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Versión Actualizada al: 13 de mayo de 2004
Distribuciones marginales
Como vimos antes, cada componente de una variable aleatoria bidimensional es una
variable aleatoria unidimensional en sí misma. Es decir, cada una de las dos
variables aleatorias que forman la variable aleatoria bidimensional es una variable
aleatoria unidimensional común y corriente. Entonces nos puede interesar conocer
la distribución de una componente por separado, sin tener en cuenta a la otra
componente.
Eso se denomina "marginar", y la distribución de la variable unidimensional por
separado se llama "distribución marginal".
Distribuciones marginales de variables aleatorias
discretas
Sea la variable aleatoria bidimensional XY distribuida según P
XY
(x,y), la distribución
de X (también llamada distribución marginal de X) es:
∑
+∞
−∞=
=
y
XYX
)y,x(P)x(P
para cada valor x de la variable aleatoria X
Análogamente, la distribución de Y es:
∑
+∞
−∞=
=
x
XYY
)y,x(P)y(P
para cada valor y de la variable aleatoria Y
Es decir, para cada valor posible de la variable aleatoria cuya distribución se desea
hallar, se suman las probabilidades conjuntas de ese valor con cada uno de los
valores posibles de la otra variable.
Ejemplo 1
ABC Amber Text Converter Trial version, http://www.thebeatlesforever.com/processtext/
Si la distribución conjunta es:
P
XY
Y
20 30
X
1 0,1 0,3
2 0,4 0,2
Vamos a hallar la distribución de X.
Primero enumeramos los valores posibles de X: 1; 2.
Y ahora para cada valor posible de X, aplicamos la fórmula.
4,03,01,0)30,1(P)20,1(P)y,1(P)1(P
XYXY
y
XYX
=+=+==
∑
+∞
−∞=
6,02,04,0)30,2(P)20,2(P)y,2(P)2(P
XYXY
y
XYX
=+=+==
∑
+∞
−∞=
Entonces obtuvimos:
∀
=
=
=
xotro0
2x6,0
1x4,0
)x(P
X
Ahora hallemos la distribución de Y:
Primero enumeramos los valores posibles de Y: 20; 30.
Y ahora para cada valor posible de X, aplicamos la fórmula.
5,04,01,0)20,2(P)20,1(P)20,x(P)20(P
XYXY
x
XYY
=+=+==
∑
+∞
−∞=
5,02,03,0)30,2(P)30,1(P)30,x(P)30(P
XYXY
x
XYY
=+=+==
∑
+∞
−∞=
Entonces obtuvimos:
∀
=
=
=
yotro0
30y5,0
20y5,0
)y(P
Y
Veamos lo que ocurre si en la tabla que usamos para escribir la distribución
conjunta, agregamos los totales por fila y por columna:
P
XY
Y
20 30
X
1 0,1 0,3 0,4
2 0,4 0,2 0,6
0,5 0,5
Observamos que en los márgenes de la tabla no obtuvimos otra cosa que las
distribuciones marginales de X y de Y. Esa es la razón por la cual las distribuciones
de X e Y por separado se denominan "marginales".
Ejemplo 2
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Vamos a hallar rápidamente las distribuciones de las variables X e Y, cuya
distribución conjunta es la siguiente:
P
XY
Y
1 2 3 5
X
0 5/35 3/35 2/35 2/35
1 2/35 4/35 3/35 1/35
2 2/35 1/35 2/35 2/35
3 1/35 1/35 2/35 2/35
Como hicimos antes, anotaremos en los márgenes de la tabla los totales por fila y
por columna:
P
XY
Y
1 2 3 5
X
0 5/35 3/35 2/35 2/35 12/35
1 2/35 4/35 3/35 1/35 10/35
2 2/35 1/35 2/35 2/35 7/35
3 1/35 1/35 2/35 2/35 6/35
10/35 9/35 9/35 7/35
Luego
∀
=
=
=
=
=
xotro0
3x35/6
2x35/7
1x35/10
0x35/12
)x(P
X
∀
=
=
=
=
=
yotro0
5y35/7
3y35/9
2y35/9
1y35/10
)y(P
Y
Distribuciones marginales de variables aleatorias
continuas
La marginación de variables continuas es análoga a la de las variables discretas,
pero puede acarrear algunas dificultades adicionales. Sea la variable aleatoria
bidimensional XY distribuida según f
XY
(x,y), la distribución de X (también llamada
distribución marginal de X) es:
dyyxfxf
XYX
∫
+∞
∞−
=
),()(
para cada región del dominio de X donde no cambien los
límites de integración de f
XY
(x,y) con respecto a Y.
Análogamente, la distribución de Y es:
dxyxfyf
XYY
∫
+∞
∞−
=
),()(
para cada región del dominio de Y donde no cambien los
límites de integración de f
XY
(x,y) con respecto a X.
Es importante tener en cuenta las distintas ramas de f
XY
(x,y).
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Método para obtener f
X
(x) a partir de f
XY
(x,y)
Si bien la expresión
dyyxfxf
XYX
∫
+∞
∞−
=
),()(
contiene toda la información necesaria para
saber cómo obtener f
X
(x) a partir de f
XY
(x,y) sin importar cómo sea f
XY
(x,y), y la
resolución de la integral no tiene nada que ver con probabilidad y estadística sino
que constituye un tema de análisis matemático, a veces puede tornarse complicado,
y convertirse en un verdadero impedimento
matemático
para quien intenta trabajar
con la
estadística
.
Con temas similares se ofrece un método para resolverlos, pero en este caso es
difícil establecer un método práctico y detallado que permita resolver los problemas
mecánicamente. Por eso para este tema se ofrece un método sintetizado y una
abundante cantidad de ejemplos.
Método:
1) Subdividir el dominio de X de forma tal que en cada intervalo no cambien:
•
Las ecuaciones que determinan los límites de integración de f
XY
(x,y) respecto de
Y.
•
Las ecuaciones que determinan la separación de las ramas de f
XY
(x,y) (si las hay).
2) Para cada intervalo, calcular
dyyxfxf
XYX
∫
+∞
∞−
=
),()(
, teniendo en cuenta que si en
ese intervalo de X hay distintas ramas de f
XY
(x,y), la integral será la suma de distintas
integrales.
3) Armar la f
X
(x) poniendo en cada intervalo lo calculado en el punto 2.
A continuación presentamos 22 ejemplos resueltos de marginación de variables.
Ejemplos 1, 2
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∀
<<<<
=
yxotro
yx
yxf
XY
,0
31,40
8
1
),(
Marginación de x:
Tenemos que subdividir el dominio de la X de forma tal que dentro de cada
intervalo no cambien las ecuaciones que determinan los límites de integración
respecto de Y, ni las que separan ramas de f
XY
(x,y).
En esta f
XY
(x,y) no hay múltiples ramas, así que para dividir en intervalos el dominio
de X, solamente tendremos en cuenta el comportamiento de la Y en cada intervalo:
Para -
∞
< x < 0, la Y no aparece.
Para 0 < x < 4, la Y varía entre 1 y 3.
Para 4 < x < +
∞
, la Y no aparece.
Entonces nos quedan 3 intervalos, de los cuales 2 son triviales porque son
imposibles (con lo cual sabemos que la densidad marginal de la X será cero en
ellos).
Entonces aplicamos la fórmula al único intervalo relevante (0 < x < 4):
4
1
8
1
),(
3
1
==
∫∫
+∞
∞−
dydyyxf
XY
Luego construimos la función de densidad de la X, que tendrá solamente una rama
porque hubo un solo intervalo relevante:
∀
<<
=
xotro
x
xf
X
0
404/1
)(
Marginación de y:
En este caso la marginación de Y es muy similar a la de X. Como no hay múltiples
ramas, solo vamos a observar el comportamiento de la X a la hora de tomar
intervalos para la Y. Procedemos:
Para -
∞
< y < 1, la X no aparece.
Para 1 < y < 3, la X varía entre 0 y 4.
Para 3 < y < +
∞
, la X no aparece.
Entonces nos quedan 3 intervalos, de los cuales 2 son triviales porque son
imposibles (con lo cual sabemos que la densidad marginal de la Y será cero en
ellos).
Entonces aplicamos la fórmula al único intervalo relevante (1 < y < 3):
2
1
8
1
),(
4
0
==
∫∫
+∞
∞−
dxdxyxf
XY
Luego construimos la función de densidad de la Y, que tendrá solamente una rama
porque hubo un solo intervalo relevante:
∀
<<
=
yotro
y
yf
Y
0
312/1
)(
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Ejemplos 3, 4
∀
<<<<
+
=
yxotro
xyx
yx
yxf
XY
,0
0,20
4
),(
Marginación de x:
Como la f
XY
(x,y) tiene una sola rama, vamos a tener en cuenta solamente el
comportamiento de Y:
Para -
∞
< x < 0, la Y no aparece.
Para 0 < x < 2, la Y varía entre 0 y x.
Para 2 < x < +
∞
, la Y no aparece.
Entonces nos quedan 3 intervalos, de los cuales 2 son triviales porque son
imposibles (con lo cual sabemos que la densidad marginal de la X será cero en
ellos).
Entonces aplicamos la fórmula al único intervalo relevante (0 < x < 2):
8
3
4
),(
2
0
x
dy
yx
dyyxf
x
XY
=
+
=
∫∫
+∞
∞−
Luego construimos la función de densidad de la X, que tendrá solamente una rama
porque hubo un solo intervalo relevante:
∀
<<
=
xotro
x
x
xf
X
0
20
8
3
)(
2
Marginación de y:
Como la f
XY
(x,y) tiene una sola rama, vamos a tener en cuenta solamente el
comportamiento de X:
Para -
∞
< y < 0, la X no aparece.
Para 0 < y < 2, la X varía entre y y 2.
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Para 2 < y < +
∞
, la X no aparece.
Entonces nos quedan 3 intervalos, de los cuales 2 son triviales porque son
imposibles (con lo cual sabemos que la densidad marginal de la Y será cero en
ellos).
Entonces aplicamos la fórmula al único intervalo relevante (0 < y < 2):
8
344
4
),(
2
2
yy
dx
yx
dxyxf
y
XY
−+
=
+
=
∫∫
+∞
∞−
Luego construimos la función de densidad de la Y, que tendrá solamente una rama
porque hubo un solo intervalo relevante:
∀
<<
−+
=
yotro
y
yy
yf
Y
0
20
8
344
)(
2
Ejemplos 5, 6
∉
∈
=
Dyx
Dyx
xy
yxf
XY
),(0
),(
7
8
),(
donde D es el que se ve en el gráfico.
Marginación de x:
Como la f
XY
(x,y) tiene una sola rama, vamos a tener en cuenta solamente el
comportamiento de Y:
Para -
∞
< x < 0, la Y no aparece.
Para 0 < x < 1, la Y varía entre 0 y x.
Para 1 < x < 2, la Y varía entre 0 y 1.
Para 2 < x < +
∞
, la Y no aparece.
Entonces nos quedan 4 intervalos, de los cuales 2 son triviales porque son
imposibles (con lo cual sabemos que la densidad marginal de la X será cero en
ellos).
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Entonces aplicamos la fórmula a los intervalos relevantes:
•
0 < x < 1
7
4
7
8
),(
3
0
x
dy
xy
dyyxf
x
XY
==
∫∫
+∞
∞−
•
1 < x < 2
7
4
7
8
),(
1
0
x
dy
xy
dyyxf
XY
==
∫∫
+∞
∞−
Luego construimos la función de densidad de la X, que tendrá 2 ramas porque
hubo dos intervalos relevantes:
∀
<<
<<
=
xotro
x
x
x
x
xf
X
0
21
7
4
10
7
4
)(
3
Marginación de y:
Como la f
XY
(x,y) tiene una sola rama, vamos a tener en cuenta solamente el
comportamiento de X:
Para -
∞
< y < 0, la X no aparece.
Para 0 < y < 1, la X varía entre y y 2.
Para 1 < y < +
∞
, la X no aparece.
Entonces nos quedan 3 intervalos, de los cuales 2 son triviales porque son
imposibles (con lo cual sabemos que la densidad marginal de la Y será cero en
ellos).
Entonces aplicamos la fórmula al único intervalo relevante (0 < y < 1):
)4(
7
4
7
8
),(
2
2
yydx
xy
dxyxf
y
XY
−==
∫∫
+∞
∞−
Luego construimos la función de densidad de la Y, que tendrá solamente una rama
porque hubo un solo intervalo relevante:
∀
<<−
=
yotro
yyy
yf
Y
0
10)4(
7
4
)(
2
Notemos que no siempre las funciones de densidad marginales de X e Y tienen la
misma cantidad de ramas. En este ejemplo observamos que la de la X tiene 2
mientras que la de la Y tiene solamente 1.
Ejemplos 7, 8
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Supongamos que este es el gráfico de una función de densidad conjunta de X e Y,
con una sola rama cuya expresión es una determinada función a(x,y).
A partir de ahora no trabajaremos más con distribuciones concretas sino que lo
haremos abstractamente para que no nos distraigan las cuentas.
Marginación de x:
Para -
∞
< x < 0, la Y no aparece.
Para 0 < x < 1, la Y varía entre 0 y x.
Para 1 < x < 2, la Y varía entre x-1 y 1
Para 2 < x < +
∞
, la Y no aparece.
Aplicamos la fórmula a los intervalos relevantes, y la función de densidad marginal
de X nos queda:
∀
<<
<<
=
∫
∫
−
xotro
xdyyxa
xdyyxa
xf
x
x
X
0
21),(
10),(
)(
1
1
0
Marginación de y:
Para -
∞
< y < 0, la X no aparece.
Para 0 < y < 1, la X varía entre "y" y "y+1".
Para 1 < y < +
∞
, la X no aparece.
Aplicamos la fórmula al intervalo relevante, y la función de densidad marginal de Y
nos queda:
∀
<<
=
∫
+
yotro
ydxyxa
yf
y
y
Y
0
10),(
)(
1
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Ejemplos 9, 10
Supongamos que este es el gráfico de una función de densidad conjunta de X e Y,
con una sola rama cuya expresión es una determinada función a(x,y).
Marginación de x:
•
-
∞
< x < 1: la Y no aparece.
•
1 < x < 2: la Y varía entre 2 y 5.
•
2 < x < 3: la Y varía entre 2 y 3,
y también entre 4 y 5
•
3 < x < 4: la Y varía entre 2 y 3
•
4 < x < +
∞
: la Y no aparece.
∀
<<
<<+
<<
=
∫
∫∫
∫
xotro
xdyyxa
xdyyxadyyxa
xdyyxa
xf
X
0
43),(
32),(),(
21),(
)(
3
2
5
4
3
2
5
2
Cuando en un intervalo de la X, la Y hace más de una aparición, se suman las
integrales correspondientes a cada a aparición. Vemos en el ejemplo que en la rama
2 < x < 3 de la f
X
(x), aparece la suma de las dos integrales correspondientes a las
dos apariciones de la Y.
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Marginación de y:
•
-
∞
< y < 2: la X no aparece.
•
2 < y < 3: la X varía entre 1 y 4
•
3 < y < 4: la X varía entre 1 y 2
•
4 < y < 5: la X varía entre 1 y 3
•
5 < y < +
∞
: la X no aparece.
∀
<<
<<
<<
=
∫
∫
∫
xotro
ydyyxa
ydyyxa
ydyyxa
xf
X
0
54),(
43),(
32),(
)(
3
1
2
1
4
1
A partir de ahora veremos ejemplos en los que la f
XY
(x,y) tiene más de una rama.
Ejemplos 11, 12
∀
<<<<
+
<<<<
=
yxotro
yx
yx
yx
yx
yxf
XY
,0
20,32
10
20,21
10
*
),(
Cuando la función de densidad conjunta tiene más de una rama, se procede como
veníamos haciendo hasta ahora, con la diferencia de que en vez de estudiar las
apariciones de la Y, estudiamos las apariciones de cada rama.
Llamemos para este ejemplo rama "a" a la de la izquierda y rama "b" a la de la
derecha.
Marginación de x:
•
-
∞
< x < 1:
•
la rama a no aparece
•
la rama b no aparece
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•
1 < x < 2:
•
la rama a aparece entre 0 y 2
•
la rama b no aparece
•
2 < x < 3:
•
la rama a no aparece
•
la rama b aparece entre 0 y 2
•
3 < x < +
∞
:
•
la rama a no aparece
•
la rama b no aparece
Nos quedaron 4 intervalos, pero el primero y el último son triviales porque en ellos
no aparece nada. Con los intervalos relevantes procedemos como antes, pero ahora
teniendo cuidado porque el integrando no siempre será el mismo en todas las
integrales, sino que ahora dependerá de la rama que haya aparecido.
Entonces:
•
1 < x < 2:
510
),(
2
0
x
dy
xy
dyyxf
XY
==
∫∫
+∞
∞−
•
2 < x < 3:
5
1
10
),(
2
0
+
=
+
=
∫∫
+∞
∞−
x
dy
yx
dyyxf
XY
Luego la función de densidad marginal de X es:
∀
<<
+
<<
=
xotro
x
x
x
x
xf
X
0
32
5
1
21
5
)(
Marginación de y:
•
-
∞
< y < 0:
•
la rama a no aparece
•
la rama b no aparece
•
0 < y < 2:
•
la rama a aparece entre 1 y 2
•
la rama b aparece entre 2 y 3
•
2 < y < +
∞
:
•
la rama a no aparece
•
la rama b no aparece
El único intervalo no trivial es 0 < y < 2. Observamos que además en ese intervalo
hay más de una aparición. Como puede intuirse, lo que se hace es sumar las
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correspondientes integrales.
Entonces, aplicando la fórmula en 0 < y < 2 obtenemos:
4
1
1010
),(),(),(),(
3
2
2
1
3
2
2
1
3
1
+
=
+
+=+==
∫∫∫∫∫∫
+∞
∞−
y
dx
yx
dx
xy
dxyxfdxyxfdxyxfdxyxf
XYXYXYXY
Luego la función de densidad marginal de Y es:
∀
<<
+
=
yotro
y
y
yf
Y
0
20
4
1
)(
Ejemplos 13, 14
∀
<<<<
<<<<
=
yxotro
yxyxb
yxyxa
yxf
XY
,0
20,43),(
20,21),(
),(
Este caso es similar al anterior, por lo cual lo haremos rápidamente. Además, de
aquí en adelante, trabajaremos con funciones de densidad genéricas (con letras)
para no hacer cuentas que nos distraigan del objetivo primario.
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Marginación de x:
•
-
∞
< x < 1:
•
la rama a no aparece
•
la rama b no aparece
•
1 < x < 2:
•
la rama a aparece entre 0 y 2
•
la rama b no aparece
•
2 < x < 3:
•
la rama a no aparece
•
la rama b no aparece
•
3 < x < 4:
•
la rama a no aparece
•
la rama b aparece entre 0 y 2
•
4 < x < +
∞
:
•
la rama a no aparece
•
la rama b no aparece
Se revuelven las siguientes integrales:
∫∫
2
0
2
0
),(;),( dyyxbdyyxa
Y se obtiene:
∀
<<
<<
=
∫
∫
xotro
xdyyxb
xdyyxa
xf
X
0
43),(
21),(
)(
2
0
2
0
Marginación de y:
•
-
∞
< y < 0:
•
la rama a no aparece
•
la rama b no aparece
•
0 < y < 2:
•
la rama a aparece entre 1 y 2
•
la rama b aparece entre 3 y 4
•
2 < y < +
∞
:
•
la rama a no aparece
•
la rama b no aparece
Se revuelven las siguientes integrales:
∫∫
4
3
2
1
),(;),( dxyxbdxyxa
Y se obtiene:
∀
<<+
=
∫∫
yotro
ydxyxbdxyxa
yf
Y
0
20),(),(
)(
4
3
2
1
Ejemplos 15, 16
ABC Amber Text Converter Trial version, http://www.thebeatlesforever.com/processtext/
∀
<<<<
<<<<
=
yxotro
xyxyxb
yxxyxa
yxf
XY
,0
0,20),(
2,20),(
),(
Marginación de x:
•
-
∞
< x < 0:
•
la rama a no aparece
•
la rama b no aparece
•
0 < x < 2:
•
la rama a aparece entre
x
y
2
•
la rama b aparece entre
0
y
x
•
2 < x < +
∞
:
•
la rama a no aparece
•
la rama b no aparece
La integral a resolver es:
∫∫
∫∫∫
+
=+=
2
0
2
0
2
0
),(),(
),(),(),(
x
x
x
XY
x
XYXY
dyyxadyyxb
dyyxfdyyxfdyyxf
Se obtiene:
∀
<<+
=
∫∫
xotro
xdyyxadyyxb
xf
x
x
X
0
20),(),(
)(
2
0
Marginación de y:
•
-
∞
< y < 0:
•
la rama a no aparece
•
la rama b no aparece
•
0 < y < 2:
•
la rama a aparece entre
0
e
y
•
la rama b aparece entre
y
y 2
•
2 < y < +
∞
:
•
la rama a no aparece
•
la rama b no aparece
La integral a resolver es:
∫∫
∫∫∫
+
+=
2
0
2
0
2
0
),(),(
),(),(),(
y
y
y
XY
y
XYXY
dxyxbdxyxa
dxyxfdxyxfdxyxf
Se obtiene:
∀
<<+
=
∫∫
yotro
ydxyxbdxyxa
xf
y
y
X
0
20),(),(
)(
2
0
ABC Amber Text Converter Trial version, http://www.thebeatlesforever.com/processtext/
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03.5 - Independencia de variables aleatorias.pdf
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