Matemática 2 – 2021
CONJUNTOS
Se llama conjunto a toda agrupación, colección o reunión de individuos (cosas, animales,
personas o números) bien definidos que cumplen una propiedad determinada. A los objetos del
conjunto se los denomina“elementos”.
Ejemplo Los siguientes son algunos ejemplos de conjunto:
● La colección de letras de la palabra “murciélago”.
● El conjunto formado por los dígitos del número 345923238.
● La agrupación de números naturales menores que 10
● La agrupación de números primos entre 0 y 20.
Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y sus elementos se escriben dentro de llaves
separados por comas.
Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran o se nombran los elementos del
conjunto. Cuando el conjunto es finito sus elementos se escriben separados por comas.
Cuando el conjunto es infinito se escriben algunos elementos y se ponen puntos suspensivos.
● B= {m, u, r, c, i, e, l, a, g, o}
● C={3,4,5,9,2,8}, no se repiten elementos
● D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
● E={1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
Un conjunto se determina por comprensión enunciando la propiedad o cualidad que distingue a
los elementos. Para tal fin se utiliza lo siguiente:
{x/x cumple la propiedad}, que se lee: el conjunto de las x tal que x cumple la propiedad.
● B={x/ x es una letra de la palabra “murciélago”}
● C={ x/ x es un dígito del número 345923238}
● D={ x/ x es un número natural menor que 10}
● E={ x/ x es número primo entre 0 y 20}
Sea A un conjunto cualquiera y x un elemento, para indicar que x es elemento de A o
simplemente que x está en A, se simboliza : x A .∈
La relación de pertenencia se da entre elementos y conjuntos.
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Dados dos conjuntos A y B, esta relación se utiliza para indicar que el conjunto A es
subconjunto del conjunto B, lo cual se escribe A C B
y se lee: A es subconjunto de B, o A está incluido en B, o A está contenido en B, o B incluye a
A.
A C B ,↔(∀𝑥 ) : (𝑥ϵ𝐴 →𝑥 ϵ𝐵)
que se lee: “para todo x, si x está en A, entonces x está en B.”
La igualdad de dos conjuntos A y B denotada A=B se caracteriza por:
que se lee “A = B es si y sólo si A C B y B C A, es decir, vale la doble inclusión.
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos
comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos), y se denota , es decir:𝐴∩𝐵
=𝐴∩𝐵 { 𝑥 : 𝑥 ϵ 𝐴 ∧ 𝑥 ϵ 𝐵 }
Ejemplo . Siendo :
D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
E={1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
D E ={1,2,3,5,7}∩
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los
elementos que están en A o en B (donde se está considerando un “o”
inclusivo, es decir, los elementos comunes de ambos conjuntos
están también en la unión), y se denota AU B , es decir:
= 𝐴𝑈𝐵 { 𝑥 : 𝑥 ϵ 𝐴 𝑣 𝑥 ϵ 𝐵 }
Ejemplo. Siendo :
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A ={3,4,5,9,2,8,0}
B ={1, 2, 3, 4, 5, 6,9}
AUB = {1,2,3,4,5,6,9,8,0}
Dados dos conjuntos cualesquiera A y B, a partir de ellos formamos un nuevo conjunto que
llamamos “producto cartesiano de A y B” (en ese orden), lo indicamos AxB, y sus
elementos son todos los pares ordenados cuya primera componente es un elemento de A y su
segunda componente es un elemento de B.
A x B = {(x,y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}
Consecuencias:
Ejemplo:
Dados A = {a, b, c} y B = {1, 2} , determinar A x B.
Solución:
A x B = { (a ,1) , (a , 2) , ( b , 1) , (b , 2) , ( c, 1) , ( c , 2) }
Note que A tiene 3 elementos, B tiene 2 elementos y A x B tiene 3x2=6 elementos.
El producto cartesiano no es en general conmutativo:
Si A ≠ ∅ , B ≠ ∅ y A ≠ B, entonces A x B ≠B x A, observar que si x es
distinto de y, entonces:
En cambio:
A x B = B x A = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅,
A x B = B x A ⇔ (A = ∅ ∨ B = ∅) ∨ A = B
Ejemplo:
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Dados los conjuntos A = {x ∈ N / 1 ≤ x < 4} y B = {2,3} ; determinar A x B y B x A.
A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}
B x A = {(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
Ejemplo:
Dados los conjuntos A y B ; determinar A x B y B x A.
Solución:
Observación
Dado un conjunto A se suele designar con el símbolo A
2
al producto cartesiano A x A.
Ejemplo
Siendo A = {a, b, c} ,calcular A
2
={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)}
La representación gráfica del producto cartesiano
puede darse a través de la representación del
diagrama sagital (diagrama de flechas), mediante
tabla, o como puntos del plano mediante un gráfico
cartesiano.
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Ejemplo:
Representar en el plano cartesiano los productos cartesianos A x {0} , .A x B , {1} x B y B x A,
siendo A = {x ∈ R / - 1 ≤ x ≤ 2} y B = [2,4]
Solución
RELACIONES
Una relación matemática es un vínculo o una correspondencia que existe entre dos conjuntos
(a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo
conjunto). Las aplicaciones de las relaciones matemáticas trascienden los límites de la ciencia,
ya que en nuestra vida cotidiana solemos hacer uso de sus principios, estableciendo relaciones
entre diferentes conjuntos para organizarnos y desarrollar distintas actividades (cada
artículo que adquirimos está relacionado con su precio, a cada ser humano le corresponde un
número de documento, cada vivienda está vinculada a una numeración, etc.).
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Consideremos los conjuntos A = {1 , 2 , 3} y B = {a, b, c, d, e}
El siguiente diagrama nos sugiere la idea de que a algunos elementos de A se les ha asignado
elementos de B, estableciéndose una relación que vincula elementos de A con elementos de B.
Las flechas van de A a B (hay un conjunto de partida de la relación y un conjunto de llegada).
Como hay una flecha de 1 a b, entendemos que b es el correspondiente de 1, o sea que, 1 está
relacionado con b. El elemento 3 está relacionado con dos elementos del conjunto B (c y d), los
elementos a y e del conjunto B no es correspondiente de ninguno de los elementos de A. Para
enunciar una relación basta especificar los pares ordenados que pertenecen a la misma. De
esta manera, la misma relación entre A y B establecida a través del diagrama, puede
expresarse por medio de un conjunto de pares ordenados : {(1,b), (2,b), (3,c), (3,d)}
Definiciones
Una relación R entre un conjunto A y un conjunto B es un conjunto de pares ordenados
cuya primera componente es un elemento de A y su segunda componente, un elemento de B.
Una relación de A en B es entonces cualquier subconjunto del producto cartesiano A x
B. Al conjunto A se lo llama conjunto de partida de la relación, y al conjunto B,
conjunto de llegada.
Dada una relación R entre A y B, se llama dominio de R o conjunto de definición de R, al
conjunto de los elementos de A que son primera componente de algún par ordenado de R; y se
llama imagen de R o conjunto de valores de R, al conjunto de elementos de B que son segunda
componente de algún par ordenado de R.
Dom (R) = {x / x
∈ A ∧ (x, y) ∈ R, para algún y ∈ B } ;
Im (R) = { y / y ∈ B ∧ (x, y) ∈ R, para algún x ∈ A } .
Si R es una relación entre A y B, la expresión x R y significa que (x, y)
∈
R, o sea, que x
está relacionado con y por la relación R.
Ejemplo
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Si A = {2, 3}y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B y darlas por extensión.
Solución:
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:
A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
R
1
= {(2, 1), (3, 1)}
R
2
= {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
R
3
= {(2, 4), (3, 5)}
Ejemplo
Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x,y) que
satisfagan la relación:
R = {(x,y) /x+y= 3}
Solución: El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados:
C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)}
Los pares ordenados que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:
R = {(1, 2), (–3, 6)}
Ejemplo:
Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla
“yes el doble dex” o “y= 2x”, encontrar dominio e imagen de la relación.
Solución:
El total de pares ordenados del producto cartesiano A x B es 20 pares
Pero los pares ordenados que pertenecen a la relación R son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
Así, el dominio y la imagen de la relación son:
Dom (R) = {2, 3, 4}
Im (R) = {4, 6, 8}
Ejemplo
Sean A = {2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6, 7}
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y R x a la relación definida de A en B por (x,y) ∈ R si x divide a y (el resto de la división de y por x es
cero). Definir R por extensión y encontrar dominio e imagen de la relación.
Solución:
R = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}
Dom (R) = {2, 3, 4} Im (R) = {3, 4, 6}
Cuando los conjuntos de partida y de llegada de una relación R son el mismo conjunto A,
decimos que R es una relación definida en A, o, simplemente, una relación en A. Una relación
R en A es entonces un subconjunto de A
2
= A x A.
Si A, por ejemplo, es el conjunto de todos los números reales, hay muchas relaciones que se
usan comúnmente de A en A (“menor que”, “mayor o igual que”, “igual a”, “distinto de”, etc.).
Ejemplo
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y sea R la relación definida por: x R y ⇔ x < y
Definir R por extensión y encontrar dominio e imagen de la relación.
Solución:
R = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2, 3), (2,4), (2,5), (3,4), (3, 5), (4,5)}
Dom (R) = {1,2,3,4} Im (R) = {2,3,4,5}
Sea A un conjunto y R una relación definida en A
● R es reflexiva si para todo x ∈ A, el par (x ,x) ∈ R.
∀ x,[ x ∈ A ⇒ (x, x) ∈ R]
● R es simétrica si siempre que un par (x, y) ∈ R, el par (y, x) también pertenece a R.
∀x, ∀y, [(x ,y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R]
● R es antisimétrica si no existen elementos diferentes x e y en A tales que (x ,y) ∈ R y
también (y, x) ∈ R.
∀x, ∀y,[ (x, y) ∈ R ∧ (y ,x) ∈ R ⇒ x = y]
● R es transitiva si siempre que un par (x, y) ∈ R y un par (y, x) ∈ R entonces también
pertenece a R el par (x, z).
∀x, ∀y, ∀z, [(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x ,z) ∈ R]
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Ejemplo
SeaA = {1, 2, 3} y sea R una relación definida en A, dada por: R= {(1,1), (2,2), (3,3)}
Analizar si la relación dada cumple con las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Solución:
Reflexiva: ∀ x, x ∈ A ⇒ (x, x) ∈ R ; 1 ∈ A ⇒ (1,1) ∈ R
2 ∈ A ⇒ (2,2) ∈ R
3 ∈ A ⇒ (3,3) ∈ R por lo tanto R es reflexiva.
Simétrica: ∀x, ∀y, [(x ,y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R] ; por lo tanto R es simétrica.
Transitiva: ∀x, ∀y, ∀z, [(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x ,z) ∈ R ] ; por lo tanto R es transitiva.
Ejemplo
SeaA = {1, 2, 3} y sea R una relación definida en A, dada por:
R= {(1,1),(3,3),(1,2),(3,1),(1,3)}
Analizar si la relación dada cumple con las propiedades reflexiva, simétrica, antisimétrica y
transitiva.
Solución:
Reflexiva: 2 ∈ A ^ (2,2) ∉ R por lo tanto R no es reflexiva.
Simétrica: (1,2) ∈ R ^ (2,1) ∉ R por lo tanto R no es simétrica.
Antisimétrica: (1,3) ∈ R ^ (3,1) ∈ R ^ 1 3 por lo tanto R no es antisimétrica.≠
Transitiva: (3,1) ∈ R ^ (1,2) ∈ R ^ (3,2) ∉ R por lo tanto R no es transitiva.
Una relación R definida en un conjunto A se dice que es una Relación de equivalencia si
verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Toda relación de equivalencia definida en un conjunto A divide al conjunto en subconjuntos
disjuntos dos a dos, llamados clases de equivalencia.
: C
a
= {x / x
∈ A ∧ x R a } es la clase de equivalencia del elemento a∀𝑎∈𝐴
Observación:
i) cada clase de equivalencia tiene al menos un elemento (a pertenece a la clase de a por ser R
reflexiva).
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ii) si x e y no están relacionados por R, sus clases de equivalencia son disjuntas (no tienen
elementos en común).
iii) A es igual a la unión de todas las clases de equivalencia de elementos de A.
Dada una relación de equivalencia R en un conjunto A, al conjunto de todas las
clases de equivalencia se lo llama conjunto cociente A por R, y se escribe así:
A / R = { C
a
/ a ∈ A }
Por cumplirse i), ii) y iii), decimos que A/R es una partición del conjunto A.
Ejemplo
Probar si la siguiente relación es de equivalencia en Z (conjunto de los números
enteros), y en caso afirmativo hallar el conjunto cociente.
x R y ⇔ x - y es múltiplo de 4
Esta relación se llama “ relación de congruencia módulo 4 “
Decir que x – y es múltiplo de 4 es equivalente a decir que ∃ k ε Z / x - y = 4 k.
Reflexiva: ∀ x ∈ Z, x R x o sea que x-x = 4.k = 0, pues existe k=0 ∈ Z que hace válida la
igualdad, para todo x ∈ Z. Por lo tanto R es reflexiva
Simétrica: ∀ x, y ∈ Z, (x R y ⇒ y R x) , o sea ∀ x, y ∈ Z, si x-y = 4.k con k ∈ Z, debo
probar y-x = 4.s con s ∈ Z.
Si x-y = 4.k, multiplico ambos miembros por -1 y resulta y-x = -(4.k) = 4(-k), llamo –k = s y
entonces y-x = 4.s, con s ∈ Z. Por lo tanto R es simétrica.
Transitiva: ∀ x, y, z ∈ Z, [ (x R y ∧ y R z) ⇒ x R z]
Parto de la verdad del antecedente para llegar a demostrar la verdad del consecuente:
∀ x,y ∈ Z, x R y ↔ x-y = 4.k con k ∈ Z
∀ y,z ∈ Z, y R z ↔ y-z = 4.s con s ∈ Z
Sumo miembro a miembro y obtengo x-z = 4(k-s) = 4 m donde m es el entero k-s, luego R es
transitiva.
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Clases de equivalencia
C
a
= {x/x ∈ Z ∧ x R a} = {x/x ∈ Z ∧ (x – a) = 4k , k∈ Z} * donde a ∈ Z y lo llamamos
representante de la clase
Por el algoritmo de la división en Z se tienen las siguientes expresiones:
x = c
1
.4 + r
1
con 0 r
1
< 4 , r
1
∈ N , c
1
∈ Z.
a= c
2
.4 + r
2
con 0 r
2
< 4 , r
2
∈ N , c
2
∈ Z.
Resto miembro a miembro y obtengo:
x-a = 4(c
1
- c
2
) + ( r
1-
r
2
) , por * x-a =4k, con k ∈ Z, para lograr eso hago r
1-
r
2
= 0 ,
entonces r
1
= r
2
(igual resto).
Es interesante observar que, dado un número entero (cualquiera), si interesara detectar a qué
clase pertenece, es suficiente con dividir dicho número por 4 (división entera) y notar que el
resto de dicha división indicará la clase a la cual pertenece el número considerado.
x R a ↔ x - a = 4k , k ε Z → x = a + 4k
Sea a = 0 C
0
= ….,-8,-4.0, 4,8,12,…..
Sea a= 1 C
1
= ….,-7,-3.1, 5,9,13,…..
Sea a= 2 C
2
= ….,-6,-2.2, 6,10,14,…..
Sea a= 3 C
3
= ….,-5,-1.3, 7,11,15,…..
Esta relación tiene 4 clases: C
0
, C
1
, C
2
, C
3
y cada una de ellas tiene infinitos elementos.
No es posible obtener otras clases distintas de estas, ya que son los posibles restos de la
división de un entero por 4 , es decir : 0, 1 , 2 , 3.
Encontrar la clase de los elementos: 5, -17, 11 y -10.
5 ∈ C
1 ,
5= 4.1 + 1 (al dividir 5 por 4 da un resto igual a 1)
11 ∈ C
3
11 = 4.2 + 3
-17 ∈ C
3
-17 = 4.(-5) + 3
-10 ∈ C
2
-10 = 4.(-3) + 2
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Una relación R definida en un conjunto A se dice que es una Relación de orden si verifica
las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva
Definiciones
Una relación de orden en A se llama de orden total si:
∀x,y ∈ A se verifica que ( x R y ∨ y R x)
Observación: Cuando el orden es total, el conjunto A se dice “totalmente ordenado”
Si el orden no es total, se llama orden parcial ∃x,y ∈ A, [(x,y) ∉ R ∧ (y,x) ∉ R]
Ejemplo
Probar que la siguiente relación es de orden en N (conjunto de los números naturales)
∀x,y ∈ N ( x R y ⇔ x divide a y)
Decir que x | y ( x divide a y ) es equivalente a decir que existe k ε N tal que y = k. x
x, y ε N ,( x R y ↔ y = kx , k ε N)
Reflexiva: x ε N , (x R x)
x ε N , x R x ↔ x = kx , se cumple para k=1 ε N
Antisimétrica: x,y ε N , [(x R y ∧ y R x) → x = y ]
x,y ε N, x R y ↔ y = kx , k ε N (1)
x,y ε N, y R x ↔ x = k’y , k´ ε N (2)
Reemplazando (2) en (1) : y = k.k´y → k.k´=1 por lo tanto k= k´=1 (pues k,k´ ε N)
Reemplazando k´ en (2) se llega a x = y ( Pensar que ocurre si trabajamos en Z)
Transitiva : x,y,z ε N , [(x R y ∧ y R z) → x R z]
x,y,z ε N, x R y ↔ y = kx, k ε N (1)
x,y,z ε N, y R z ↔ z = q.y , q ε N (2)
Reemplazando (1) en (2) : z= (q.k).x , l= q.k ε N
Por lo tanto z= l.x ↔ x R z
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Es una relación de Orden Parcial ya que por ejemplo (2,3) ∉ R y (3,2) ∉ R
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4.Geometría.pdf
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