Tema 8: Torsión
1
Tema 8: TORSIÓN
T
x
G
1
2
2´
G
Tema 8: Torsión
2
8.1.-INTRODUCCIÓN
Una sección de un elemento estructural está solicitada a Torsión cuando el Momento
resultante de las fuerzas interiores tiene la componente M
x
= T
En este tema se estudiarán elementos estructurales en los que todas sus secciones estén
solicitadas a Torsión
Diagramas de Momentos Torsores
Al igual que ocurre con los diagramas correspondientes de la Tracción-Compresión y de
la Flexión, los diagramas de Momentos Torsores indicarán el Momento Torsor
correspondiente a cada sección del elemento estructural.
Se desarrollará uno de estos diagramas a través de un ejemplo:
G
z
y
x
T
T>0 → si su sentido es el de la normal saliente de la sección
T<0 → si su sentido es contrario al de la normal saliente en la sección
Criterios de signos para los Momentos Torsores
x
n
T
x
n
T
x
n
T
x
n
T
Fig..8.1.a
Fig..8.1.b
Sección 8.1: Introducción
3
Tipos de Torsión que se podrán dar:
A.-Torsión uniforme: Se dice que una barra trabaja a TORSIÓN UNIFORME cuando
se cumplan las dos condiciones siguientes: el único esfuerzo presente es un Momento
Torsor, que es constante a lo largo de ella y además los extremos de la barra pueden
alabear libremente
En la torsión uniforme, dado que el alabeo que se pueda producir es el mismo en todas
las secciones, se podrá afirmar que las tensiones normales serán cero (σ
x
= 0) , y sólo
dará lugar a tensiones cortantes: τ
Tramo L
1
M
1
M
ext
= M
1
T = M
1
n
M
int
= M
1
Tramo L
2
M
3
M
ext
= M
3
M
int
= M
3
T = - M
3
n
M
1
M
2
M
3
L
1
L
2
T
x
M
1
M
3
+
-
M
M
L
T
x
M
+
Fig..8.3
Fig..8.2
Tema 8: Torsión
4
B.-Torsión no uniforme:
Se dirá que la torsión no es uniforme cuando no se cumplan
algunas de las dos condiciones anteriores, como sería el caso de los dos ejemplos
siguientes:
En la torsión no uniforme, el alabeo posible de las diferentes secciones no será el
mismo, por lo que se producirán tensiones normales: σ
x
y tensiones cortantes: τ.
En la siguiente figura se muestra el efecto del alabeo de una barra IPE laminada
sometida a torsión no uniforme (caso del ejemplo 2). Se observa cómo debido al alabeo,
las alas de la viga se flexionan y por tanto aparecerán en ellas tensiones normales σ
x
M
T
x
M = cte
+
La sección de la izquierda está
empotrada y no podrá alabear
libremente
Ejemplo 1
Fig..8.4
M
1
M
2
M
3
T
x
M
1
M
3
+
-
El Momento Torsor no es
constante a lo largo de la barra
Ejemplo 2
Fig..8.5
Fig..8.6
Sección 8.1: Introducción
5
Observaciones:
1. Para medir la susceptibilidad al alabeo por torsión de una determinada sección
se utiliza el denominado “módulo de alabeo”: I
a
y para medir la susceptibilidad
la torsión se utiliza el “módulo de torsión”: I
t
. Ambos valores se pueden
calcular u obtener de Tablas
2. Las piezas sometidas a Torsión no uniforme en las que el módulo de alabeo (I
a
)
sea nulo o de pequeño valor con respecto al módulo de torsión (I
t
), se admite
aplicar el cálculo como si fuera Torsión uniforme.
Éstos casos se darán en los siguientes tipos de secciones:
secciones macizas de gran espesor
secciones cerradas de pequeño espesor
secciones abiertas de pequeño espesor formadas por rectángulos que se cortan en
un punto
Tema 8: Torsión
6
Secciones más adecuadas para trabajar a torsión
En las piezas sometidas a torsión cabe distinguir dos tipos: el de las piezas cuya
principal función es la transmisión de un par torsor, sólo o combinado con esfuerzos de
flexión o axiles, (es el caso de piezas usadas principalmente en las máquinas: ejes, etc.)
y el de piezas en las cuales la torsión es un efecto secundario indeseable (es el caso, no
muy frecuente, de algunas piezas de estructuras de edificación, como las vigas carril o
las correas en fachadas laterales).
Las piezas correspondientes al primer tipo indicado, se proyectan con secciones macizas
de gran espesor o cerradas de pequeño espesor:
• SECCIONES DE GRAN ESPESOR (MACIZAS)
• SECCIONES CERRADAS DE PEQUEÑO ESPESOR
Las SECCIONES ABIERTAS DE PEQUEÑO ESPESOR no son apropiadas para este
tipo de solicitación y deben tratar de evitarse su utilización o bien emplear disposiciones
constructivas adecuadas para evitar que la torsión se presente en ellas. Por ello su
cálculo no es frecuente y es estudiado con más profundidad en asignaturas de
Estructuras Metálicas
Circulares
Circulares huecas
Rectangulares
Circulares Rectangulares
Sección 8.2: Tensiones y deformaciones en piezas de sección maciza: circular y circular hueca
7
8.2.-TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIÓN MACIZA:
CIRCULAR Y CIRCULAR HUECA
A.- CÁLCULO DE TENSIONES
Considérese una pieza de sección circular y sea T el momento torsor en una de sus
secciones
Las relaciones Tensiones – Solicitaciones vistas en 1.7 serían para este caso:
Pero al igual que ocurría en la Tracción-Compresión y en la Flexión, éstas ecuaciones,
por si solas, no permiten calcular el valor de las tensiones originadas por el Momento
Torsor T. y habrá que recurrir nuevamente a hipótesis simplificativas que han sido
comprobadas experimentalmente. Para este caso será:
Hipótesis de Coulomb: “ Las secciones transversales circulares de la pieza permanecen
planas durante la Torsión, girando como un todo rígido alrededor del eje x normal a la
sección”
T
x
y
z
Fig..8.7
( )
0 . 0 . 0 .
. . . 0 . . 0 . .
x y xy z xz
A A A
xz xy y x z x
A A A
N dA V dA V dA
T y z dA M z dA M y dA
σ τ τ
τ τ σ σ
= = = = = =
= − = = = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
)1.8(
Tema 8: Torsión
8
Como consecuencia de dicha hipótesis se deduce que los radios de las secciones
transversales giran, permaneciendo rectos, mientras que las generatrices de la superficie
lateral (línea 1-2), se transforma en hélices (curva 1-2´)
Se demostrará a continuación que en la Torsión de piezas de sección circular no se
producen tensiones normales, es decir que: σ
x
= 0
• Se supone en primer lugar que existen tensiones normales σ
x
. Si fuese así, éstas
deberían presentar una distribución no constante, pues si fuese constante, es
decir: σ
x
= cte, en virtud de la primera de las relaciones de la ecuación (8.1), se
tendría:
Osea que tendría que ser: σ
x
≠ cte
• Si σ
x
≠ cte, por la ley de Hooke:
con lo cual se tendría que las deformaciones lineales ε
x
serían diferentes para los
distintos puntos de una sección y ésta por tanto se alabearía, contradiciendo la
Hipótesis de Coulomb
Conclusión: ⇒
(8.2)
O lo que es lo mismo: “La torsión en secciones circulares sólo produce tensiones
cortantes τ “
T
x
G
1
2
2´
G
Fig..8.8
. ( cte) . . 0 Nosecumpliría dicha relación
x x x x
A A
dA si dA A
σ σ σ σ
= = = = ≠ ⇒
∫ ∫
cte
E
x
x
≠=
σ
ε
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
σ
x
= 0
Sección 8.2: Tensiones y deformaciones en piezas de sección maciza: circular y circular hueca
9
Cálculo de las tensiones cortantes
Se considera una rebanada de la pieza de longitud dx
Mientras que la sección izquierda gira, alrededor del eje x, un ángulo ϕ (ángulo de giro
a torsión), la sección de la derecha habrá girado, en el mismo sentido, un ángulo ϕ + dϕ.
lo que supone un giro relativo a torsión de ésta sección con respecto a la anterior de
valor dϕ.
Se toma sobre dicha rebanada un prisma como el indicado en la siguiente figura
Como consecuencia del giro de torsión relativo, dϕ, entre las dos secciones laterales de
dicha rebanada, el prisma se deformará, de tal forma que la cara lateral derecha girará
un ángulo dϕ con respecto a la cara lateral izquierda, dando lugar a la siguiente figura,
(que se ampliará para poder observarse mejor dicha deformación). La cara abcd del
prisma se transformará en la ab
1
c
1
d, sufriendo una deformación angular γ
ϕ
ϕ
+d
ϕ
dx
1
2
1´
2´
G
G
x
Fig..8.9
dx
a
G
x
b
c
d
Fig..8.10
dx
a
G
x
b
c
d
b
1
c
1
γ
γγ
γ
r
d
ϕ
a
d
b
c
b
1
c
1
τ
τ
τ
τ
γ
Fig..8.11
Tema 8: Torsión
10
La deformación angular γ se podrá obtener por:
La deformación angular γ es el resultado de la acción de las tensiones cortantes que
actúan sobre las caras laterales del prisma. El valor de éstas se podrá obtener a partir de
la Ley de Hooke:
Ecuación que indica que: “en una sección circular, las tensiones cortantes
τ
producidas por el Momento Torsor T, son proporcionales a la distancia r al centro de
la misma y perpendiculares al vector de posición r ”. Así pues, la distribución de
tensiones cortantes en una sección circular será la que se indica en las siguientes figuras
siendo:
“la tensión cortante máxima: τ
max,
se dará en los puntos del borde de la sección
circular”
La cuarta ecuación de la relación tensiones-solicitaciones, ecuaciones (8.1) era:
y sustituyendo el valor de τ dado en (8.5) :
“ángulo de torsión unitario” (8.6)
siendo:
G.I
o
= Módulo de rigidez a la torsión
(equivalente al módulo de rigidez a la flexión: E.I
z
, visto en el tema 5º)
1
.
. (8.3)
denominando "ángulo de torsión unitario" (8.4
)
bb r d
tag r
ab dx
d
dx
ϕ
γ γ ϑ
ϕ
θ
≅ = = =
=
)5.8(..)3.8(. GrsegúnG
G
ϑγτ
τ
γ
===→=
G
τ
τ
τ
τ
a
b
c
d
r
r
G
τ
max
τ
max
τ
max
τ
max
z
y
R
ϑτϑτ
..)(..
max
RGRrcuandoyrG ====
( . . ) ( ) . .
xz xy
A A
T y z dA ver figura r dA
τ τ τ
= − = =
∫ ∫
τ
xz
τ
x
y
τ
r
dr
dA
O
≡
G
y
z
Fig..8.13
2
. . . . . . . . . de donde:
o
A A
T G r r dA G r dA G I
ϑ ϑ ϑ
= = =
∫ ∫
.
o
T
G I
ϑ
=
Fig..8.12
Sección 8.2: Tensiones y deformaciones en piezas de sección maciza: circular y circular hueca
11
Sustituyendo finalmente el valor obtenido en (8.6), para el cálculo del ángulo de torsión
unitario, en la ecuación (8.5):
expresión final para el cálculo de la tensión cortante debida a la torsión, en el caso de
barras de sección circular.
Por lo visto antes:
siendo :
W
o
= I
o
/ R Módulo resistente a la torsión
(equivalente al módulo de resistente a la flexión: W
z
= I
z
/ y
max
, visto en el tema 5º)
Observación
: Éstas fórmulas serán también aplicables a las barras macizas de sección
circular hueca
SECCIÓN CIRCULAR SECCIÓN CIRCULAR HUECA
.
. . . .
.
o o
T T r
G r G r
G I I
τ ϑ
= = =
(8.7)
max
.
( )
o
o o
T R T T
r R
I
I W
R
τ τ
= = = = =
(8.8)
G
τ
max
τ
max
τ
max
τ
max
z
y
R
R
i
G
τ
max
τ
max
τ
max
τ
max
z
y
R
e
)(
2
.
max
4
Rr
R
I
o
==
=
ττ
π
)(
2
.
2
.
max
44
e
ie
o
Rr
RR
I
==
−=
ττ
ππ
Fig..8.14.a Fig..8.14.b
Tema 8: Torsión
12
B.- CÁLCULO DE DEFORMACIONES
Las deformaciones que se provocan en una barra sometida a Torsión son los
GIROS a
TORSION:
ϕ
ϕϕ
ϕ, que se producen, al girar sus secciones transversales alrededor del eje
geométrico OX de la misma. El valor de éstos giros será:
El ángulo de torsión unitario según la ecuación (8.6) era:
Giro relativo entre dos secciones A y B de la
barra
Caso particular
: Si G.I
o
= cte, la ecuación (8.9) se podrá expresar:
Expresión que nos dice: “ el giro relativo debido a la torsión entre dos secciones A y B,
es igual al área del diagrama de momentos torsores entre las dos secciones, dividido
por el módulo de rigidez a la torsión: G.I
o
”
Signos:
ϕ
BA
> 0
⇒
B gira en sentido antihorario respecto a A (siempre que las
secciones consideradas A y B, la sección A esté a la izquierda de la B)
Observación final:
Según lo indicado en 8.1, las fórmulas obtenidas para las tensiones
y las deformaciones serán válidas tanto para el caso de Torsión Uniforme como para el
de Torsión no Uniforme.
.
. .
e integrando esta ecuación entre dos secciones
A y B de la barra:
o o
d T T
d dx
dx G I G I
ϕ
ϑ ϕ
= = → =
.
.
B
BA B A
o
A
T dx
G I
ϕ ϕ ϕ
= − =
∫
(8.9)
.
. .
AB
B
T
A
BA B A
o o
T dx
S
G I G I
ϕ ϕ ϕ
= − = =
∫
(8.10)
Sección 8.3: Tensiones y deformaciones en piezas de sección maciza no circulares
13
8.3.-TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIÓN MACIZA
NO CIRCULARES
La hipótesis de Coulomb: “……las secciones transversales permanecen planas durante
la torsión…”, válida para las secciones circulares, no es válida sin embargo para otro
tipo de secciones y por tanto en éstas otras, las secciones se alabearán.
No obstante, en este tipo de secciones, el módulo de alabeo I
a
es pequeño comparado
con el módulo de torsión I
t
y entonces, según lo indicado en 8.1, se podrá estudiarlas
como si estuvieran sometidas a Torsión Uniforme, aunque se estuviera en el caso de
Torsión no Uniforme. Así pues, en este tipo de secciones sometidas a Torsión, sólo
aparecerán tensiones cortantes τ.
La determinación exacta de tensiones y deformaciones en una pieza de sección
cualquiera sometida a Torsión, se debe a Saint-Venant y forma parte de la Teoría de la
Elasticidad. Aquí se expondrán a continuación los resultados que se obtienen al aplicar
dicha teoría al caso se piezas de sección rectangular.
CASO DE SECCIÓN RECTANGULAR:
se da en el punto medio del lado mayor
Los valores de µ y de β dependen de la relación h/b:
h/b
1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10
∞
µ
0,208
0,231
0,239
0,246
0,258
0,267
0,282
0,299
0,307
0,313
0,333
β
0,141
0,196
0,214
0,229
0,249
0,263
0,281
0,299
0,307
0,313
0,333
T
T
T
T
τ
max
h
b
max
2
. .
T
b h
τ
µ
=
3
. . .
T
G hb
ϑ
β
=
(8.11)
(8.12)
Fig..8.15
Fig..8.16
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