el mes 12.-
IMPORTANTE!!! NO CONFUNDIR FECHA DE CANCELACION CON FECHA
FOCAL O DE VALUACION.-
↓Planteamos la ecuación de balance o de valor llevando TODOS LOS VALORES A LA
FECHA DE VALUACION (FECHA FOCAL):
|__________________|__________________|
0 6m 12m 1
2000 500 X
2000 . (1,06) = 500 . (1 + 0,06 . 6/12) + X (Llevamos todos los valores a la fecha focal)
2120= 515 + X
X=1605
8. Una persona debe $2000 con vencimiento en 2 meses, $1000 con vencimiento en 5
meses y $1800 con vencimiento en 9 meses. Desea liquidar sus deudas mediante dos
pagos iguales con vencimiento en 6 meses y 12 meses respectivamente. Determine el
importe de cada pago suponiendo un interés del 6% nominal anual y tomando el mes 12
como momento de valuación.
Respuesta: $2444,33
2000 1000 1800
|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
↓ ↓
X X
Planteamos Ecuación de Balance o de Valor llevando todos los valores a la fecha de
valuación o fecha focal:
↓
2000.(1+0,06.10/12) + 1000.(1+0,06.7/12) + 1800.(1+0,06.3/12)= X.(1+0,06.6/12) + X
2100 + 1035 + 1827 = 2,03 X
X= 2444,33
9. Una persona debe $500 con vencimiento en 3 meses e intereses al 5% nominal anual y
$1500 con vencimiento en 9 meses al 4% nominal anual. ¿Cuál será el importe del pago
único que tendrá que hacerse dentro de 6 meses para liquidar las deudas suponiendo un
interés del 6% nominal anual? Tome como momento de valuación la fecha, (a) al final
de 6 meses y (b) al final de 9 meses.
Respuesta: (a) $2036,01 (b) $2035,90
ACLARACION: LOS VALORES ESTAN EXPRESADOS AL DIA DE HOY
POR LO QUE TENEMOS QUE CALCULAR LOS IMPORTES A LA FECHA DE
VENCIMIENTO, LUEGO LLEVARLOS A LA FECHA DEVALUACION.
↓
a) Liquidación a los 6 meses y momento de valuación al final de los 6 meses:
↓
↓Liquidación y Valuación
|___|___|___|___|___|___|
0 1 2 3 4 5 6
↓
500.(1 + 0,05 . 3/12) . (1 + 0,06 .3/12) + 1500 . (1 + 0,04 . 9/12) .
= X
513,84375 + 1522,1675 = X
X= 2036,01
b) Liquidación a los 6 meses y momento de valuación al final de los 9 meses:
Liquid. Valuación
|___|___|___|___|___|___|___|___|___|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
500 . (1 + 0,05 .3/12) . (1 + 0,06 . 6/12) + 1500 . (1 + 0,04 . 9/12) = X . (1 + 0,06 . 3/12)
521,4375 + 1545 = X . (1 + 0,06 . 3/12)
X = 2035,90
10. EI señor Jiménez adquiere un terreno de $5000 mediante un pago de contado de $500.
Conviene en pagar el 6% nominal anual de interés sobre el resto. Si paga $2000 tres
meses después de la compra y $1500 nueve meses después de la compra ¿Cuál será el
importe del pago que tendrá que hacer 1 año después para liquidar totalmente el saldo?
Tome el mes 12 como momento de valuación.
Respuesta: $1157,50
ACLARACION: Tenemos que tomar como momento de valuación el final del 1º año.
↓
5000 Valuación
500 2000 1500 X
|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Planteamos la ecuación de balance o de valor:
↓
5000 . (1,06) = 500 . (1,06) + 2000 . ( 1 + 0,06 . 9/12) + 1500 . ( 1 + 0,06 . 3/12) + X
5300 = 530 + 2090 + 1522,50 + X
X = 1157,50
También puede resolverse considerando sólo la deuda:
↓
4500 . (1,06) = 2000 . ( 1 + 0,06 . 9/12) + 1500 . ( 1 + 0,06 . 3/12) + X
4770 = 2090 + 1522,50 + X
X = 1157,50
12. Se depositan $ 10.000 durante 45 días al 8% nominal anual de interés. Calcule el
monto usando regla bancaria.
Respuesta: $ 10.098,63
Cn = 10000 . ( 1 + 0,08 . 45/365)
Cn = 10098,63
13. Calcule el monto total de dos depósitos a plazo fijo con vencimiento el 30/11,
efectuados el primero el día 14/05 por $ 1.000, al 6,5% nominal anual de interés y el
segundo el día 18/06 por $ 500, al 7% nominal anual de interés.
Respuesta: $ 1551,44
14/05 30/11 14/05 30/11
|_________________________| |__________________|
__________200 días________ ______165 días_____
Cn = 1000 . (1 + 0,065 . 200/365) + 500 . (1 + 0,07 . 165/365)
Cn = 1551,44
14. El interés producido por una inversión realizada hace 30 días es de $ 1.000. La tasa
de interés pactada fue del 40% nominal anual. Calcule el capital invertido usando un
año de 365 días.
Respuesta: $ 30416,67
Nos piden calcular la inversión realizada o capital inicial invertido (Co):
↓
I = Co . i . n
↓
1000 = Co . 0,40 . 30/365
Co = 30416,67
15. Un capital de $ 10.000 se invierte una parte al 10% nominal anual y la otra al 12%
nominal anual. Al cabo de 18 meses los montos son iguales. Determine los importes
depositados a cada tasa.
Respuesta: 5.064,38 y 4.935,62
ACLARACION: Recuerden para su resolución que siempre que tengamos una ecuación y
dos incógnitas podemos aplicar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, es
decir, como en el ejercicio en cuestión tenemos dos incógnitas (Co1 y Co2 - que son las
partes del capital invertidas a las distintas tasas-) y sabemos que: Co1 + Co2= 10000
podemos aplicar sustitución y despejar una de las variables en función de la otra.
Sintetizando, los pasos a seguir serían:
Como los montos generados son iguales planteamos:
Co1 . (1+ 0,10 . 18/12)= Co2 . (1 + 0,12 . 18/12)
Fijense que tenemos una ecuación y dos incógnitas por lo que podemos plantear un sistema
de ecuaciones (sabiendo que Co1+Co2=10.000):
Co1 + Co2= 10.000
Co2= 10.000 - Co1
Ahora que expresamos Co2 en función de Co1 podemos plantear todo en función de Co1.
COMO LOS MONTOS SON IGUALES EL PLANTEO CONSISTE EN IGUALAR LOS
MONTOS RESULTANTES DE CADA UNO DE LOS IMPORTES DEPOSITADOS A
CADA TASA:
↓
Co
1
. (1 + 0,10 . 18/12) = (10000 – Co
1
) . (1 + 0,12 . 18/12)
Co
1
. 1,15 = (10000 – Co
1
) . 1,18
Co
1 .
1,15 = 11800 – 1,18 Co
1
Co
1
= 5064,38 → Co
2
= 10000 – Co
1
Co
2
= 4935,62
16. Determine al cabo de cuánto tiempo los intereses que genera un capital alcanzan al
triple del mismo colocados al 4% nominal anual de interés simple.
Respuesta : 900 meses= 75 años!!!!
ACLARACION: PLANTEAMOS LA ECUACION CONSIDERANDO QUE LOS
INTERESES TRIPLICAN AL CAPITAL INICIAL:
↓
I = Co . i . n
↓
3Co = Co . i . n
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