Métodos de conteo Prof. María B. Pintarelli
Métodos de conteo
Cuando se calculan probabilidades, algunas veces se necesita determinar el número de
resultados en un espacio muestral. Se describirán diversos métodos con ese propósito.
La regla básica, que se conoce como principio fundamental de conteo, se presenta por
medio del siguiente ejemplo:
Ejemplo: Cierto tipo de automóvil se encuentra disponible en tres colores: rojo, azul y
verde, y puede tener un motor grande o pequeño. ¿De cuántas maneras puede un com-
prador elegir un automóvil?
Solución:
Hay tres opciones de color y dos opciones de motor. Una lista completa de las opciones
se muestra en la siguiente tabla de 3 × 2. El número total de opciones es (3) (2) = 6
Rojo
Azul
Verde
Grande
Rojo y grande
Azul y grande
Verde y grande
Pequeño
Rojo y pequeño
Azul y pequeño
Verde y pequeño
Al generalizar el ejemplo, si hay n
1
elecciones de color y n
2
elecciones de motor, una
lista completa de elecciones se puede escribir como una tabla de n
1
× n
2
por lo que el
número total de elecciones es n
1
. n
2
Este razonamiento del principio fundamental del conteo se puede ampliar para cualquier
número de operaciones.
Ejemplo:
Cuando se hace un pedido de cierto tipo de computadora, hay tres elecciones de disco
duro, cuatro de la cantidad de memoria, dos de la tarjeta de video y tres de monitor. ¿En
cuántas maneras se puede solicitar una computadora?
Solución:
El número total es (3) (4) (2) (3) = 72
Si una operación se puede realizar en n
1
maneras y si para cada una de esas maneras
se puede realizar una segunda operación en n
2
maneras, entonces el número total de
maneras en que se realizan las dos operaciones es n
1
. n
2
El principio fundamental de conteo
Suponga que se pueden realizar k operaciones. Si hay n
1
maneras de realizar la pri-
mera operación y si para cada una de esas maneras hay n
2
maneras de realizar la se-
gunda operación, y si para cada una de esas elecciones de esas de esas maneras de
realizar las dos primeras operaciones hay n
3
maneras de realizar la tercera operación
y así sucesivamente, entonces el número total de maneras de realizar la secuencia de
las k operaciones es n
1
. n
2
… n
k
.
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Podemos simbolizar cada operación con un guión y escribir debajo del mismo el núme-
ro de formas en que puede realizarse
º4
º3
º2º1
3243
Permutaciones
Una permutación constituye un ordenamiento de un conjunto de elementos. Por ejem-
plo, hay 6 permutaciones de las letras A, B y C:
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
Con solamente tres elementos, es fácil determinar el número de permutaciones, sólo con
hacer una lista de todas ellas. Pero con un gran número de elementos esto último no
sería factible. El principio fundamental de conteo se puede usar para determinar el nú-
mero de permutaciones de cualquier conjunto de elementos. Por ejemplo, se puede de-
terminar el número de permutaciones de un conjunto de tres elementos de la siguiente
manera: hay tres elecciones para colocar el primer elemento. Después que se hace la
elección hay dos elecciones restantes para el elemento del segundo lugar. Entonces que-
da una elección para el elemento del último lugar. Por tanto, el número total de maneras
de ordenar tres objetos es (3)(2)(1) = 6. Este razonamiento se puede generalizar. El nú-
mero de permutaciones de un conjunto de n elementos es
)1)(2)(3)....(2)(1( nnn
Éste es el producto de los enteros del 1 al n. Este producto se puede escribir con el sím-
bolo
n
!, que se lee “n factorial”.
Ejemplos:
1- Cinco personas están en hilera en un cine. ¿De cuántas formas diferentes se pueden
ordenar?.
Solución:
El número de permutaciones de un conjunto de cinco personas es
5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120
2- a) ¿De cuántas formas se pueden ordenar en un estante 3 libros de Matemática y 4 de
Física?
Para cualquier entero positivo n, n! = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)
También se define 0! = 1
El número de permutaciones de n objetos es n!
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b) ¿De cuántas formas si los de Matemática deben estar juntos?
c) ¿De cuántas formas si los libros de Matemática deben estar juntos y los de Física
también deben estar juntos?
Solución:
a) 7!
b) Si los de Matemática deben estar juntos, consideramos los 3 libros de Matemática
como un solo libro, es decir pensamos que tenemos que ordenar 4 libros
FFFF
M
MMM
4321321
Entonces considerando a los tres libros de Matemática en un bloque, la forma de
ordenar los 7 libros es
4! 3!
Nº de formas de ordenar los de Ma-
temática dentro del bloque
Nº de formas
de permutar los libros considerando a los 3 de Matemática
como un solo libro.
c) Razonando en forma similar al inciso anterior consideramos dos bloques: un
bloque consiste en los 3 libros de Matemática, y el otro bloque consiste en los 4
libros de Física. El número de formas de permutar los bloques es 2!. Dentro de
cada bloque podemos permutar los libros: de 3! maneras a los de Matemática y
de 4! formas a los de Física.
Por lo tanto la respuesta es 2! 3! 4!.
A veces se está interesado en contar el número de permutaciones de los subconjuntos de
cierto tamaño elegidos de un conjunto más grande. Esto se muestra en el siguiente
ejemplo
Ejemplo:
Cinco salvavidas están disponibles para la guardia de un sábado por la tarde. Hay tres
estaciones de salvavidas. ¿De cuántas maneras se pueden elegir y organizar los tres sal-
vavidas entre las estaciones?
Solución:
Se usa el principio fundamental de conteo. Hay cinco maneras de elegir un salvavidas
para que ocupe la primera estación, luego cuatro de elegir a un salvavidas para que ocu-
pe la segunda estación y por último tres para elegir un salvavidas que ocupe la tercera
estación. El número total de permutaciones de los tres salvavidas elegidos entre los cin-
co es (5)(4)(3) = 60.
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El razonamiento usado para resolver el ejemplo anterior se puede generalizar. El núme-
ro de permutaciones de k objetos elegidos de un grupo de n objetos es
)1().........1( knnn
Esta expresión se puede simplificar utilizando la notación factorial:
)!(
!
)1)(2)(3)....(1)((
)1)(2)(3)....(1)()(1)....(1(
)1().........1(
kn
n
knkn
knknknnn
knnn
Usamos el símbolo
)!(
!
,
kn
n
P
nk
Los anteriores son casos de permutaciones donde los objetos se eligen a lo sumo un vez.
Si un objeto puedo elegirse más de una vez tenemos permutaciones con elementos repe-
tidos
Ejemplo:
A la cumbre de una montaña conducen 5 caminos. ¿De cuántas formas puede realizar
un turista el camino de ida y vuelta (subir y descender)?
Solución:
Hay 5 formas posibles de subir a la montaña y 5 formas de descender si consideramos
que se puede elegir para el descenso el mismo camino que se tomó para el ascenso. Por
lo tanto la respuesta es (5)(5) = 25
En general si se deben elegir k elementos de un conjunto de n objetos y cada objeto se
puede elegir más de un vez entonces el número de formas posibles de realizar esta ope-
ración es
n
nnn
k
)).....()((
Simbolizamos
n
P
k
nk
*
,
El número de permutaciones de k objetos elegidos de un grupo de n elementos es
)!(
!
kn
n
El número de permutaciones de k objetos elegidos de un grupo de n elementos donde
cada elemento se puede elegir más de una vez es
n
k
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Combinaciones
En algunos casos, cuando se elige un conjunto de elementos de un conjunto más grande,
no se tiene en cuenta el orden de los elementos elegidos, solo se consideran los elemen-
tos que se eligen. Por ejemplo, puede que no importe qué salvavidas ocupe cada esta-
ción, puede que solo sea importante la elección de tres salvavidas. A cada grupo distinto
de elementos que se puede seleccionar, sin importar el orden, se le llama combinación.
Se mostrará cómo determinar el número de combinaciones de k elementos elegidos de
un conjunto de n objetos. Se mostrará el razonamiento con el resultado del ejemplo an-
terior. En este ejemplo se mostró que hay 60 permutaciones de tres elementos elegidos
entre cinco. Al denotar a los elementos por A, B, C, D, E en la figura siguiente se pre-
senta una lista de las 60 permutaciones.
ABC
ABD
ABE
ACD
ACE
ADE
BCD
BCE
BDE
CDE
ACB
ADB
AEB
ADC
AEC
AED
BDC
BEC
BED
CED
BAC
BAD
BAE
CAD
CAE
DAE
CBD
CBE
DBE
DCE
BCA
BDA
BEA
CDA
CEA
DEA
CDB
CEB
DEB
DEC
CAB
DAB
EAB
DAC
EAC
EAD
DBC
EBC
EBD
ECD
CBA
DBA
EBA
DCA
ECA
EDA
DCB
ECB
EDB
EDC
Las 60 permutaciones están ordenadas en 10 columnas de 6 permutaciones cada una.
Dentro de cada columna, los tres elementos son los mismos y la columna contiene las 6
permutaciones diferentes de esos tres elementos. Por lo tanto cada columna representa
una combinación distinta de tres elementos elegidos entre cinco y hay diez combinacio-
nes de este tipo. Por lo tanto la figura muestra que el número de combinaciones de tres
elementos elegidos entre cinco se puede encontrar al dividir el número de permutacio-
nes de los tres elementos elegidos, o sea 5!/(5-3)!, por el número de permutaciones de
los tres elementos que es 3!. En resumen, el número de combinaciones de los tres ele-
mentos elegidos es
)!35(!3
!5
.
A menudo el número de combinaciones de k elementos elegidos entre n se anota por el
símbolo
k
n
o también con el símbolo
C
nk ,
.
El razonamiento utilizado para deducir el número de combinaciones de los tres elemen-
tos elegidos se puede generalizar para deducir una expresión para
k
n
.
El número de combinaciones de k elementos elegidos de un grupo de n elementos es
)!(!
!
knk
n
k
n
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Ejemplo: A cierto evento asisten 30 personas y se elegirá aleatoriamente a 5 para recibir
premios. Estos últimos son iguales, así que el orden en que se elige a las personas no es
importante. ¿Cuántos grupos diferentes de 5 personas se pueden elegir?
Solución:
En virtud de que el orden de las 5 personas elegidas no es importante, se tiene que cal-
cular el número de combinaciones de 5 elegidas entre 30. Esto es
142506
)1)(2)(3)(4)(5(
)26)(27)(28)(29)(30(
)!530(!5
!30
5
30
Elegir una combinación de k elementos de un conjunto de n elementos, divide a los n
elementos en dos subconjuntos: k que fueron elegidos y n – k que no fueron elegidos. A
veces un conjunto se divide en más de dos subconjuntos. Por ejemplo, suponga que en
una clase de 12 estudiantes se asignará un proyecto a los estudiantes para trabajar en
equipos. Se formarán tres equipos, que constarán de 5, 4 y 3 estudiantes. Se puede cal-
cular el número de maneras en las que se formarán los equipos del siguiente modo. Se
considera el proceso para dividir la clase en 3 equipos como una secuencia de dos ope-
raciones. La primera operación es seleccionar una combinación de 5 estudiantes para
formar el equipo de 5. La segunda consiste en elegir una combinación de 4 estudiantes
entre los 7 restantes, para formar el equipo de 4. El equipo de 3 automáticamente cons-
tará de los 3 estudiantes que quedan.
El número de maneras de realizar la primera operación es
!7!5
!12
5
12
Después de que se ha realizado la primera operación, el número de formas de realizar la
segunda es
!3!4
!7
4
7
Por lo tanto el número total de maneras de realizar la secuencia de las dos operaciones
es
27720
!3!4!5
!12
!3!4
!7
!7!5
!12
4
7
5
12
Observe que el numerador en la respuesta final es el factorial del tamaño total del grupo,
mientras que el denominador constituye el producto de los factoriales de los tamaños de
los equipos elegidos de éste. Esto último es válido en general
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Ejemplo:
Se lanza un dado 20 veces. En virtud de que en 3 de las tiradas salió el número 1, en 5
de las tiradas salió el 2, en 4 salió el 3, en 2 el 4, en 3 salió el 5 y en 3 el 6, ¿cuántos
arreglos diferentes de resultados hay?
Solución:
Hay 20 resultados, están divididos en 6 grupos: el grupo de 3 resultados en los que salió
el 1, el de 5 en los que salió el 2 y así sucesivamente. El número de maneras de dividir
los 20 resultados en 6 grupos de tamaños específicos es
!3!3!2!4!5!3
!20
Observación: Notar que en este ejemplo podemos razonar de la siguiente manera.
Se lanza un dado 20 veces, podemos interpretar entonces que tenemos 20 objetos donde
hay 3 elementos iguales entre sí (los 3 número 1), 5 elementos iguales entre sí y dife-
rentes de los anteriores (los 5 números 2), y así siguiendo.
Una posible forma de que esto ocurra sería que en los sucesivos tiros se hayan obtenido
los números en el siguiente orden:
1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6
La pregunta es cuántas formas hay de ordenar estos 20 objetos. La respuesta no es 20!
pues para esto deberían ser los 20 elementos diferentes.
Podemos pensar que hay un 1º tiro, un 2º tiro, etc., es decir tenemos 20 lugares diferen-
tes y debemos elegir entre ellos, sin orden, 3 lugares, para ubicar los tiros en que salie-
ron los número 1. Luego elegimos entre los 17 tiros que quedan 5 para ubicar los tiros
en donde salieron los números 2, y así siguiendo.
Por lo tanto el número
!3!3!2!4!5!3
!20
se podría interpretar como el número de formas
de ordenar 20 elementos donde no todos son distintos.
En general
!!....
!
1
kk
n
r
indicaría el número de formas de ordenar n elementos donde
hay n
1
iguales entre sí, n
2
iguales entre sí y diferentes de los anteriores,….., n
k
iguales
entre sí y diferentes de todos los anteriores donde k
1
+….+ k
r
= n
Ejemplo:
¿De cuántas formas pueden ordenarse las letras de la palabra INGENIERIA?
El número de maneras de dividir un grupo de n elementos en grupos de k
1
, ….,k
r
elementos, donde k
1
+….+ k
r
= n es
!!....
!
1
kk
n
r
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Solución:
La palabra INGENIERIA consta de 10 letras donde hay 3 letras I, 2 letras N, 2 letras E.
Por lo tanto la respuesta es
!2!2!3
!10
Principio de suma
Supongamos el siguiente ejemplo:
¿Cuántas cadenas de 8 bits comienzan con 101 o con 111?
Una cadena de 8 bits que comienza con 101 puede construirse con 5 operaciones: se
elige el cuarto bit, luego el quinto bit y así siguiendo. Cada una de estas elecciones pue-
de hacerse de 2 maneras, se elige un 0 ó se elige un 1. Por el principio fundamental del
conteo, hay
32
2
5
cadenas que comienzan con 101.
Análogamente, hay
32
2
5
cadenas que comienzan con 111.
Si A es el conjunto de las cadenas de 8 bits que comienzan con 101 y B es el conjunto
de las cadenas de 8 bits que comienzan con 111 entonces
BA
. Por lo tanto el
número de cadenas de 8 bits que comienzan con 101 o con 111 es el número de elemen-
tos de
BA
, es decir 32 + 32 = 64.
En general
Ejemplos:
1- De un grupo de 4 hombres y 5 mujeres, ¿cuántos comités de 3 miembros son posibles
a ) sin restricciones?
b) con 1 hombre y 2 mujeres?
c) con mas mujeres que hombres?
Solución:
a) En un comité no hay cargos, por lo tanto no importa el orden en el cual son elegi-
dos los miembros, por lo tanto la respuesta es
84743
)1)(2)(3(
)7)(8)(9(
!6!3
!9
)!39(!3
!9
3
9
b) Si debe haber un hombre y 2 mujeres hay que contar el número de formas de elegir
Principio de suma
Si A
1
, A
2
, ……A
n
son conjuntos tales que A
i
∩ A
j
=
si
ji
, entonces el número
de elementos de A
1
A
2
……
A
n
es igual a la suma del número de elementos de
cada conjunto, en símbolos
# ( A
1
A
2
……
A
n
) = #A
1
+ # A
2
+……+ #A
n
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un hombre entre 4 :
4
1
4
y el número de formas de elegir 2 mujeres entre 5:
1025
)1)(2)(3)(1)(2(
)1)(2)(3)(4)(5(
!3!2
!5
2
5
.
Por el principio fundamental del conteo la respuesta es 4
4010
c) Separamos en casos y aplicamos el principio de suma:
caso1: 2 mujeres y 1 hombre 40
caso 2: 3 mujeres
10
3
5
La respuesta es 40 + 10 = 50
2- En el alfabeto Morse de puntos y rayas, ¿cuántos caracteres pueden formarse em-
pleando a lo sumo 3 signos?
Solución:
Un carácter esta formado por puntos y rayas.
Podríamos considerar 3 casos excluyentes:
caso1: carácter de 1 signo
En este caso el número de formas de construir un carácter es 2, se elige un punto o
una raya
caso2: carácter de 2 signos
En este caso tenemos 2 posibles elecciones para cada signo, elegir un punto o una
raya. Considerando que la elección para cada signo es una operación que se puede
hacer de 2 formas distintas y que debemos realizar 2 operaciones (porque tenemos
2 signos) la respuesta es (2)(2) = 2
2
= 4
caso3: carácter de 3 signos
Nuevamente tenemos 2 posibles elecciones para cada signo, elegir un punto o una
raya. Considerando que la elección para cada signo es una operación que se puede
hacer de 2 formas distintas y que debemos realizar 3 operaciones (porque tenemos
3 signos) por lo tanto la respuesta es (2)(2)(2) = 2
3
= 8
Por el principio de suma el resultado final es 2 + 4 + 8 = 14
3- Tres parejas de casados han comprado boletos para el teatro y se sientan en una fila
formada por solo 6 asientos.
a) ¿De cuántas maneras pueden sentarse de manera tal que Juan y Paula (marido y
mujer) se sienten en los 2 asientos de la extrema izquierda?
b) ¿De cuántas maneras pueden sentarse de manera tal que Juan y Paula (marido y
mujer) se sienten juntos?
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c) ¿De cuántas maneras pueden sentarse de manera tal que por lo menos una de las
esposas termine sentada junto a su marido?
Solución:
a) Simbolicemos la situación utilizando guiones para cada uno de los 6 asientos
Permutamos a las 4 restantes personas pero además Juan y Paula pueden permutar
entre sí, la respuesta es
4! 2!
donde 2! es el número de formas en que Juan y Paula pueden permutar entre sí.
b) En este inciso a diferencia del anterior Juan y Paula pueden sentarse en cualquier
asiento no necesariamente en el extremo izquierdo. Pensamos a Juan y Paula como
una sola persona
consideramos a Juan y Paula
como una sola persona, permutamos 5 personas
La respuesta sería 5! 2!
c) Podemos considerar 3 casos:
caso1: los integrantes de la pareja 1 están sentados juntos
caso2: los integrantes de la pareja 2 están sentados juntos
caso3: los integrantes de la pareja 3 están sentados juntos
Notar que no son casos excluyentes
Nos ayudamos con conjuntos escribiendo
A
i
es el conjunto de todas las permutaciones de las 6 personas donde los miem-
bros de la pareja i están sentados juntos con i = 1, 2, 3
Entonces observar que la respuesta es el número de elementos del conjunto
AAA
321
pero los conjuntos no son disjuntos de a dos.
Por lo tanto no podemos aplicar el principio de suma
Pero sí podemos escribir lo siguiente
# ( A
1
A
2
A
3
) =
#A
1
+ # A
2
+ #A
3
-- #( A
1
A
2
) -- #( A
1
A
3
) -- #( A
2
A
3
) + #( A
1
A
2
A
3
)
P
J
P
J
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Además
#A
1
+ # A
2
+ #A
3
= 5! 2! + 5! 2! + 5! 2!
#( A
1
A
2
) = #( A
1
A
3
) = #( A
2
A
3
) = 4! 2! 2!
pues consideramos a los miembros de dos de las parejas en un bloque, es decir
tenemos dos bloques y los dos integrantes de la pareja restante que pueden no
estar sentados uno al lado del otro, en total 4 elementos para permutar. Además
dentro de cada bloque los integrantes de cada pareja pueden permutar entre sí.
#( A
1
A
2
A
3
) = 3! 2! 2! 2! pues ahora tenemos 3 bloques
El resultado final es 5! 2! + 5! 2! + 5! 2! – 3 (4! 2! 2!) + 3! 2! 2! 2!
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Practica
1) a) ¿Cuántas banderas diferentes de 3 bandas distintas se pueden formar con los colo-
res verde, rojo, azul, blanco, amarillo y negro?
b) ¿Cuántas se pueden formar si se permite también la primera banda igual a la ter-
cera?
2) a) ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse?
b) ¿Cuántos con todas las cifras distintas?
c) ¿ Cuántos con todas las cifras distintas y que terminen en cero?
3) ¿De cuántas maneras pueden disponerse las cinco letras de la palabra ARBOL?
4) Una torta necesita 8 ingredientes, ¿de cuántas maneras se pueden mezclar?
5) ¿De cuántas maneras se pueden colocar en fila 10 niños, si uno determinado de ellos
no puede estar a la cabeza?
6) Se quieren disponer 4 libros de matemática distintos, 6 distintos de física y 2 distin-
tos de química en un estante. ¿De cuántas maneras puede hacerse si:
a) los libros de un mismo tema deben estar juntos?
b) solo es obligatorio que los libros de matemática estén juntos?
7) ¿En cuántas permutaciones de la palabra AYCYDYTV las tres Y aparecen juntas?
8) ¿Cuántos números de 5 cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
si:
a) los números deben ser impares?.
b) los números deben tener las dos primeras cifras pares?.
9) ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar a partir de las cifras del número
327332?
10) a) ¿De cuántas maneras pueden disponerse las letras de la palabra PAPANATA?
b)¿ De cuántas, de manera que la T esté al principio?. ¿Y al final?.
11) ¿De cuántas maneras puede elegirse entre 9 personas un comité de 5?
12) Dados 5 puntos del plano no alineados de a 3, ¿cuántos triángulos determinan?
13) Se elige un comité de 5 personas entre 30 hombres y 20 mujeres.
a) ¿De cuántas maneras se puede hacer la elección?
b)¿De cuántas si el número de mujeres debe sobrepasar al de hombres?
14) ¿Cuántas palabras de 4 consonantes distintas y 3 vocales distintas pueden formarse
con 9 consonantes y 5 vocales?
15) Una planta de producción emplea 20 trabajadores en el turno de día, 15 trabajadores
en el segundo turno y 10 en el turno noche. Un consultor de control de calidad se-
lecciona 6 de estos trabajadores para hacerles una entrevista.
a) ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 6 trabajadores que provengan del
turno día?
b) ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 6 trabajadores que provengan del
mismo turno?
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